北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)-

第=page22頁，共=sectionpages22頁第=page11頁，共=sectionpages11頁高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共8小題，共40.0分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組，則2x+y的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，則集合B可以是（）A.{x|2x＞1} B.{x|x2＞1} C.{x|log2x＞1} D.{1，2，3}已知△ABC中，∠A=120°，a=，三角形ABC的面積為，且b＜c，則c-b=（）A. B.3 C.-3 D.已知a，b，c∈R，給出下列條件：①a2＞b2；②；③ac2＞bc2，則使得a＞b成立的充分而不必要條件是（）A.① B.② C.③ D.①②③某三棱錐的三視圖如圖所示（網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為），則該三棱錐的體積為()

A. B. C. D.已知圓C：（x-2）2+y2=2，直線l：y=kx-2．若直線l上存在點P，過點P引圓的兩條切線11，l2，使得l1⊥l2，則實數(shù)k的取值范圍是（）A.[0，2）∪（2，+∞） B.[2]

C.（-∞，0） D.[0，+∞）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14，10，8．若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)至多是（）A.5 B.6 C.7 D.8二、填空題（本大題共6小題，共30.0分）已知平面向量=（2，-1），=（1，x）．若∥，則x=______．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為______．

雙曲線-y2=1的右焦點到其一條漸近線的距離是______．能說明“函數(shù)（x）的圖象在區(qū)間[0，2]上是一條連續(xù)不斷的曲線，若f（0）?f（2）＞0，則f（x）在（0，2）內(nèi)無零點”為假命題的一個函數(shù)是______．天壇公園是明清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場所?天壇公園中的圜丘臺共有三層（如圖1所示），上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石鋪成（如圖2所示）．上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán)；第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是______；上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是______．

若不等式logax+x-4＞0（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題（本大題共6小題，共80.0分）已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx．

（Ⅰ）求f（）的值及f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的最大值．

在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=4，n∈N*．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；

（Ⅱ）設(shè)bn=an+n-6，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，若Sn＞0，求n的最小值．

某部門在同一上班高峰時段對甲、乙兩座地鐵站各隨機抽取了50名乘客,統(tǒng)計其乘車等待時間指乘客從進站口到乘上車的時間,乘車等待時間不超過40分鐘將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按,,,,分組,制成頻率分布直方圖：

Ⅰ求a的值；

Ⅱ記A表示事件“在上班高峰時段某乘客在甲站乘車等待時間少于20分鐘“,試估計A的概率；

Ⅲ假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間左端點值來估計,記在上班高峰時段甲、乙兩站各抽取的50名乘客乘車的平均等待時間分別為,,求的值,并直接寫出與的大小關(guān)系．

如圖，在多面體ABCDEF中平面ADEF⊥平面ABCD，四邊形ADEF為正方形，四邊形ABCD為梯形，且AD∥BC，∠BAD=90°，AB=AD=1，BC=2．

（Ⅰ）求證：AF⊥CD；

（Ⅱ）若M為線段BD的中點，求證：CE∥平面AMF；

（Ⅲ）求多面體ABCDEF的體積．

已知函數(shù)f（x）=aex-4x，a∈R．

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)a=1時，求證：曲線y=f（x）在拋物線y=-x2-1的上方．

已知點M（x0，y0）為橢圓C：+y2=1上任意一點，直線l：x0x+2y0y=2與圓（x-1）2+y2=6交于A，B兩點，點F為橢圓C的左焦點．

（Ⅰ）求橢圓C的離心率及左焦點F的坐標；

（Ⅱ）求證：直線l與橢圓C相切；

（Ⅲ）判斷∠AFB是否為定值，并說明理由．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：==-i+2

所對應(yīng)的點為（2，-1），該點位于第四象限

故選：D．

根據(jù)1=-i2將復(fù)數(shù)進行化簡成復(fù)數(shù)的標準形式，得到復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點，從而得到該點所在的位置．

本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】B

【解析】解：作出實數(shù)x，y滿足不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．

由z=2x+y得y=-2x+z，

平移直線y=-2x+z，

由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線y=-2x+z的截距最大，

此時z最大

由，解得A（1，0），

代入目標函數(shù)z=2x+y得z=2×1+0=2．

即目標函數(shù)z=2x+y的最大值為2．

故選：B．

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求最大值．

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．

3.【答案】A

【解析】解：∵A∩B=A；

∴A?B，且A={1，2，3，4，5}；

∴A．{x|2x＞1}={x|x＞0}，滿足A?{x|x＞0}；

B．{x|x2＞1}={x|x＜-1，或x＞1}，不滿足A?{x|x＜-1，或x＞1}；

C．{x|log2x＞1}={x|x＞2}，不滿足A?{x|x＞2}；

D．不滿足A?{1，2，3}．

故選：A．

由A∩B=A可得出A?B，可分別求出選項A，B，C的各集合，看是否滿足A是該集合的子集即可．

考查列舉法的定義，交集的定義及運算，子集的定義，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．

4.【答案】B

【解析】解：△ABC中，∵S=bcsinA=bc=，

∴bc=4．

由余弦定理可得cosA===-，

∴=-，

解得（c-b）2=9，又b＜c，

∴c-b=3．

故選：B．

根據(jù)面積求出bc，再利用余弦定理即可求出c-b的值．

本題考查了余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題．

5.【答案】C

【解析】【分析】

?根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

【解答】

解：①由a2＞b2；得a，b關(guān)系不確定，無法得a＞b成立，

②當(dāng)a＜0，b＞0時，滿足但a＞b不成立；

③若ac2＞bc2，得c≠0，則a＞b，反之不成立，即③是a＞b成立的充分不必要條件，

故選：C．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求解幾何體的體積即可．

?【解答】

解：由題意可知：幾何體是正方體的一部分，是三棱錐，

所以該三棱錐的體積為：=．

故選D．

7.【答案】D

【解析】解：如圖所示，

直線l上存在點P，過點P引圓的兩條切線11，l2，使得l1⊥l2，

則∠CPA=45°，∴|CP|=×=2．

設(shè)P（x，y），則點P滿足：（x-2）2+y2=4，與y=kx-2聯(lián)立化為：

（1+k2）x2-（4k+4）x+4=0，

∴△=（4k+4）2-4×4（1+k2）≥0，

解得k≥0．

∴實數(shù)k的取值范圍是[0，+∞）．

故選：D．

如圖所示，直線l上存在點P，過點P引圓的兩條切線11，l2，使得l1⊥l2，可得∠CPA=45°，可得|CP|=2．設(shè)P（x，y），則點P滿足：（x-2）2+y2=4，與y=kx-2聯(lián)立化簡，利用△≥0，即可得出k的取值范圍．

本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、圓的方程、一元二次方程有解與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

8.【答案】B

【解析】解：設(shè)周一，周二，周三開車上班的職工組成的集合分別為A，B，C，集合A，B，C中元素個數(shù)分別為n（A），n（B），n（C），

∩B∩C

則n（A）=14，n（B）=10，n（C）=8，n（A∪B∪C）=20，

因為n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），

所以14+10+8-20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤=6．

故選：B．

設(shè)周一，周二，周三開車上班的職工組成的集合分別為A，B，C，集合A，B，C中元素個數(shù)分別為n（A），n（B），n（C），根據(jù)n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．

本題考查了Venn圖表達集合的關(guān)系以及運算，屬中檔題．

9.【答案】-

【解析】解：∵；

∴2x+1=0；

∴．

故答案為：．

根據(jù)即可得出2x+1=0，解出x即可．

考查向量坐標的概念，以及平行向量的坐標關(guān)系．

10.【答案】

【解析】解：當(dāng)x=2，n=1時，n≤2成立，則x==，n=2，

此時n≤2成立，則x==，n=3，

此時n≤2不成立，

輸出x=，

故答案為：

根據(jù)程序框圖進行模擬計算即可．

本題主要考查程序框圖的應(yīng)用，利用條件進行模擬運算是解決本題的關(guān)鍵．

11.【答案】1

【解析】解：雙曲線-y2=1的右焦點坐標為（，0），一條漸近線方程，x-2y=0

∴雙曲線-y2=1的右焦點到一條漸近線的距離為=1．

故答案為：1．

確定雙曲線的右焦點與一條漸近線方程，利用點到直線的距離公式，即可得到結(jié)論．

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查點到直線的距離公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

12.【答案】f（x）=（x-1）2

【解析】解：“若f（0）?f（2）＞0，則f（x）在（0，2）內(nèi)無零點”為假命題，

即“若f（0）?f（2）＞0，則f（x）在（0，2）有零點”為真命題，

取函數(shù)f（x）=（x-1）2，可得：f（0）?f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，

故答案為：f（x）=（x-1）2

取函數(shù)f（x）=（x-1）2，可得：f（0）?f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，滿足“若f（0）?f（2）＞0，則f（x）在（0，2）有零點”為真命題，即”若f（0）?f（2）＞0，則f（x）在（0，2）內(nèi)無零點”為假命題，得解

本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系及零點定理，屬中檔題．

13.【答案】243

3402

【解析】解：由題意知每環(huán)石塊數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，首項a1=9，d=9，

則a27=a1+26d=9+26×9=243，

上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)為前27項和，

即S27====3402，

故答案為：243，3402

根據(jù)條件知每環(huán)石塊數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，首項a1=9，d=9，利用等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式進行計算即可．

本題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．

14.【答案】（0，1）∪（1，）

【解析】解：當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=logax+x-4是增函數(shù)，可得f（2）=loga2+2-4＞0．解得1＜a．

當(dāng)a∈（0，1）時，x→0時，f（x）＞0，x→2時，f（2）=loga2+2-4＜0，滿足題意，

所以實數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（1，）．

故答案為：（0，1）∪（1，）

通過a＞1與0＜a＜1，轉(zhuǎn)化求解不等式logax+x-4＞0（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有解，列出不等式組，即可求解實數(shù)a的取值范圍．

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與不等式的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．

15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，

則f（）=sin（2×+）+=sin+==1，

函數(shù)的最小周期T==π．

（Ⅱ）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z，

當(dāng)k=0時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-，]，

若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，m]上單調(diào)遞增，

則[0，m]?[-，]，

即0＜m≤，

即實數(shù)m的最大值為．

【解析】（Ⅰ）利用倍角公式結(jié)合輔助角公式進行化簡求解即可．

（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合單調(diào)區(qū)間關(guān)系進行求解即可．

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：（Ⅰ）由數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1=，a4=4，得，

∴，

即：q3=8．

解得q=2．

∴數(shù)列{an}的通項公式\

（Ⅱ）由題意，可知：

，

∴Sn=b1+b2+…+bn

=（-5+2-1）+（-4+20）+…+（n-6+2n-2）

∴+…+2n-2）=．

當(dāng)n≥5時，，，∴Sn＞0；

當(dāng)n=4時，；

當(dāng)n=3時，；

當(dāng)n=2時，；

當(dāng)n=1時，．

∴n的最小值為5．

【解析】本題第（Ⅰ）題可根據(jù)等比數(shù)列的定義求出數(shù)列{an}的通項公式；第（Ⅱ）題先求出數(shù)列{bn}的一般項，通過對一般項的觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列{bn}是一個等差數(shù)列加上一個等比數(shù)列，在求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn可將等差數(shù)列和等比數(shù)列分別求和再相加，然后再判斷Sn＞0時n的最小值．

本題第（Ⅰ）題主要考查等比數(shù)列的基本概念；第（Ⅱ）題求數(shù)列{bn}的前n項Sn，時采用的是裂項法分別求和．本題屬中檔題．

17.【答案】解：（Ⅰ）∵0.012×5×3+0.040×5×2+0.048×5+a×5=1，

∴a=0.036．

（Ⅱ）由題意知該乘客在甲站平均等待時間少于20分鐘的頻率為：

（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，

∴估計A的概率P（A）=0.5．

（Ⅲ）=（0.012×5+0.040×10+0.048×15+0.040×20+0.036×25+0.012×30+0.012×35）×5=18.3．

由頻率分布直方圖得＜．

【解析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a．

（Ⅱ）由頻率分布直方圖求出該乘客在甲站平均等待時間少于20分鐘的頻率，由此能估計A的概率．

（Ⅲ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出，由頻率分布直方圖得＜．

本題考查實數(shù)值的求法，考查概率、平均數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

18.【答案】（Ⅰ）證明：∵四邊形ADEF為正方形，∴AF⊥AD，

又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF?平面ADEF，

∴AF⊥平面ABCD，

又CD?平面ABCD，∴AF⊥CD；

（Ⅱ）證明：延長AM，交BC于G，

∵AD∥BC，M為BD的中點，∴△BGM≌△DAM，

∴BG=AD=1，

∵BC=2，∴GC=1，

由已知FE=AD=1且FE∥AD，

又∵AD∥GC，∴FE∥GC，且FE=GC．

∴四邊形GCEF為平行四邊形，則CE∥GF，

∵CE?平面AMF，GF?平面AMF，

∴CE∥平面AMF；

（Ⅲ）解：設(shè)G為BC中點，連接DG，EG，

由已知DG∥AB，∴DG∥平面AFB，

又∵DE∥AF，∴DE∥平面AFB，

∴平面DEG∥平面AFB．

∵AD⊥AB，AD⊥AF，∴AD⊥平面ABF，

∴多面體AFB-DEG為直三棱柱．

∵AB=AF=AD=1，且∠BAF=90°，

∴V1=V三棱柱AFB-DEG=S△AFB?AD=，

由已知DG∥AB，且DG=AB，

∴DG⊥GC且DG=GC=1，

又∵DE∥AF，AF⊥平面CDG，

∴DE⊥平面CDG，

∵DE=AF=1，

∴=．

∴．

【解析】（Ⅰ）由四邊形ADEF為正方形，得AF⊥AD，再由平面ADEF⊥平面ABCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AF⊥平面ABCD，從而得到AF⊥CD；

（Ⅱ）延長AM，交BC于G，證明△BGM≌△DAM，得到BG=AD=1，再由已知證明四邊形GCEF為平行四邊形，得到CE∥GF，然后利用線面平行的判定可得CE∥平面AMF；

（Ⅲ）設(shè)G為BC中點，連接DG，EG，分別證明DG∥平面AFB，DE∥平面AFB，可得平面DEG∥平面AFB．進一步證明AD⊥平面ABF，得到多面體AFB-DEG為直三棱柱．然后利用三棱柱AFB-DEG與三棱錐E-DGC的體積和求求多面體ABCDEF的體積．

本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求解多面體的體積，是中檔題．

19.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=aex-4，定義域是R，

當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在R遞減，

當(dāng)a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞ln，f（x）遞增，

令f′（x）＜0，解得：x＜ln，f（x）遞減，

故a≤0時，函數(shù)f（x）在R遞增，

當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（x）在（ln，+∞）遞增，在（-∞，ln）遞減；

（Ⅱ）由題意，只需證明ex-4x+x2+1＞0，

設(shè)F（x）=ex-4x+x2+1，

則F′（x）=ex-4+2x，設(shè)G（x）=F″（x），

∵G′（x）＞0，故G（x）在R遞增，

又G（0）=-3＜0，G（1）=e-2＞0，

故G（x）=0在（0，1）內(nèi)有唯一解，

即為x0，即=4-2x0，

當(dāng)x＜x0時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，

當(dāng)x＞x0時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，

故F（x）min=F（x0）=-4x0++1=-