中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第11講 相似三角形中的“A”字模型（原卷版）

第11講相似三角形中的“A”字模型【應(yīng)對(duì)方法與策略】模型展示：(1)如圖1，DE∥BC?△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).(2)如圖2，∠AED＝∠B?△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).(3)共邊共角模型，如圖3，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(CD,BC).圖1圖2圖3【多題一解】一、單選題1．（2021·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）在銳角中，分別以AB和AC為斜邊向的外側(cè)作等腰和等腰，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，連接MD、MF、FE、FN．根據(jù)題意小明同學(xué)畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論：①，②，③，④，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，，，AC為對(duì)角線，E、F分別為邊AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且于點(diǎn)M，連接AF、CE，求的最小值是_____．3．（2021·福建廈門·福建省同安第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與過(guò)原點(diǎn)O的直線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)），直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)，連接BM分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．若，則________．4．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝__________．5．（2022春·廣東汕頭·九年級(jí)汕頭市龍湖實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，∠MPN=90°，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊PM、PN上移動(dòng)，連接PC，Q為PC上一點(diǎn)，且PQ=2QC，則線段BQ長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)______．三、解答題6．（2021秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）．7．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D為圓上一點(diǎn)且∠ADC=∠AOF，OF⊥AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長(zhǎng)．8．（2020秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁(yè)的部分內(nèi)容．【定理證明】請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過(guò)程．【定理應(yīng)用】如圖②，在矩形ABCD中，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E在邊AB上，且AE=2BE，點(diǎn)F在邊CB上，CF=2BF．O為AC的中點(diǎn)，連結(jié)EF、OE、OF．（1）EF與AC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（2）與的面積比為_(kāi)__________．9．（2020·湖北武漢·統(tǒng)考二模）如圖，AB是的直徑，D為AB上一點(diǎn)，C為上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)CD交于點(diǎn)E，連接CB．（1）求證：；（2）若，求的值．10．（2020·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為⊙O的直徑，AE是⊙O的弦，C是弧AE的中點(diǎn)，弦CG⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接BE（1）求證：PC∥AE；（2）若sin∠P＝，CF＝5，求BE的長(zhǎng)．11．（2020·陜西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AB＝10，BF＝，求AE的長(zhǎng)．12．（2020·湖北隨州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點(diǎn)E在AB上，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，點(diǎn)G在FE的延長(zhǎng)線上，且GA=GE．（1）求證：AG與⊙O相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長(zhǎng)．13．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為.當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)為_(kāi)__________時(shí)，？（2）連接，設(shè)四邊形的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式.（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上？（4）若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)，，三點(diǎn)共線？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.14．（2021·山東·統(tǒng)考三模）如圖1，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，邊的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，．（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，將沿翻折得到．①求證：；②若，，求的長(zhǎng)度．15．（2020·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．（1）求BC邊上的高線長(zhǎng)．（2）點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AC上，連結(jié)EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連結(jié)AP，當(dāng)PF⊥AC時(shí)，求AP的長(zhǎng)．16．（2021·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．（1）求證：直線與相切；（2）若，，求的長(zhǎng)．17．（2022秋·重慶·九年級(jí)重慶市第十一中學(xué)校校考期中）中，，，于，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在射線上，連接，，滿足．(1)如圖1，若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，．當(dāng)最小時(shí)，直接寫出的面積．18．（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，拋物線的表達(dá)式為，它的圖像的頂點(diǎn)為A，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)B、點(diǎn)C（點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，連接交拋物線于點(diǎn)E，且．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得的內(nèi)心也在對(duì)稱軸上，若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)連接，點(diǎn)Q是y軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，若以Q為圓心，為半徑的圓與直線相切，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．19．（2020·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為DE．（1）如圖①，若點(diǎn)P恰好在邊BC上，連接AP，求的值；（2）如圖②，若E是AB的中點(diǎn)，EP的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【一題多解】1．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考三模）已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，連接AC，將三角形ABC沿AC翻折，使B點(diǎn)落在E點(diǎn)處，連接EC，AE，AE交DC于F點(diǎn)．(1)求DF的長(zhǎng)．(2)若將△CEF沿著射線CA方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)C沿CA方向所經(jīng)過(guò)的線段長(zhǎng)度）．當(dāng)點(diǎn)F平移到線段AD上時(shí)，如圖②，求出相應(yīng)的m的值．(3)如圖③，將△CEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a（0°＜a＜∠ECB），記旋轉(zhuǎn)中的△CEF為△CE′F′，過(guò)E′作E′G⊥AD于G點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)△DCE′為等腰三角形時(shí)，求出線段E′G的長(zhǎng)度．2．（2021秋·遼寧鞍山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，點(diǎn)E為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，且AE＜AB，連接DE，將線段DE所在直線繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，DE所在直線與射線CA交于點(diǎn)G．（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，求證：△ADH≌△CDG；（2）當(dāng)α≠60°時(shí)，①如圖2，連接HG