高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.1.2類比推理教案北師大版選修

1.1.2類比推理魯班給鐵皮加上齒制成了鋸，便于切割。對我們的啟發(fā)：最早的餐刀和水果刀相似，怎樣對餐刀進(jìn)行改造？加上齒可能有生命存在有生命存在溫度適合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)火星地球火星上是否存在生命火星與地球類比的思維過程：火星地球存在類似特征地球上有生命存在猜測火星上也可能有生命存在

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征,推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理.類比推理

即：類比推理是由特殊到特殊的推理．類比推理的一般步驟：觀察、比較聯(lián)想、類推猜想新結(jié)論“沒有大膽的猜測就沒有偉大的發(fā)明”

——————牛頓問題：有學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)類比不等式的性質(zhì)。等式的性質(zhì)：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=bac=bc;(3)a=b

a2=b2;等等。類比不等式的性質(zhì)：(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a＞bac＞bc;(3)a＞b

a2＞b2;等等。問：這樣猜想出的結(jié)論是否一定正確？“類比是一個偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”————數(shù)學(xué)家波利亞

..探究圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)連線垂直于弦.與圓心距離相等的兩弦相等;與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長.以點(diǎn)P(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2＋(y-y0)2=r2.球心與截面圓(不經(jīng)過球心的截面圓)的圓心連線垂直于截面圓.與球心距離相等的兩截面圓面積相等;與球心距離不等的兩截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大.以點(diǎn)P(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.例3.半徑為r的圓的面積，周長若將r看作上的變量，則①，①式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對于半徑為R的球，若將R看作上的變量，請你寫出類似于①的式子：__________②，②式可用語言敘述為_______

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球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。例5：類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．

例6:已知三角形的面積為其中a、b、c為三角形邊長，r為內(nèi)切圓的半徑。利用類比推理寫出四面體的體積公式。練習(xí)1：正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是一個定值。正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個面的距離之和是一個定值。類比推理的特點(diǎn)：1.由特殊到特殊的推理；2.以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。3.類比推理的結(jié)論不一定成立?！懊慨?dāng)理智缺乏可靠論證的思路時，類比這個方法往往指引我們前進(jìn)?！薄档?/p>

類比推理由特殊到特殊的推理;以舊的知識為基礎(chǔ),推測新的結(jié)果；結(jié)論不一定成立.歸納推理由部分到整體、特殊到一般的推理;以觀察分析為基礎(chǔ),推測新的結(jié)論;具有發(fā)現(xiàn)的功能;結(jié)論不一定成立.具有發(fā)現(xiàn)的功能;歸納推理和類比推理的過程：從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理.合情推理歸納推理類比推理小結(jié)：

對這兩種推理在數(shù)學(xué)活動中的作用，著名的數(shù)學(xué)教育家G．波利亞作了精辟的論述：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其他知識的創(chuàng)造過程一樣，在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，先得猜測這個定理的內(nèi)容；在完成詳細(xì)的證明之前，先得推測證明的思路．創(chuàng)造過程是一個艱苦曲折的過程．?dāng)?shù)學(xué)家創(chuàng)造性的工作是論證推理，即證明．但這個證明是通過合情推理、通過猜想而發(fā)現(xiàn)的．”練習(xí)2：計算機(jī)中常用的十六進(jìn)位制是逢１６進(jìn)１的計算制，采用數(shù)字０-９和字母Ａ-Ｆ共１６個計數(shù)符號，這些符號與十進(jìn)制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表；十六進(jìn)位０１２３４５６７十進(jìn)位０