2024-2025學年山東省青島市高三上冊12月月考數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年山東省青島市高三上學期12月月考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)的定義域為，，是偶函數(shù)，且對于任意的，，都有成立，則（

）A． B． C． D．4．已知直線和平面，則下列命題正確的是（

）A．平面內(nèi)不一定存在和直線垂直的直線B．若，則C．若異面且，則D．若，則直線可能兩兩相交且不過同一點5．已知為等差數(shù)列，若，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點、，是和的一個公共點，則（

）A． B． C． D．7．已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（

）A． B． C．2 D．18．函數(shù)，不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，10．已知函數(shù)，則（

）A．是的一個周期 B．是的一條對稱軸C．的值域為 D．在上單調(diào)遞減11．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限．的內(nèi)心為，與軸的交點為，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（

）A．若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為B．若，且，則雙曲線的離心率為C．若，，則的取值范圍是D．若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為三、填空題（本大題共3小題）12．命題“，”的否定是．13．已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為．14．在三棱錐中，平面平面，，，點為的中點，是上的一個動點，則三棱錐外接球表面積的最小值為.

四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．(1)求A；(2)若D是BC邊上一點，且，，求的值．16．已知橢圓的離心率為，右焦點是，左、右頂點分別是和．直線與橢圓交于，兩點，點在軸上方，且當時，．(1)求橢圓的方程；(2)若直線、的斜率分別是和，求的取值范圍．17．如圖，在圓錐中，為圓錐頂點，為圓錐底面的直徑，為底面圓的圓心，為底面圓周上一點，四邊形為矩形，且，．

(1)若為的中點，求證：平面；(2)若與平面所成角為，求二面角的余弦值．18．已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記集合，若中有3個元素，求的取值范圍；(3)是否存在等差數(shù)列，使得對一切都成立?若存在，寫出通項并證明上式成立；若不存在，說明理由．19．偏導數(shù)在微積分領域中有重要意義.定義：設二元函數(shù)在點附近有定義，當固定在而在處有改變量時，相應的二元函數(shù)有改變量，如果存在，那么稱此極限為二元函數(shù)在點處對的偏導數(shù)（計算時相當于將視為常數(shù)），記作，若在區(qū)域內(nèi)每一點對的偏導數(shù)都存在，那么這個偏導數(shù)就是一個關于的偏導函數(shù)，它被稱為二元函數(shù)對的偏導函數(shù)，記作.以上定義同樣適用于三元函數(shù).(1)氣體狀態(tài)方程描述的三個變量滿足：（是非零常量）.求的值，并說明其為常數(shù).(2)求值：對的偏導數(shù).(3)將偏導數(shù)應用于包絡線在金融領域可以發(fā)揮重要價值.在幾何學中，某個平面內(nèi)曲線族的包絡線是跟該曲線族的每條線都至少有一點相切的一條曲線，例如：曲線族的包絡線為.不難發(fā)現(xiàn)：對于任何一個給定的的值，包絡線與原曲線的切點的總是對應值在參數(shù)取遍后得到的極值.已知函數(shù)的包絡線為.（i）求證.（ⅱ）設的極值點構成曲線，求證：當時，與有且僅有一個公共點.

答案1．【正確答案】A【詳解】由題意可知，所以，則.故選：A2．【正確答案】B【詳解】若，假設，則由可知，矛盾，所以，這表明條件是必要的；對，有，，這表明條件不是充分的.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意由是偶函數(shù)可得關于對稱，又任意的，，都有成立，可得在上單調(diào)遞增；由所以可得，即，可得A錯誤；又，即，即B錯誤；同理，即，可得C錯誤；，即，可得D正確.故選：D4．【正確答案】C【詳解】對于A，我們要討論平面和直線的關系，當時，平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，當直線時，在平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線是異面垂直直線；當直線平面時，在平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線相交且垂直；當直線與平交但不垂直時，在平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線垂直，故平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，故A錯誤；對于B，當時，一定有或相交，故B錯誤；對于C，如圖，因為，過直線，一定存在平面，使得，，所以，而，，故，因為異面，所以一定相交，而，，故成立，故C正確；對于D，如圖，

，，，.∵直線和不平行，相交.設，則，.又.三條直線相交于同一點，故D錯誤，故選：C5．【正確答案】B【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，解得，，，故選.6．【正確答案】D【詳解】如下圖所示：依題意由橢圓定義可得，所以；即；依題意由雙曲線定義可得，所以；即；因此可得；又易知，即可得；因此，而，即滿足，所以；又為的中點，因此.故選：D7．【正確答案】A【詳解】由，兩邊同時除以得，所以，因為，均為銳角，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以取得最大值時，.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】因為，所以，令，則，得為奇函數(shù)，又，，當且僅當，即時等號成立；，當且僅當，即時等號成立；所以，得在R上為增函數(shù)，因為，所以在R上恒成立，顯然時滿足；當，需滿足，解得，綜上，.故選：D9．【正確答案】BC【詳解】A選項：，與共線，A錯誤；B選項：，與不共線，B正確；C選項：，與不共線，C正確；D選項：，與共線，D錯誤；故選：BC.10．【正確答案】BCD【詳解】，圖像如圖所示：由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為2π，故選項A錯誤，不符合題意；是的一條對稱軸，故選項B正確，符合題意；的值域為，故選項C正確，符合題意；在上單調(diào)遞減，選項D正確，符合題意；故選：BCD.11．【正確答案】BD【詳解】對于A，若雙曲線漸近線的夾角為，則或，故可得或，即A錯誤；對于B，設，則由以及雙曲線定義可得，故，則又，即可得，因此，解得，又AF22可得，即，故雙曲線的離心率為，即B正確；對于C，如下圖所示：令的內(nèi)切圓切分別為，則，所以，令點，而，因此，解得；又，則點的橫坐標為，同理可得的橫坐標也為，即所在直線方程為；設直線的傾斜角為，則，在中，，在中，，又，可得漸近線斜率為，且，因為均在右支上，故，即，因此，可知C錯誤；對于D，由可得,故，而，可得，又直線的斜率為，所以，由余弦定理可得，解得，即則雙曲線的離心率為，可得D正確.故選：BD12．【正確答案】【詳解】命題“”的否定是“”.故答案為.13．【正確答案】【詳解】在橢圓中，，，則，即點、，如圖，為橢圓上任意一點，則，又因為為圓上任意一點，.當且僅當、、、共線且、在、之間時等號成立．所以的最小值為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】因為平面平面，,且平面平面，平面,所以平面，平面,所以.在△中，因為，，∴，，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，過且垂直于平面ABC的直線為軸，建立空間直角坐標系.∵點為的中點，是上的一個動點，∴，，設△的重心為，則，三棱錐外接球的球心為，則，則有，即則，∴，當且僅當，即時，等號成立.設三棱錐外接球半徑為，表面積為，則所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，由余弦定理，所以，又，所以；（2）因為，記，則，因為，設，，在中，，即，在中，，所以，所以，所以，即，在中由余弦定理有，整理得，即，所以，即.16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）由橢圓對稱性知：，即，又，所以，，所以橢圓的方程為；（2）將代入得，設，，則，，由（1）得，，所以，將式代入上式得，因為，，所以，即的取值范圍是；綜上，橢圓C的方程為，的取值范圍是.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，在中，分別為的中點，所以，因為平面平面，所以平面，在矩形中，，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面；（2）過點做交于點，連接由題可知平面，且，所以平面則，又，平面，所以平面，∴在平面內(nèi)射影為，則即為與平面所成的角，所以在中，由可知則，，以為坐標原點，所在直線為軸，過點垂直于平面為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，

設平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)存在滿足題意，證明見解析；【詳解】（1）當時，可得，即;當時，由可得，兩式相減可得，即，所以，因此是以首項為1，公比為2的等比數(shù)列，可得.（2）由已知可得，即，令，可得，又，當時，，即，因此時，單調(diào)遞減；因為中有3個元素，所以不等式的解有3個，所以，即的取值范圍為；（3）設存在等差數(shù)列使得條件成立，則當時，有，所以；當時，有，所以；因此等差數(shù)列的公差為1，可得；證明如下：設即，所以，兩式相減可得，所以存在等差數(shù)列，滿足題意.19．【正確答案】(1)，說明見解析(2)(3)（i）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）；，；，.，為常數(shù).（2），故.（3）（?。┝睿瑒t.由于在上，故：，①由于取極值，故：，即：，②由①②消去得.下試證：，即證.，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，，，故.（ⅱ），令：，令