2019屆北京專用高考數(shù)學一輪復習第十章計數(shù)原理與概率隨機變量及其分布第二節(jié)排列與組合講義理

第二節(jié)排列與組合總綱目錄教材研讀1.排列與排列數(shù)考點突破2.組合與組合數(shù)3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)考點二組合問題考點一排列問題考點三排列與組合的綜合應用教材研讀1.排列與排列數(shù)(1)排列:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,①按照一定的順序排

成一列

,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的②所有不同排列

的個數(shù)

,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),記作③

.2.組合與組合數(shù)(1)組合:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組,叫做從n個不

同元素中取出m個元素的一個④組合

.(2)組合數(shù):從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個

數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的⑤組合數(shù)

,記作⑥

.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)答案

C從6名男醫(yī)生中選出2名有

種選法,從5名女醫(yī)生中選出1名有

種選法,由分步乘法計數(shù)原理得不同的選法共有

·

=75種.故選C.1.有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個

醫(yī)療小組.則不同的選法共有

()A.60種

B.70種

C.75種

D.150種CB2.將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里,且放入

每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號,則不同的放球方法有

(

)A.10種

B.20種

C.36種

D.52種答案

A分情況討論:①1號盒子里放1個球,其余3個放入2號盒子,有

=4種方法;②1號盒子里放2個球,其余2個放入2號盒子,有

=6種方法.則不同的放球方法有10種,故選A.AB3.(2017北京房山一模,4)某中學語文老師從《紅樓夢》《平凡的世界》

《紅巖》《老人與海》4本名著中選出3本,分給3個同學去讀,其中《紅

樓夢》必選,則不同的分配方法共有

()A.6種

B.12種

C.18種

D.24種答案

C先選取,∵《紅樓夢》必選,∴有

=3種方法;再分配,有

=6種方法,故共有3×6=18種方法,故選C.CB4.(2017北京石景山一模,13)將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同

的班,每個班至少分到一名學生,則不同的分法有

種.(用數(shù)字作

答)答案36解析由題意可知,分組方案為兩名學生,一名學生,一名學生,故不同的

分法總數(shù)是

×

=36種.36B答案225.已知

-

=

,則m=

.解析由已知得m的取值范圍為{m|0≤m≤5,m∈Z},

-

=

,整理可得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2.B6.若甲、乙兩人從6門課程中各選修3門,則甲、乙所選的課程中恰有2

門相同的選法有

種(用數(shù)字作答).答案180解析先從6門中選2門,再從剩下的4門中選2門分給甲、乙,則甲、乙

所選的課程中恰有2門相同,故有

×

=180(種)情況.180B考點一排列問題典例1(1)社區(qū)主任要為小紅等4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,

要求排成一排,小紅必須與2位老人都相鄰,且兩位老人不排在兩端,則不

同的排法種數(shù)是

;(用數(shù)字作答)(2)(2014北京,13,5分)把5件不同產(chǎn)品擺成一排.若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且

產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有

種;(3)(2017北京海淀零模,13)小明、小剛、小紅等5個人排成一排照相合

影,若小明與小剛相鄰,且小明與小紅不相鄰,則不同的排法有

種.考點突破答案(1)24(2)36(3)36解析(1)首先將除小紅外的3名志愿者排列,有

種排法,然后將小紅和兩位老人看作一個整體插空,有

種排法,最后將兩位老人排列,有

種排法,由分步乘法計數(shù)原理得共有

=24種排法.(2)記其余兩件產(chǎn)品為D、E,A、B相鄰視為一個元素,先與D、E排列,有

種方法;再將C插入,僅有3個空位可選,共有

=2×6×3=36種不同的擺法.(3)根據(jù)題意,分兩種情況討論:①小剛與小紅不相鄰,將除小明、小剛、小紅之外的2人全排列,有

種排法,排好后有3個空位,將小明與小剛看成一個整體,考慮其順序,有

種情況,在3個空位中,任選2個,安排這個整體與小紅,有

種排法,故有

×

×

=24種排法;②小剛與小紅相鄰,則三人中小剛在中間,小明、小紅在兩邊,有

種排法,將三人看成一個整體,將這個整體與其余2人進行全排列,有

種排法,故有

×

=12種排法.所以共有24+12=36種排法.方法技巧1.求解有限制條件排列問題的主要方法

選定一個適當?shù)姆诸悩藴?將要完成的事件分成幾個類型,分別計算每個類型中的排列數(shù),再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)

選定一個適當?shù)臉藴?將事件分成幾個步驟來完成,分別計算出各步驟的排列數(shù),再由分步乘法計數(shù)原理得出總數(shù)捆綁法相鄰問題捆綁處理,即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法不相鄰問題插空處理,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列后的空中除法對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以已定元素的全排列間接法對于分類過多的問題,利用正難則反,等價轉(zhuǎn)化的方法2.解決有限制條件排列問題的策略(1)根據(jù)特殊元素(位置)優(yōu)先安排進行分步,即先安排特殊元素或特殊位

置.(2)根據(jù)特殊元素當選數(shù)量或特殊位置由誰來占進行分類.1-1

(2018北京東城期中,13)將A、B、C、D、E、F六個字母排成一

排,且A、B均在C的同側(cè),則不同的排法共有

種(用數(shù)字作答).答案480480解析按C的位置分類,當C在左邊第1個位置時,有

=120種排法,當C在左邊第2個位置時,A和B有C右邊的4個位置可選,有

=72種排法,當C在左邊第3個位置時,有

+

=48種排法,共有120+72+48=240種排法,故不同的排法共有240×2=480種.B典例2某課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各

有一名隊長.現(xiàn)從中選5人主持某種活動,依下列條件各有多少種選法?(1)只有一名女生當選;(2)兩隊長當選;(3)至少有一名隊長當選;(4)至多有兩名女生當選.考點二組合問題解析(1)只有一名女生當選等價于有一名女生和四名男生當選.故共

有

·

=350種.(2)兩隊長當選,共有

·

=165種.(3)至少有一名隊長當選含有兩類:只有一名隊長當選,有兩名隊長當選.

故共有

·

+

·

=825種.(或采用排除法:

-

=825(種))(4)至多有兩名女生當選含有三類:有兩名女生當選,只有一名女生當選,

沒有女生當選.故選法共有

·

+

·

+

=966種.方法技巧組合問題的常見類型及處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含有”,則先將這些

元素取出,再由其他元素補足;“不含有”,則先將這些元素剔除,再從剩

下的元素中選取.(2)“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型:解這類題必須十分

重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義,謹防重復與漏解.用直

接法和間接法都可以求解,用直接法分類復雜時,?？紤]用間接法處理.2-1

(2017北京海淀一模,7)甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙

都排在丙的同一側(cè),排法種數(shù)為

()A.12

B.40

C.60

D.80D答案

D解法一:五人任意排成一排有

=120種方法.甲和乙都排在丙的同一側(cè)的方法占其中的

,從而有80種排法.解法二:先排丁、戊,有

種排法;再確定甲、乙在丙的哪一側(cè),有

種排法;最后排甲、乙、丙,有

種排法,∴共有

=80種排法.故選D.B考點三排列與組合的綜合應用典例3(1)將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友,每位小朋友至

少分到一個籃球,且標號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友,則不同

的分法種數(shù)為

()A.15

B.20

C.30

D.42(2)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù),組成沒有重復

數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為

()A.300

B.216

C.180

D.162答案(1)C(2)C解析(1)四個籃球中兩個分到一組有

種分法,三個籃球進行全排列有

種分法,標號1,2的兩個籃球分給同一個小朋友,有

種分法,∴不同的分法種數(shù)為

-

=30.故選C.(2)分兩類:第1類,不取0,即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù),組成

沒有重復數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,共有

=72個沒有重復數(shù)字的四位數(shù);第2類,取0,此時2和4只能取一個,再取兩個奇數(shù),

組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,共有

(

-

)=108個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知,滿足題意的四位數(shù)共有72+108=180(個).方法技巧(1)解排列、組合綜合題目,一般是將符合要求的元素取出(組合)或進行

分組,再對取出的元素或分好的組進行排列.(2)解決不同元素的分配問題,往往是先分組再分配.在分組時,通常有三

種類