中考數學二輪復習幾何專項知識精講+基礎提優(yōu)訓練專題14 幾何變換之旋轉鞏固練習（基礎）-（解析版）

幾何變換之旋轉鞏固練習1．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣4，﹣2）、B（﹣2，0）、C（0，﹣3），△A1B1C是△ABC繞點C順時針旋轉90°后得到的圖形．（1）寫出A1，B1的坐標；（2）在所給的平面直角坐標系中畫出△A1B1C；（3）若點A2與點A1關于原點對稱，寫出△A1A2B的面積．【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質畫出A、B的對應A1、B1，從而得到它們的坐標；（2）由（1）可確定△A1B1C；（3）先寫出點A2的坐標，然后用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△A1A2B的面積．【解答】解：（1）A1（1，1），B1（3，﹣1）；（2）如圖，△A1B1C為所作；（3）∵點A2與點A1關于原點對稱，∴A2（﹣1，﹣1），∴△A1A2B的面積＝2×3?12×1×1?12×2【點評】本題考查了作圖﹣平移變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．2．如圖，將△ABC以點C為旋轉中心，順時針旋轉180°，得到△DEC，過點A作AF∥BE，交DE的延長線于點F，試問：∠B與∠F相等嗎？為什么？【分析】根據旋轉的性質，可得△ABC≌△DEC，根據全等三角形的性質，可得∠B＝∠DEC，根據平行線的性質，可得∠F＝∠DEC，根據等量代換，可得答案．【解答】解：∠B與∠F相等，理由如下：∵將△ABC以點C為旋轉中心，順時針旋轉180°，得到△DEC，∴∠B＝∠DEC，∵AF∥BE，∴∠F＝∠DEC，∴∠B＝∠F．【點評】本題主要考查了旋轉的性質以及平行線的性質，屬于基礎題型．3．請在平面直角坐標系中，完成下面的問題（1）描出點A（﹣2，3）和它關于y軸的對稱點B；（2）描出點C（2，1）和它關于原點的對稱點D；（3）求線段AD的長．【分析】（1）利用關于y軸對稱的點的坐標寫出B點坐標，然后描點即可；（2）利用關于原點對稱的點的坐標寫出D點坐標，然后描點即可；（3）利用AD平行y軸，利用兩點的縱坐標之差得到AD的長．【解答】解：（1）如圖，點B為所作；（2）如圖，點D為所作；（3）因為A（﹣2，3），D（﹣2，﹣1），線段AD的長＝3﹣（﹣1）＝4．【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．也考查了軸對稱變換．4．已知菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，點E、F分別在邊AD、AB上，將△AEF沿EF折疊，使得點A的對應點A’恰好落在邊CD上．（1）延長CB、A′F交于點H，求證：A'HAE（2）若A′點為CD的中點，求EF的長；（3）AA′交EF于點G，再將四邊形紙片BCA′F折疊，使C點的對應點C′恰好落在A′F上，折痕MN分別交邊CD、BC于點M、N，連接C′G，則C′G的最小值為32【分析】（1）如圖1中，延長CD到T，使得DT＝DE，連接TE．證明△A′HC∽△EQ′T，可得結論．（2）如圖2中，延長CD，過點F作FM⊥CD于點M，交AB于H，連接A′B、BD，CF．想辦法求出EH，FH，再利用勾股定理即可解決問題．（3）注意到G為AA'的中點，于是可知G點的高度終為菱形高度的一半，同時注意到G在∠AFA'的角平分線上，因此作GH⊥AB于H，GP⊥A'F于P，則GP＝GH，根據垂線段最短原理可知GH就是所求最小值．【解答】（1）證明：如圖1中，延長CD到T，使得DT＝DE，連接TE．∵四邊形ABCD是菱形，∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，∴∠TDE＝∠A＝60°，∵DT＝DE，∴△DET是等邊三角形，∴∠T＝∠C＝60°，∵∠EA′F＝∠A＝60°，∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，∴∠TA′E＝∠A′HC，∴△A′HC∽△EQ′T，∴A'HA'E∵ET＝DE，AE＝A′E，∴A'HAE（2）解：如圖2中，延長CD，過點F作FM⊥CD于點M，交AB于H，連接A′B、BD，CF．∵∠A＝60°，四邊形ABCD是菱形，∴∠MDF＝60°，∴∠MFD＝30°，設MD＝x，則DF＝2x，FM=3x∵DG＝1，∴MG＝x+1，∴（x+1）2+（3x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴DF＝0.6，AF＝1.4，∴AH=12AF＝0.7，FH＝AF?sin∠A＝1.4∵CD＝BC，∠C＝60°，∴△DCB是等邊三角形，∵A′是CD的中點，∴BA′⊥CD，∵BC＝2，A′C＝1，∴BA′=3設BE＝y(tǒng)，則A′E＝2﹣y，∴（3）2+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝0.25，∴AE＝1.75，∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，∴EF=E（3）解：如圖3中，過點G作GH⊥AB于H，過點G作GP⊥A'F于P，過點A′作A'Q⊥AB于Q．∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∴A'Q＝DR，∵∠BAD＝60°，∴A'Q=∵A'與A關于EF對稱，∴EF垂直平分AA'，∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，∴GP＝GH，又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB∴GH∥A'B，∴GH=12A'Q所以GC'≥GP=32，當且僅當C'與P重合時，GC'取得最小值故答案為32【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了菱形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、等邊三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，難度較大，運用勾股定理得出方程是解決問題的關鍵，學會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考壓軸題．5．如圖，半圓O的直徑AB＝10，將半圓O繞點B順時針旋轉45°得到半圓O′，與AB交于點P，求AP的長．【分析】先根據題意判斷出△O′PB是等腰直角三角形，由銳角三角函數的定義求出PB的長，進而可得出AP的長．【解答】解：∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB=2BO′＝52∴AP＝AB﹣BP＝10﹣52．【點評】本題考查的是旋轉的性質，解答此題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質．6．如圖，△ABC逆時針旋轉一定角度后與△ADE重合，且點C在AD上．（1）指出旋轉中心；（2）若∠B＝21°，∠ACB＝26°，求出旋轉的度數；（3）若AB＝5，CD＝3，則AE的長是多少？為什么？【分析】（1）結合圖形找到旋轉中心即可；（2）根據題意求得∠BAC的度數即可求得旋轉角；（3）利用旋轉的性質得到AE＝AC，AD＝AB即可求得答案．【解答】解：（1）旋轉中心為點A；（2）∵∠B＝21°，∠ACB＝26°，∴∠BAC＝180°﹣21°﹣26°＝133°，∴旋轉的度數為133°；（3）由旋轉性質知：AE＝AC，AD＝AB，∴AE＝AB﹣CD＝2．【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．7．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC．若點A、D、E在同一條直線上，且∠ACB＝20°，求∠CAE及∠B的度數．【分析】根據旋轉的性質可得△ACE是等腰直角三角形，所以∠CAE＝45°，易知∠ACD＝90°﹣20°＝70°，根據三角形外角性質可得∠EDC度數，又∠EDC＝∠B，則可求．【解答】解：根據旋轉的性質可知CA＝CE，且∠ACE＝90°，所以△ACE是等腰直角三角形．所以∠CAE＝45°；根據旋轉的性質可得∠BDC＝90°，∵∠ACB＝20°．∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°．∴∠EDC＝45°+70°＝115°．所以∠B＝∠EDC＝115°．【點評】本題主要考查了旋轉的性質，解決這類問題要找準旋轉角以及旋轉后對應的線段．8．如圖，P是等邊三角形ABC內一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB．求：（1）PP′的長度；（2）∠APB的度數．【分析】（1）根據旋轉的性質可得∠PAP′＝60°，P′A＝PA，然后判斷出△APP′是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得PP′＝PA；（2）根據等邊三角形的性質可得∠APP′＝60°，利用勾股定理逆定理求出∠BPP′＝90°，然后求解即可．【解答】解：（1）∵△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB，∴∠PAP′＝60°，P′A＝PA＝6，∴△APP′是等邊三角形，∴PP′＝PA＝6；（2）∵△PAC繞點A逆時針旋轉后，得到△P′AB，∴P′B＝PC＝10，∵△APP′是等邊三角形，∴∠APP′＝60°，∵PB2+PP′2＝82+62＝100，P′B2＝102＝100，∴PB2+PP′2＝P′B2，∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．【點評】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，勾股定理逆定理，旋轉前后對應邊相等，對應角相等．9．如圖，將邊長為3的正方形ABCD繞點A逆時針方向旋轉30°后得到正方形AB′C′D′．（1）求證：ED＝EB′；（2）求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據HL即可證明△ADE≌△AB'E，根據全等三角形的對應邊相等即可證得；（2）求得∠EAD的度數，根據三角函數求得ED的長，則△ADE的面積即可求得，然后利用正方形的面積減去△ADE和△AB'E的面積即可求解．【解答】解：（1）連接AE．在直角△ADE和直角△AB'E中，AB'=ADAE=AE∴△ADE≌△AB'E，∴DE＝EB'；（2）∵△ADE≌△AB'E，∴∠DAE＝∠DAD'，又∵∠BAB'＝30°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＝30°，在直角△ADE中，ED＝AD?tan30°=3則S△ADE=12AD?ED=1∴S△AB'E＝S△ADE=3又∵S正方形ABCD＝（3）2＝3，∴S陰影＝3﹣2×32=【點評】本題考查旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質，正確證明△ADE≌△AB'E是本題的關鍵．10．如圖，O是等邊△ABC內一點，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線段BO繞點B逆時針旋轉60°得到線段BO′．（1）求點O與O′的距離；（2）求∠AOB的度數．【分析】（1）由旋轉的性質可得BO＝BO′，∠O′AO＝60°，可證明△OBO′是等邊三角形，從而求解；（2）由SAS可證△BO′A≌△BOC，可得OC＝O'A＝5，利用勾股定理的逆定理即可證得△AOO′是直角三角形，即可求解．【解答】解：（1）如圖，連接OO'，∵等邊△ABC，∴AB＝CB，∠ABC＝60°．∵線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，∴BO＝BO′，∠O′AO＝60°，∴△OBO′是等邊三角形．∴OO′＝OB＝4；（2）∵∠OBO'＝∠ABC＝60°，∴∠O′BA＝60°﹣∠ABO＝∠OBA．在△BO'A和△BOC中，AB=CB∠O'BA=∠OBA∴△BO′A≌△BOC（SAS）．∴OC＝O'A＝5，∵AO2+O'O2＝9+16＝25＝O'A2，∴△AOO′是直角三角形．∴∠AOB＝∠AOO′+∠O′OB＝90°+60°＝150°．【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理逆定理，等邊三角形的性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．11．如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣3，0），點B是y軸正半軸上一動點，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，連接OP，求OP的最小值．【分析】以OA為對稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點F．由“SAS”可證△AEP≌△ADB，可得∠AEP＝∠ADB＝120°，進而可得點P在直線EF上運動，根據垂線段最短解答．【解答】解：如圖，以OA為對稱軸作等邊△ADE，連接EP，并延長EP交x軸于點F，∴∠AED＝60°，∴AO=3OE∴OE=3∵△ADE和△ABP是等邊三角形，∴AB＝AP，AD＝AE，∠BAP＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠PAE，在△ADB和△AEP中，AB=AP∠BAD=∠PAE∴△AEP≌△ADB（SAS），∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF=3OE＝3，∠OFE＝30°∴點P在直線EF上運動，當OP⊥EF時，OP最小，∴OP=12OF則OP的最小值為32【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵．12．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，且∠EAF＝45°，將△ADF繞點A順時針旋轉90°后，得到△ABQ，連接EQ．（1）求證：EA是∠QED的平分線；（2）已知BE＝1，DF＝3，求EF的長．【分析】（1）直接利用旋轉的性質得出△AQE≌△AFE（SAS），進而得出∠AEQ＝∠AEF，即可得出答案；（2）由全等三角形的性質可得QE＝EF，∠ADF＝∠ABQ，再結合勾股定理得出答案．【解答】證明：（1）∵將△ADF繞點A順時針旋轉90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，