2020年上海市普陀區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3月份)-

第=page22頁，共=sectionpages22頁第=page11頁，共=sectionpages11頁高考數(shù)學(xué)模擬試卷（3月份）題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共4小題，共20.0分）已知球O的半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，且每兩點(diǎn)間的球面距離均為，則球心O到平面ABC的距離為（）A. B. C. D.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（）A. B. C. D.將函數(shù)y=sin（x-）圖象上的點(diǎn)P（，t）向左平移s（s＞0）個(gè)單位，得到點(diǎn)P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，則（）A.t=，s的最小值為 B.t=，s的最小值為

C.t=，s的最小值為 D.t=，s的最小值為已知x，y∈R，且，則存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域面積為（）A.4- B.4- C. D.+二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）已知集合A={x||x-1|＞3}，U=R，則?UA=______．已知復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位），則Imz=______．計(jì)算

=______．行列式中第2行第1列元素的代數(shù)余子式的值為-10，則k=______．502019+1被7除后的余數(shù)為______．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積是______

已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，則tan2β=______．從5名同學(xué)中任選3人擔(dān)任上海進(jìn)博會志愿者，則“甲被選中，乙沒有被選中”的概率是______．如果（x2）n的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，那么展開式中的所有項(xiàng)的系數(shù)之和是______．若關(guān)于x、y的二元一次方程組=至少有一組解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．已知=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），且||=3，||=4，=12，則=______已知函數(shù)f（x）=，若存在唯一的整數(shù)x，使得不等式＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題（本大題共5小題，共76.0分）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，E、F分別是棱AB、D1C1的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．

（1）求三棱錐A1-FB1E的體積；

（2）求直線D1E與平面B1EF所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

已知函數(shù)f（x）=ax2-2ax+2（a＞0）在區(qū)間[-1，4]上的最大值為10．

（1）求a的值及f（x）的解析式；

（2）設(shè)g（x）=，若不等式g（3x）-t?3x≥0在x∈[0，2]上有解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

如圖，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北O(jiān)B的公路，現(xiàn)要修一條地鐵L，在OA，OB上各設(shè)一站A，B，地鐵在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10（km），設(shè)地鐵在AB部分的總長度為y（km）．

（1）按下列要求建立關(guān)系式：

（i）設(shè)∠OAB=α，將y表示成α的函數(shù)；

（i）設(shè)OA=m，OB=m用m，n表示y．

（2）把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短？并求出最短距離．

已知?jiǎng)又本€l與橢圓C：=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）若直線l過點(diǎn)（1，0），且原點(diǎn)到直線l的距離為，求直線l的方程；

（2）若△OPQ的面積S△OPQ=，求證：x12+x22和y12+y22均為定值；

（3）橢圓C上是否存在三點(diǎn)D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由．

已知無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)都不為零，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an?an+1=Sn（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足，其中t為正整數(shù)．

（1）求a2018；

（2）若不等式對任意n∈N*都成立，求首項(xiàng)a1的取值范圍；

（3）若首項(xiàng)a1是正整數(shù)，則數(shù)列{bn}中的任意一項(xiàng)是否總可以表示為數(shù)列{bn}中的其他兩項(xiàng)之積？若是，請給出一種表示方式；若不是，請說明理由．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：顯然OA、OB、OC兩兩垂直，

如圖，設(shè)O1為ABC所在平面截球所得圓的圓心，

∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，

∴AB=BC=CA=．

∴O1為△ABC的中心．∴O1A=．

由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=．

故選：B．

先確定內(nèi)接體的形狀，確定球心與平面ABC的關(guān)系，然后求解距離．

本題考查球的內(nèi)接體問題，球心與平面的距離關(guān)系，考查空間想象能力，是中檔題．

2.【答案】D

【解析】【解答】

?解：如圖：△ABC中，繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，

則所形成的幾何體是以ACD為軸截面的圓錐中挖去了一個(gè)以ABD

為軸截面的小圓錐后剩余的部分．

∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，

BE=ABcos60°=1，

V1==，V2==π，

∴V=V1-V2=，

故選：D．

【分析】

所形成的幾何體是以ACD為軸截面的圓錐中挖去了一個(gè)以ABD為軸截面的小圓錐后剩余的部分，故用大圓錐的體積減去小圓錐的體積，即為所求．

本題考查圓錐的體積公式的應(yīng)用，判斷旋轉(zhuǎn)體的形狀是解題的關(guān)鍵．

3.【答案】C

【解析】解：將x=代入得：t=sin=，進(jìn)而求出平移后P′的坐標(biāo)，

將函數(shù)y=sin（x-）圖象上的點(diǎn)P（，t）向左平移s（s＞0）個(gè)單位，

得到點(diǎn)P′，若P′位于函數(shù)y=sin2x的圖象上，

則sin（+2s）=cos2s=，

則2s=±+2kπ，k∈Z，

則s=±+kπ，k∈Z，

由s＞0得：當(dāng)k=0時(shí)，s的最小值為，

故選：C．

將x=代入得：t=，進(jìn)而求出平移后P′的坐標(biāo)，進(jìn)而得到s的最小值．

本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象和性質(zhì)，難度中檔．

4.【答案】A

【解析】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：對應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿切蜲AB，

若存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，

則（cosθ+sinθ）=-1，

令sinα=，則cosθ=，

則方程等價(jià)為sin（α+θ）=-1，

即sin（α+θ）=-，

∵存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立，

∴|-|≤1，即x2+y2≥1，

則對應(yīng)的區(qū)域?yàn)閱挝粓A的外部，

由，解得，即B（2，2），

A（4，0），則三角形OAB的面積S=×=4，

直線y=x的傾斜角為，

則∠AOB=，即扇形的面積為，

則P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域面積為S=4-，

故選：A．

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求解xcosθ+ysinθ+1=0成立的等價(jià)條件，利用數(shù)形結(jié)合求出對應(yīng)的面積即可得到結(jié)論．

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件作出對應(yīng)的圖象，求出對應(yīng)的面積是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．

5.【答案】[-2，4]

【解析】解：A={x||x-1|＞3}={x|x-1＞3或x-1＜-3}={x|x＞4或x＜-2}，

則?UA={x|-2≤x≤4}，

故答案為：[-2，4]．

求出A的等價(jià)條件，結(jié)合補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可．

本題主要考查集合的基本運(yùn)算，根據(jù)條件求出集合A的等價(jià)條件，結(jié)合補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵．

6.【答案】-1

【解析】解：∵z==，

∴Imz=-1．

故答案為：-1．

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：∵=，

∴=．

∴原式==．

故答案為：．

利用極限的運(yùn)算法則即可得出．

本題考查了極限的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】-14

【解析】解：由題意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10

解得：k=-14．

故答案為：-14．

根據(jù)余子式的定義可知，在行列式中劃去第2行第1列后所余下的2階行列式帶上符號（-1）i+j為M21，求出其表達(dá)式列出關(guān)于k的方程解之即可．

此題考查學(xué)生掌握三階行列式的余子式的定義，會進(jìn)行矩陣的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．

9.【答案】2

【解析】解：502019+1=（1+7）2019+1=1++?72+……++1=7（+?7+……+）+2．

∴502019+1被7除后的余數(shù)為2，

故答案為：2．

利用二項(xiàng)式定理展開即可得出．

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】4π

【解析】解：這個(gè)幾何體為圓錐，圓錐的高為6，底面圓的直徑為4，

所以圓錐的母線長==2，

所以該幾何體的側(cè)面積=?4π?2=4π．

故答案為：4π．

觀察三視圖．得到這個(gè)幾何體為圓錐，圓錐的高為6，底面圓的直徑為4，再利用勾股定理計(jì)算出母線長，然后根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式求解．

本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了三視圖．

11.【答案】

【解析】解：由tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，

得tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]===．

故答案為：-．

由已知結(jié)合tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]，展開兩角差的正切求解．

本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查兩角差的正切，是基礎(chǔ)題．

12.【答案】

【解析】解：從5名同學(xué)中任選3人擔(dān)任上海進(jìn)博會志愿者，

基本事件總數(shù)n==10，

“甲被選中，乙沒有被選中”包含的基本事件有m==3，

∴“甲被選中，乙沒有被選中”的概率P==．

故答案為：．

基本事件總數(shù)n==10，“甲被選中，乙沒有被選中”包含的基本事件有m==3，由此能求出“甲被選中，乙沒有被選中”的概率．

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

13.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，在中，令x=1可得，其展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是（）n，

又由的展開式中中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，

所以n=6．

則展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是（）6=；

故答案為．

先用賦值法，在中，令x=1可得，其展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是（）n，進(jìn)而根據(jù)題意，其展開式中中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可得n的值為6，代入（）n中，即可得答案．

本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求二項(xiàng)式展開式所有項(xiàng)系數(shù)和的一般方法是令x=1，再計(jì)算二項(xiàng)式的值．

14.【答案】（-∞，-1）∪（-1，+∞）

【解析】解：關(guān)于x，y的二元一次方程組=，即二元一次方程組，

若直線mx+y-（m+1）=0與直線x+my-2m=0平行，

則，解得m=-1．

∴若關(guān)于x、y的二元一次方程組=至少有一組解，

則m≠-1，即m∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）．

故答案為：（-∞，-1）∪（-1，+∞）．

先根據(jù)矩陣的乘法進(jìn)行化簡得到二元一次方程組，然后求出兩直線平行的m的范圍，取補(bǔ)集得答案．

本題考查了二元一次方程組的解的個(gè)數(shù)，考查矩陣的乘法運(yùn)算，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：由||=3，||=4，得=||×||×cosθ=3×4×cosθ=12，

∴cosθ=1；

又θ∈[0，π]，∴θ=0；

∴=λ，且λ＞0；

則||=λ||，

∴λ==，

∴===λ=，

∴=λ=．

故答案為：．

由平面向量的數(shù)量積求得、的夾角θ=0，

得出=λ，計(jì)算λ的值，即可求得====λ．

本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題．

16.【答案】[0，3]∪[4，15]

【解析】【分析】

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，注意分析函數(shù)f（x）的圖象，屬于中檔題．

根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式作出f（x）的函數(shù)圖象，得出f（x）的單調(diào)性，對x的符號進(jìn)行討論，根據(jù)不等式只有1整數(shù)解得出a的范圍．

【解答】

解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=，其圖象如圖：

分2種情況討論：

①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≤f（1）=4，

若存在唯一的整數(shù)x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＞0有唯一的整數(shù)解，

又f（2）=0，則此時(shí)有0≤a＜4．

②當(dāng)x＜0時(shí)，則f（x）≥f（0）=0，

若存在唯一的整數(shù)x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＜0有唯一的整數(shù)解，

又由f（-1）=3，f（-2）=15，

則此時(shí)有3＜a≤15，

因?yàn)棰佗诓荒芡瑫r(shí)滿足，否則不符合題意，

綜合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；

則a的取值范圍為[0，3]∪[4，15]；

故答案為：[0，3]∪[4，15]．

17.【答案】解：（1）∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，E、F分別是棱AB、D1C1的中點(diǎn)，

連結(jié)EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．

∴三棱錐A1-FB1E的體積

==

=

=．

（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F(xiàn)（0，2，4），

=（0，2，4），=（-4，0，4），=（-4，-2，4），

設(shè)平面B1EF的法向量=（x，y，z），

則，取x=1，得=（1，-2，1），

設(shè)直線D1E與平面B1EF所成角的大小為θ，

則sinθ===，

∴直線D1E與平面B1EF所成角的大小為arcsin．

【解析】（1）三棱錐A1-FB1E的體積==，由此能求出結(jié)果．

（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線D1E與平面B1EF所成角的大?。?/p>

本題考查三棱錐的體積的求法，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

18.【答案】解：（1）f′（x）=2ax-2a=2a（x-1），（a＞0），

令f′（x）＞0，解得：x＞1，

令f′（x）＜0，解得：x＜1，

故f（x）在[-1，1）遞減，在（1，4]遞增，

∵1-（-1）＜4-1，

故f（x）max=f（4）=16a-8a+2=8a+2=10，解得：a=1，

故f（x）=x2-2x+2；

（2）由（1）g（x）=x+-2，

若不等式g（3x）-t?3x≥0在x∈[0，2]上有解，

則3x+-2-t?3x≥0在x∈[0，2]上有解，

即t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，

令=u∈[，1]，

∵x∈[0，2]，

則t≤2+在u∈[，1]上有解，

當(dāng)u∈[，1]時(shí)，2+∈[，1]，

于是t≤1，

故實(shí)數(shù)t的范圍是（-∞，1]．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出a的值，求出函數(shù)的解析式即可；

（2）問題轉(zhuǎn)化為t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可．

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，換元思想，是一道綜合題．

19.【答案】解：（1）（i）過O作OH⊥AB于H

由題意得，

且

即AH=10cotα

即

∴==

（ii）

由等面積原理得，即

（2）選擇方案一：當(dāng)時(shí)，

此時(shí)，而

所以．

選擇方案二：因?yàn)椋?/p>

由余弦定理得=

∴

即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）

【解析】（1）（i）過O作OH⊥AB于H，則由及直角三角形的三角關(guān)系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可

（ii）由等面積原理得，可求AB

（2）選擇方案一：結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求AB的最小值

選擇方案二：由余弦定理得=，結(jié)合基本不等式可求AB的最小值

本題主要考查了解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，綜合考查了基本不等式的知識，解題的關(guān)鍵是合理的把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

20.【答案】解：（1）設(shè)直線方程為x=my+1，

∵原點(diǎn)到直線l的距離為，

∴d==，

解得m=±1時(shí)，

此時(shí)直線方程為x±y-1=0，

（2）1°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，

所以x1=x2，y1=-y2，

∵P（x1，y1）在橢圓上，

∴+y12=1①

又∵S△OPQ=，

∴|x1||y1|=②

由①②得|x1|=1，|y1|=．此時(shí)x12+x22=2，y12+y22=1；

2°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，是直線l的方程為y=kx+m（m≠0），將其代入+y2=1得

（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，△=16k2m2-8（2k2+1）（m2-1）＞0

即2k2+1＞m2，

又x1+x2=-，x1?x2=，

∴|PQ|=?=，

∵點(diǎn)O到直線l的距離為d=，

∴S△OPQ=|PQ|?d=??=??|m|

又S△OPQ=，即??|m|=

整理得2k2+1=2m2，

此時(shí)x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2×=2，

y12+y22=（1-x12）+（1-x22）=2-（x12+x22）=1；

綜上所述x12+x22=2，y12+y22=1．結(jié)論成立．

（3）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=，

證明：假設(shè)存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=

由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1

解得u2=x12=x22=1；v2=y12=y22=．

因此u，x1，x2只能從±1中選取，

v，y1，y2只能從±中選取，

因此點(diǎn)D，E，G，只能在（±1，±）這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，

而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾．

所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G．

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出．

（2）分情況討論，根據(jù)已知設(shè)出直線l的方程，利用弦長公式求出|PQ|的長，利用點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)O到直線l的距離，根據(jù)三角形面積公式，即可求得x12+x22和y12+y22均為定值；

（3）假設(shè)存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2）