2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市高三上冊第三次診斷考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市高三上學(xué)期第三次診斷考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．已知命題p：，．則命題p的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．設(shè)，則（

）A． B．C． D．4．已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．基本再生數(shù)與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)，基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間，在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與，T近似滿足．有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出．據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為（

）A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．7．若存在常數(shù)，使得函數(shù)對定義域內(nèi)的任意值均有，則關(guān)于點對稱，函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”.現(xiàn)有“準(zhǔn)奇函數(shù)”，對于，，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和為（

）A． B． C． D．8．已知數(shù)列，若對任意的，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為10．將函數(shù)的圖像向左平移個單位，所得圖像關(guān)于原點對稱．若，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．的對稱中心為C．對任意的，都有D．與的公共點的縱坐標(biāo)為或11．對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①，；②，，，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為“函數(shù)”，則其圖象恒過定點B．函數(shù)在上是“函數(shù)”C．函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）D．若為“函數(shù)”，則一定是上的增函數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，則．13．已知，設(shè)函數(shù)的圖象在點處的切線為l，則l與軸交點的坐標(biāo)為．14．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對邊分別為.(1)若，求；(2)若，求證.16．黨的十九大以來，恩施州深入推進精準(zhǔn)脫貧，加大資金投入，強化對接幫扶，州委州政府派恩施高中到楊家莊村去考察和指導(dǎo)工作.該村較為貧困的有200戶農(nóng)民，且都從事農(nóng)業(yè)種植，據(jù)了解，平均每戶的年收入為0.3萬元.為了調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，恩施高中和楊家莊村委會決定動員部分農(nóng)民從事白茶加工，據(jù)估計，若能動員戶農(nóng)民從事白茶加工，則剩下的繼續(xù)從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民平均每戶的年收入有望提高，而從事白茶加工的農(nóng)民平均每戶收入將為萬元.(1)若動員戶農(nóng)民從事白茶加工后，要使從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總年收入不低于動員前從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總年收入，求的取值范圍；(2)在（1）的條件下，要使這200戶農(nóng)民中從事白茶加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總收入，求的最大值.17．如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是菱形，，，.(1)若為的中點，求證：；(2)求二面角的正弦值.18．橢圓的離心率是，且過點.(1)求的方程；(2)過點的直線與的另一個交點分別是，與軸分別交于，且于點，是否存在定點使得是定值？若存在，求出點的坐標(biāo)與的值；若不存在，請說明理由.19．設(shè)函數(shù)，.(1)若直線是曲線的一條切線，求的值；(2)證明：①當(dāng)時，；②，.（是自然對數(shù)的底數(shù)，）

答案1．【正確答案】D【詳解】解：由，即，解得，所以，又，所以；故選：D2．【正確答案】A【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定，命題p的否定是：，.故選：A.3．【正確答案】C【詳解】由不等式可得，即；，設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，所以，即.所以.故選：C4．【正確答案】D【詳解】因為，，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：D．5．【正確答案】A【詳解】因為，，且，則，于是得設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間為，則有即，所以，而，解得所以在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為3.6天故選：A．6．【正確答案】B【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.7．【正確答案】B【詳解】令，則，關(guān)于點中心對稱；令，則，關(guān)于點中心對稱；，，設(shè)在處取得最大值，則在處取得最小值，，即的最大值與最小值的和為.故選：B.8．【正確答案】B【詳解】當(dāng)，有，由，解得；當(dāng)，有，由，解得，，，，所以的最小值為.當(dāng)，有，由，解得；當(dāng)，有，由，解得，，，，所以的最大值為.所以的最小值大于的最大值，即恒成立，所以解得，對任意的，恒成立，則有，即實數(shù)的取值范圍是.故選：B9．【正確答案】BC【詳解】，且，，對于A，利用基本不等式得，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，故A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于D，利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，故D錯誤；故選：BC10．【正確答案】AB【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移個單位，可得，為奇函數(shù)，則，即，，因為，所以，則，所以的最小正周期為，故A正確；令，得，的對稱中心為，故B正確；，所以不是對稱軸，故C錯誤；令，即，，，與的公共點的縱坐標(biāo)為或，故D錯誤；故選：AB.11．【正確答案】AC【詳解】對于A：不妨令，則，因為，，所以，故，故A正確；對于B：不妨令，，則，，，即，這與，，矛盾，故B錯誤；對于C：由題意可知，，，不妨令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；再令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；若，則；若，則，從而，，成立，故C正確；對于D：由題意可知，常函數(shù)為“H函數(shù)”，但不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.12．【正確答案】【詳解】由題意可知，由，可得，則，則，故,故答案為:13．【正確答案】0,1【詳解】由，，而，則，所以切線l的方程為，令，得，即l與軸交點的坐標(biāo)為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】因為為奇函數(shù)，定義域為，所以，，又因為時，，所以，構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，在上大于零，在上小于零，又因為，所以當(dāng)時，在上大于零，在上小于零，因為為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，在上小于零，在上大于零，綜上所述：的解集為.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)見解析【詳解】（1），，則，，，，由正弦定理，可得：，則，可得，解得，則，由余弦定理，，故.（2），，，由余弦定理，①，②，①與②相除可得：，，兩邊同除以，可得.16．【正確答案】(1)(2)11【詳解】（1）依題意得，動員后從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的平均每戶年收入為，則，解得，所以的取值范圍為.（2）由于從事白茶加工的農(nóng)民的總收入始終不高于從事農(nóng)業(yè)種植的農(nóng)民的總收入，則，兩邊同時除以得，再整理得，即在上恒成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，所以的最大值為11.17．【正確答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）∵側(cè)面是菱形，∴，∵為的中點，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，∴側(cè)面，∵側(cè)面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）取中點，連接，從而，又由，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴底面，以為坐標(biāo)原點，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由已知條件和上圖可知，，，，，由題意可知，為平面的一個法向量，不妨設(shè)平面的一個法向量，因為，，從而，令，則，，即，設(shè)二面角為，由圖可知為鈍角，從而，即，故二面角的正弦值為.18．【正確答案】(1)(2)，【詳解】（1）將點P坐標(biāo)代入橢圓方程得：…①，由離心率得，，又，代入①解得，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)，不妨設(shè)，直線AB的方程為；聯(lián)立方程，得，，直線AP的方程為：，直線BP的方程為：，令得，由題意：，，化簡得：

，將代入上式化簡得：，將式代入上式并化簡得：，即或者，如果，則AB的方程為，為過定點P的直線，顯然不符合題意，舍；，AB的方程為，∴，又，即，，，

，聯(lián)立方程，解得，…③，即定點R為，；當(dāng)時，，此時直線AB為y軸，所以PQ為平行于x軸的直線，Q點的坐標(biāo)為，代入③也滿足；綜上，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，定點R為，.19．【正確答案】(1)(2)①證明見解析②證明見解析【詳解】（1）由，則，設(shè)在上的切點為，從而，故在上的切點為，將代入得，