2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題4 立體幾何-第1講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積【課件】

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積專題四2025內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.空間幾何體的表面積與體積公式

球的表面積恰好是球的大圓面積的4倍

名師點析柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系(S',S分別為上、下底面面積,h為高)易錯警示正四面體一定是正三棱錐,但正三棱錐不一定是正四面體.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征B[例1-2]如圖,有一圓柱形的開口容器(下底面密封),其軸截面是邊長為2的正方形,P是BC的中點,現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處,內(nèi)壁P處有一米粒,則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的最短路程為

.

名師點析幾何體的表面展開及其應(yīng)用(1)圓錐、圓柱的側(cè)面展開圖分別為扇形和矩形,圓錐、圓柱的底面周長分別為扇形的弧長、矩形的一邊長,根據(jù)此建立圓錐、圓柱基本量的聯(lián)系解決問題.(2)解決多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上與長度有關(guān)的最值問題時,一般采用轉(zhuǎn)化法,即將表面展開化為平面圖形,通過“化折為直”或“化曲為直”來解決,注意展開前后哪些幾何量發(fā)生變化,哪些不變.對點練1(1)021·山東淄博二模)已知圓臺的上、下底面面積分別為4,16,則過該圓臺的母線的中點,且平行于底面的平面截該圓臺,所得截面的面積為(

)A.10 B.8

C.9

D.8C(2)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M為棱DD1上的一點,當(dāng)A1M+MC取最小值時,B1M的長為(

)D突破點二空間幾何體的表面積[例2-1]國家游泳中心(水立方/冰立方)的設(shè)計靈感來源于威爾-弗蘭泡沫,威爾-弗蘭泡沫是對開爾文胞體的改進(jìn),開爾文胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每個頂點處有1個正方形和2個正六邊形),已知該多面體共有24個頂點,且棱長為1,則該多面體的表面積是(

)C[例2-2]已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等,若圓錐的軸截面是等邊三角形,則這個圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為(

)C解析

設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為r,高為h,圓錐的母線長為l.因為圓錐的軸截面是等邊三角形,所以l=2r,方法總結(jié)求幾何體表面積的方法(1)對于簡單幾何體,常根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征求表面積,有公式的可直接利用公式求解.(2)對于組合體,先弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組成形式,再求組合體的表面積.對點練2(1)(2024·河北統(tǒng)考模擬)柷(zhù),是一種古代打擊樂器,迄今已有四千多年的歷史,柷的上方形狀猶如四方形木斗,上寬下窄,下方有一底座,用椎(木棒)撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲,表示樂曲將開始.如圖,某柷(含底座)高60cm,上口正方形邊長70cm,下口正方形邊長54cm,底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長4cm,高為16cm的正四棱柱,則該柷(含底座)的側(cè)面積約為(

≈2.236)(

)A.12960cm2 B.14803cm2C.16800cm2 D.18240cm2B解析

如圖,正四棱臺中,連接AC,A1C1,過點A,C分別作AE⊥A1C1,CF⊥A1C1,交A1C1于點E,F,依題意AB=54

cm,A1B1=70

cm,AE=CF=60-16=44

cm,又正四棱柱的側(cè)面積S2=4×(54+4)×16=3

712

cm2,所以該柷(含底座)的側(cè)面積約為11

090.56+3

712=14

802.56≈14

803

cm2.故選B.(2)(2024·四川成都高三期末)交通錐,又稱錐形交通路標(biāo),如圖1,常用于進(jìn)行工程、發(fā)生事故時提醒行人或車輛,以保證工程人員及道路使用者的人身安全等.某數(shù)學(xué)課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上,如圖2,使交通錐筒在地面上繞錐頂點S滾動,當(dāng)這個交通錐筒首次轉(zhuǎn)回到原位置時,交通錐筒本身恰好滾動了3周.若將該交通錐筒近似看成圓錐,將地面近似看成平面,測得該圓錐的底面半徑為

cm,則該圓錐的側(cè)面積為

cm2.(交通錐筒的厚度忽略不計).1350π圖1圖2解析

設(shè)圓錐的母線長為l,則圓錐繞頂點S滾動所形成的圓的半徑為l,周長為2πl(wèi).突破點三空間幾何體的體積B[例3-2](2022·新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為A.1.0×109m3

B.1.2×109

m3C.1.4×109m3

D.1.6×109

m3C解析

由題意可得,此棱臺的高h(yuǎn)=157.5-148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5

m時,相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5

m時,相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0

km2=1.4×108

m2,S2=180.0

km2=1.8×108

m2,故該棱臺的體積≈1.4×109(m3),即增加的水量約為1.4×109

m3.故選C.方法總結(jié)求幾何體體積的基本方法(1)直接法:對于規(guī)則的幾何體,可利用相關(guān)公式直接計算.(2)割補法:對于不規(guī)則的幾何體,可將其分割成規(guī)則的幾何體,進(jìn)行體積計算;也可把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體,進(jìn)行體積計算.(3)轉(zhuǎn)換法:主要用于求三棱錐(四面體)的體積,將三棱錐的頂點和底面進(jìn)行轉(zhuǎn)換,使其底面的面積可求(或容易求),高可求(或容易求),從而代入公式求得體積.對點練3(1)(2024·廣西壯族自治區(qū)模擬)折扇是我國古老文化的延續(xù),在我國已有四千年左右的歷史,“扇”與“善”諧音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化,也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征.一個圓臺的側(cè)面展開圖如圖所示(扇形的一部分),若兩個圓弧DE,AC所在圓的半徑分別是3和6,且∠ABC=120°,則該圓臺的體積為(

)DB解析

如圖,將三棱錐P-AMN看作三棱錐A-PMN,即以A為頂點,△PMN為底面的三棱錐,將三棱錐P-ABC看作三棱錐A-PBC,即以A為頂點,△PBC為底面的三棱錐.突破點四球的表面積與體積B[例4-2](2024·江蘇徐州沛縣湖西中學(xué)模擬)在三棱錐P-ABC中,三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=2,若三棱錐P-ABC的所有頂點都在同一個球的表面上,則該球的體積是(

)A方法總結(jié)1.掌握球的表面積公式S球=4πR2,球的體積公式V球=πR3是計算球的表面積和體積的關(guān)鍵,半徑與球心是確定球的條件.2.用一個平面截球所得截面的特征:(1)用一個平面去截球,截面是圓面.(2)球心和截面圓心的連線垂直于截面.(3)球心到截面的距離d與球的半徑R以及截面圓的半徑r的關(guān)系是對點練4(1)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,☉O1為△ABC的外接圓.若☉O1的面積為4π,AB=BC