高中數學第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理2課件新人教版A

1.1.1正弦定理(二)第一章§1.1正弦定理和余弦定理1.熟記并能應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題.2.能根據條件，判斷三角形解的個數.3.能利用正弦定理、三角變換解決較為復雜的三角形問題．

學習目標題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學知識點一正弦定理的常見變形1.sinA∶sin

B∶sin

C＝

；3.a＝

，b＝

，c＝

；4.sinA＝____，sinB＝_____，sinC＝____.a∶b∶c2RsinA2RsinB2RsinC2R思考1

知識點二判斷三角形解的個數在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判斷三角形解的個數.答案故對應的鈍角B有90°<B<120°，也滿足A＋B<180°，故三角形有兩解.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角，三角形解的個數并不一定唯一.例如在△ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理

在由sinB求B時，如果a>b，則有A>B，所以B為銳角，此時B的值唯一；如果a<b，則有A<B，所以B為銳角或鈍角，此時B的值有兩個.梳理如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別相等，則這兩個三角形全等.即三角形的兩邊及其夾角確定時，三角形的六個元素即可完全確定，故不必考慮解的個數的問題.思考2

答案已知三角形的兩邊及其夾角，為什么不必考慮解的個數？解三角形4個基本類型：(1)已知三邊；(2)已知兩邊及其夾角；(3)已知兩邊及其一邊對角；(4)已知一邊兩角.其中只有類型(3)解的個數不確定.梳理知識點三正弦定理在解決較為復雜的三角形問題中的作用可借助正弦定理把邊化成角：2RsinAcos

B＝2RsinBcos

A，移項后就是一個三角恒等變換公式sinAcos

B－cos

Asin

B＝0.思考1

答案在△ABC中，已知acos

B＝bcos

A.你能把其中的邊a，b化為用角表示嗎(打算怎么用上述條件)?梳理一個公式就是一座橋梁，可以連接等號兩端.正弦定理的本質就是給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯系.所以正弦定理主要功能就是把邊化為對角的正弦或者反過來.簡稱邊角互化.盡管正弦定理給出了三角形的邊與對角的正弦之間的聯系，但畢竟不是邊等于對角正弦，這里還涉及到外接圓半徑.故使用時要么能消掉外接圓半徑(如思考1)，要么已知外接圓半徑.思考2

什么時候適合用正弦定理進行邊角互化？答案題型探究例1

在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形.(角度精確到1°，邊長精確到1cm)類型一判斷三角形解的個數解答因為0°<B<180°，且b>a，B>A，(1)當B≈64°時，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋64°)＝76°，

(2)當B≈116°時，C＝180°－(A＋B)≈180°－(40°＋116°)＝24°，綜上，B≈64°，C≈76°，c≈30cm或B≈116°，C≈24°，c≈13cm.引申探究例1中b＝28cm，A＝40°不變，當邊a在什么范圍內取值時，△ABC有兩解(范圍中保留sin40°)?解答如圖，∠A＝40°，CD⊥AD.AC＝28cm，以C為圓心，a為半徑畫圓弧，當CD＜a＜AC，即bsin

A＜a＜b，28sin40°＜a＜28時，△ABC有兩解(△AB1C，△AB2C均滿足題設).已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，首先求出另一邊的對角的正弦值，根據該正弦值求角時，要根據已知兩邊的大小情況來確定該角有一個值還是兩個值.或者根據該正弦值(不等于1時)在0°～180°范圍內求角，一個銳角，一個鈍角，只要不與三角形內角和定理矛盾，就是所求.反思與感悟跟蹤訓練1

已知一三角形中a＝

b＝6，A＝30°，判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形.解答

又因為bsin

A＝6sin30°＝3，bsin

A＜a＜b，所以本題有解，且有兩解，由正弦定理，得

因為b>a，B>A，B∈(0°，180°)，所以B＝60°或120°.類型二利用正弦定理求最值或取值范圍例2

在銳角△ABC中，角A，B，C分別對應邊a，b，c，a＝2bsinA，求cos

A＋sinC的取值范圍.解答∵a＝2bsinA，∴由正弦定理，得sinA＝2sinBsin

A，由銳角△ABC知，反思與感悟解決三角形中的取值范圍或最值問題：(1)先利用正弦定理理清三角形中元素間的關系或求出某些元素.(2)將所求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(三角函數)，從而轉化為函數的值域或最值問題.跟蹤訓練2

在△ABC中，若C＝2B，求

的取值范圍.解答因為A＋B＋C＝π，C＝2B，例3已知△ABC的三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a＋c＝2b,2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判斷△ABC的形狀.解答類型三正弦定理與三角變換的綜合∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.∵a＋c＝2b.∴△ABC是等邊三角形.反思與感悟借助正弦定理可以實現三角形中邊角關系的互化，轉化為角的關系后，常利用三角變換公式進行變形、化簡，確定角的大小或關系，繼而判斷三角形的形狀、證明三角恒等式.跟蹤訓練3

已知方程x2－(bcos

A)x＋acos

B＝0的兩根之積等于兩根之和，其中a、b為△ABC的兩邊，A、B為兩內角，試判斷這個三角形的形狀.解答設方程的兩根為x1、x2，由根與系數的關系，得

∴bcos

A＝acos

B.由正弦定理，得sinBcos

A＝sinAcos

B，∴sinAcos

B－cos

Asin

B＝0，sin(A－B)＝0.∵A、B為△ABC的內角，∴0<A<π，0<B<π，－π<A－B<π，∴A－B＝0，即A＝B.故△ABC為等腰三角形.當堂訓練1.在△ABC中，AC＝

BC＝2，B＝60°，則角C的值為A.45° B.30° C.75° D.90°答案解析√123∴A＝45°，∴C＝75°.1232.在△ABC中，若

則△ABC是A.直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形答案解析√∴tanA＝tanB＝tanC，又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，故三角形為等邊三角形.1233.在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求

的值.

解答規(guī)律與方法1.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，這時三角