2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上冊(cè)第二次（12月）月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市高二上學(xué)期第二次（12月）月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、未知（本大題共11小題）1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，，則（

）A．31 B．32 C．35 D．362．已知向量，，若，，則的值是（

）A．或1 B．3或 C． D．13．已知數(shù)列滿(mǎn)足則其前9項(xiàng)和等于（

）A．150 B．180 C．300 D．3604．雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為(

)A． B． C． D．5．圓：與圓：的位置關(guān)系為（）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．外離6．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)部，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)到直線AD的距離是（

）A． B． C． D．7．已知直線是圓的對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)點(diǎn)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則等于（

）A．4 B． C． D．38．已知橢圓：的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，且滿(mǎn)足，，則的離心率為（

）A． B． C． D．9．(多選)若過(guò)點(diǎn)(1,a)，(0,0)的直線l1與過(guò)點(diǎn)(a,3)，(-1,1)的直線l2平行，則a的取值可以為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．210．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差.若，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A． B．的最小值為C． D．存在最大值11．已知橢圓：（），，分別為其左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為B．不存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)時(shí)，的最大值為D．的最小值為1二、填空題（本大題共3小題）12．已知直線與直線互相垂直，則．13．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，則=___________.14．若圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則線段的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共5小題）15．已知直線與垂直．(1)求;(2)求直線與直線之間的距離．16．已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交圓于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率時(shí)，求弦的長(zhǎng)．17．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝44，S8＝56.（1）求Sn；（2）求Sn的最大值.18．已知橢圓?與?軸的正半軸交于點(diǎn)，且離心率?.(1)求橢圓?的方程;(2)若直線?過(guò)點(diǎn)?與橢圓?交于?兩點(diǎn)，求?面積的最大值并求此時(shí)的直線方程.19．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且．(1)證明：；(2)求直線和平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為？若存在，并求出的值．

答案1．【正確答案】D【詳解】.則.故選：D2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，，且，，所以，解得或，所以?故選：A3．【正確答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式求解.【詳解】因?yàn)樗运云淝?項(xiàng)和等于，故選:B.4．【正確答案】D求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo),漸近線方程,利用已知條件求解,即可求得答案.【詳解】雙曲線可得:,可得:可得右焦點(diǎn)為,點(diǎn)F到漸近線的距離為:故選:D.5．【正確答案】A【詳解】由已知，得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，∵，∴兩圓相交.故選：A．6．【正確答案】B【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，因?yàn)椋?，易知，故點(diǎn)到直線AD的距離.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】由方程得，圓心為，因?yàn)橹本€l是圓C的對(duì)稱(chēng)軸，所以圓心在直線l上，所以，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以.故選：A．8．【正確答案】D【詳解】如圖，：的圖象，則，，其中，設(shè)，，則，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化簡(jiǎn)得，又橢圓離心率，所以，得.故選：D9．【正確答案】AC【詳解】若直線l1與l2平行，則，即a(a+1)=2，故a=-2或a=1.當(dāng)時(shí)，，，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，，符合題設(shè)；故選：AC.10．【正確答案】AC首先根據(jù)，得到，再依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，解?對(duì)選項(xiàng)A，，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，因?yàn)?，，，，所以的最小值為或，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，又因?yàn)?，所以，即，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所以無(wú)最大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．【正確答案】ABC【分析】A：根據(jù)點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可得，從而可得的取值范圍，從而可求離心率的取值范圍；B：根據(jù)相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用橢圓定義將化為，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.【詳解】對(duì)于A，由已知可得，，所以，則，故A正確；對(duì)于B，由可知，點(diǎn)為原點(diǎn)，顯然原點(diǎn)不在橢圓上，故B正確；對(duì)于C，由已知，，所以，．又，則．根據(jù)橢圓的定義可得，所以，由圖可知，，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得等號(hào)．故的最大值為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以，的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC本題考查點(diǎn)和橢圓為位置關(guān)系，考查橢圓定義和基本不等式在計(jì)算最值問(wèn)題里面的應(yīng)用.12．【正確答案】【詳解】斜率為直線斜率為兩直線垂直，所以斜率之積為，即所以故．13．【正確答案】144【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得，所以，故答案為:144.14．【正確答案】【詳解】根據(jù)題意，圓：的圓心為，半徑；圓：的圓心為：，半徑．由圓：與圓：相交于，兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)處的切線互相垂直，則有，可得．由，得故．15．【正確答案】(1)1或3(2)時(shí),距離為;時(shí),距離為．【詳解】（1）解:由題知與垂直,故有,解得或;（2）由(1)知或,當(dāng)時(shí),,則兩直線的距離為:,當(dāng)時(shí),,則兩直線的距離為:,綜上:時(shí),距離為;時(shí),距離為．16．【正確答案】（1）；（2）．（1）求得圓心為，根據(jù)斜率公式，求得直線的斜率為，結(jié)合點(diǎn)斜式，即可求解；（2）當(dāng)直線的斜率時(shí)，求得直線的方程，結(jié)合圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，圓的圓心為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)、，所以直線的斜率為，即直線的方程為，所以．（2）當(dāng)直線的斜率時(shí)，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以弦AB的長(zhǎng)為．17．【正確答案】（1）；（2）56.（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，列出不等式組，求得a1和d的值，代入公式，即可求得Sn；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)，求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S4＝44，S8＝56，得，解得a1＝14，d＝﹣2，所以；（2）由（1）可知，為關(guān)于n的二次型函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸方程為，又因?yàn)?，所以?dāng)n＝7或8時(shí)，Sn有最大值為56.18．【正確答案】(1)(2)?；【詳解】（1）由題意，由離心率可得出，從而得出方程.（2）由題意直線?的斜率不為0，設(shè)?與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，得出?面積的表達(dá)式，求出其最大值即可得出答案.(1)橢圓?與?軸的正半軸交于點(diǎn)?，則，則?橢圓?的方程為:?(2)當(dāng)直線?的斜率為0時(shí)，?三點(diǎn)共線，顯然不滿(mǎn)足題意.當(dāng)直線?的斜率不為0時(shí)，設(shè)?代入?，得到??設(shè)????令?令?，在?單調(diào)遞增，?當(dāng)?為最大?，此時(shí)?的方程為:?19．【正確答案】(1)見(jiàn)詳解(2)(3)存在，【詳解】（1）證明：∵，為的中點(diǎn)

∴又∵平面平面，平面平面，平面∴平面∵平面

∴（2）解法1：分別取CB、CD的中點(diǎn)為F、G，連結(jié)OF、OG，∵為的中點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形∴是直角三角形，，，∵CB、CD的中點(diǎn)為F、G，∴，，由（1）得，是三棱錐底面的高，是直角三角形∵，∴，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)F、OG、OA所在的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即令，則，，，∴直線和平面所成角的正弦值