2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題6 第2講 圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)【課件】

第2講圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)專題六2025內(nèi)容索引0102必備知識?精要梳理關(guān)鍵能力?學(xué)案突破必備知識?精要梳理1.圓錐曲線的定義(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|);(3)拋物線:|PF|=|PM|,點F不在直線l上,PM⊥l于點M.若點F在直線l上,點的軌跡是過F且與l垂直的直線

誤區(qū)警示利用橢圓、雙曲線的定義解題時,要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中,有兩點是缺一不可的:其一,絕對值;其二,0<2a<|F1F2|.如果滿足第二個但不滿足第一個條件,動點到兩定點的距離之差為常數(shù),而不是差的絕對值為常數(shù),那么其軌跡只能是雙曲線的一支.2.圓錐曲線的標準方程

(3)拋物線:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).名師點析注意區(qū)分橢圓與雙曲線的標準方程,尤其是方程中a,b,c三者之間的關(guān)系,以及焦點所在位置.3.圓錐曲線的幾何性質(zhì)

方程中勿忘“±”及“x”(2)橢圓、雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系

注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系

名師點析已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時,可直接應(yīng)用上述②中的公式,此時易忽視焦點所在的坐標軸導(dǎo)致漏解.4.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷方法:通過解直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到的方程組進行判斷.名師點析直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解,在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時,必須先有“判別式Δ≥0”.在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“Δ>0”下進行.關(guān)鍵能力?學(xué)案突破突破點一圓錐曲線的定義及標準方程[例1-1](2022·全國乙,理5)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(

)B解析

設(shè)點A(xA,yA),由題意知點F(1,0),則|BF|=2.由拋物線的定義知|AF|=xA+1,[例1-2]在平面直角坐標系中,一動圓C與x軸切于點A(4,0),分別過點M(-5,0),N(5,0)作圓C的切線并交于點P(點P不在x軸上),則點P的軌跡方程為(

)A解析

如圖,設(shè)切線PM,PN上的切點分別為B,D,則|PB|=|PD|,|MB|=|MA|,|NA|=|ND|,|PM|-|PN|=|MA|-|NA|=9-1=8,所以P點軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支(除去與x軸的交點),2a=8,a=4,c=5,則解析

設(shè)橢圓C的左焦點為F1,如圖,連接AF1,BF1,因為|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,所以四邊形AF1BF為平行四邊形.解題心得求圓錐曲線的標準方程時“先定型,后計算”(1)“定型”是指確定圓錐曲線的類型,即確定圓錐曲線焦點所在的位置.(2)“計算”是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2,p的值,最后代入相應(yīng)的標準方程寫出結(jié)果.注意:當(dāng)焦點位置無法確定時,拋物線方程常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓方程常設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,且m≠n),雙曲線方程常設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0).對點練1(3)已知O為坐標原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準線方程為

.

不妨設(shè)A在雙曲線的右支上,由雙曲線定義可得|AF1|-|AF2|=2a=2①,突破點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)命題角度1

圓錐曲線的幾何性質(zhì)

AD解析

因為過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準線的交點坐標為(-2,2),所以拋物線的準線方程為x=-2,從而拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標為(2,0).因為過雙曲線的右頂點且與漸近線平行的直線與拋物線的準線的交點坐標為(-2,2),解題心得1.研究圓錐曲線的性質(zhì)時,一是要結(jié)合圓錐曲線的定義,二是要與三角形中的定理(如勾股定理、角平分線定理等)相結(jié)合.2.求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求

的值,在計算過程中也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”,然后因式分解得到.對點練2(1)(多選題)(2024·廣西壯族自治區(qū)二模)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線l交拋物線C于A,B兩點(點A在x軸的下方),則下列結(jié)論正確的是(

)A.若|AB|=8,則AB中點到y(tǒng)軸的距離為4B.弦AB的中點的軌跡為拋物線BCD4命題角度2

求圓錐曲線的離心率

C規(guī)律方法求橢圓(或雙曲線)離心率(或其取值范圍)的常用方法

(3)若得到的是關(guān)于a,c的齊次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r為常數(shù),且p≠0),則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2+qe+r=0求解.(4)根據(jù)橢圓或雙曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)建關(guān)于e的等式或不等式,求出離心率或離心率的范圍.D圖①

圖②突破點三有關(guān)弦的中點、弦長問題D規(guī)律方法中點弦問題常用的求解方法對點練4(1)已知直線l與拋物線C:x2=8y相交于A,B兩點,若線段AB的中點為(1,2),則直線l的方程為(

)A.4x-y+7=0 B.4x+y-3=0C.x-4y+7=0 D.x+4y-3=0CA命題角度2

弦長問題[例3-3]已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為圓x2+(y-1)2=2的圓心,經(jīng)過拋物線C的焦點且傾斜角為60°的直線l交拋物線C于A,B兩點,則|AB|=

.16[例3-4]已知雙曲線C:=1的左、右焦點分別為F1,F2,直線y=x+m與C交于P,Q兩點,當(dāng)|PQ|最小時,四邊形F1PF2Q的面積為

.

規(guī)律方法求圓錐曲線弦長的常用方法

對點練5(1)(2023·山東菏澤一模)過拋物線C:y=4x2焦點F作傾斜角為30°的直線交拋物線于A,B,則|AB|=(

)A突破點四直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)求橢圓C的離心率;(2)若過點P的直線l交橢圓C于另一點B,且△ABP的面積為9,求直線l的方程.解題心得解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟(1)由題意設(shè)出直線或曲線方程,設(shè)交點為A(x1,y1),B(x2,y2).(2)聯(lián)立直線與曲線方程,消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程.(3)寫出根與系數(shù)的關(guān)系式.(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2)的形式,并代入根與系數(shù)的關(guān)系式求解.對點練6(2023·廣東深圳模擬)