2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題4 立體幾何-素養(yǎng)提升微專題(五) 球的切接問題【課件】

素養(yǎng)提升微專題(五)球的切接問題2025規(guī)律方法球的切、接問題的求解方法關(guān)于球的切接問題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置,常見的求解方法有如下幾種(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解,確定球心的位置,弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系,列方程(組)求解.(2)補(bǔ)形法求外接球半徑①如圖1,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi).②如圖2,若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形,則此時(shí)可構(gòu)造長方體.③如圖3,正四面體P-ABC可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長

.④如圖4,若三棱錐的對棱兩兩相等,則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi).(3)等體積法求內(nèi)切球半徑:棱錐是任意棱錐,求其的內(nèi)切球半徑.若棱錐的體積為V,表面積為S,則內(nèi)切球的半徑為

.考查角度命題角度1

幾何體的外接球問題[例1-1](2024·云南德宏高三期末)在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AC=BC=,PC=AB=2,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(

)A.20π

B.12π

C.5π

D.4πC解析

如圖,將三棱錐P-ABC轉(zhuǎn)化為長方體,可知三棱錐P-ABC的外接球即為長方體的外接球,B方法總結(jié)求解多面體外接球問題的兩種思路(1)補(bǔ)形法:對于同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱互相垂直的錐體,側(cè)面為直角三角形,或正四面體,或?qū)饩嗟鹊乃拿骟w模型,可以還原到正方體或長方體中去求解;(2)確定球心法:到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心,借助某特殊底面的外接圓圓心,找其垂線,則球心一定在垂線上,再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑,列關(guān)系式求解即可.命題角度2

幾何體的內(nèi)切球問題[例2-1]已知圓錐的底面半徑為2,高為

,則該圓錐內(nèi)切球的體積為

.[例2-2](2023·廣東珠海模擬)半正多面體亦稱“阿基米德體”,“阿基米德多面體”是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成,其可由正四面體切割而成,如圖所示.已知MN=1,若在該半正多面體內(nèi)放一個(gè)球,則該球表面積的最大值為

.解析

由題意知,當(dāng)球的表面積最大時(shí),該球的球心即為半正多面體所在正四面體的內(nèi)切球的球心,記球心為O',正四面體為P-ABC,取BC中點(diǎn)D,連接AD,PD,連接PO'并延長,交AD于E,如圖.名師點(diǎn)析求幾何體內(nèi)切球的半徑的常用方法(1)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,通過構(gòu)造直角三角形,利用平面知識(shí)求出內(nèi)切球的半徑.(2)利用體積分割求出內(nèi)切球的半徑.對點(diǎn)演練B解析

如圖,設(shè)外接球球心為O,等邊三角形ABC的外心為O1,等邊三角形A1B1C1的外心為O2,O1,O,O2三點(diǎn)共線,則O1O2是正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的高,設(shè)臺(tái)體的高為h,設(shè)外接球的半徑為R,過點(diǎn)B作BD⊥B1O2,垂足為D,根據(jù)正棱臺(tái)的性質(zhì)可知BD∥O1O2,BD=O1O2,所以BD⊥平面A1B1C1,B1O2?平面A1B1C1,所以BD⊥B1O2,2.(2024·廣東深圳統(tǒng)考一模)已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r1,r2,且r2=2r1,若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切,則該圓臺(tái)的體積為(

)C解析

該幾何體的軸截面如圖所示,設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為O1,O2,則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在O1O2的中點(diǎn)處,設(shè)球O與母線AB切于M點(diǎn),所以O(shè)M⊥AB,所以O(shè)M=OO1=OO2=2,所以△AOO1與△AOM全等,所以AM=r1,同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1,過A作AG⊥BO2,垂足為G,則BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,3.(2024·廣東佛山模擬)已知正三棱柱的所有棱長均相等,其外接球與棱切球(該球與其所有棱都相切)的表面積分別為S1,S2,則

=

.

4.中國古建筑聞名于世,源遠(yuǎn)流長.如圖1,五脊殿是中國傳統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式,該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示.在結(jié)構(gòu)示意圖中,已知四邊形ABCD為矩形,EF∥AB,AB=2EF=2,△ADE與△BCF都是邊長為1的等邊三角形,若點(diǎn)A,B,C,D,E,F都在球O的球面上,則球O的表面積為(

)D圖1圖2解析

如圖,連接AC,BD,交于點(diǎn)O1,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以O(shè)1為矩形ABCD外接圓的圓心.連接OO1,則OO1⊥平面ABCD,分別取EF,AD,BC的中點(diǎn)M,P,Q,根據(jù)幾何體ABCDEF的對稱