高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(10)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（10）15.若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，記數(shù)列前項(xiàng)和為，證明:.16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.（1）證明：；（2）若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.17.某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)（2）（i）從樣本質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.18.已知?jiǎng)訄A與圓：和圓：都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.（1）求方程；（2）已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.（ⅰ）證明：；（ⅱ）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的取值范圍.19.若函數(shù)的定義域?yàn)?，有，使且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k，b，曲線與直線總相切，稱函數(shù)為恒切函數(shù).（1）判斷函數(shù)是否為恒切函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)為恒切函數(shù).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）當(dāng)取最大值時(shí)，若函數(shù)為恒切函數(shù)，記，證明：.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：）

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（10）15.若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明:.【答案】（1），（2）證明見解答【解答】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，代入到中即可求解，（2）利用裂項(xiàng)求和即可求解.小問1詳解】由得，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，【小問2詳解】,顯然數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3，則，16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形ABCD為菱形，平面ABCD.（1）證明：；（2）若M是棱BC上的點(diǎn)，且滿足，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，再根據(jù)線面垂直的判定定理得平面，從而利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可.【小問1詳解】在四棱臺(tái)中，延長后必交于一點(diǎn)，故四點(diǎn)共面，因?yàn)槠矫?，平面，故，連接，因?yàn)榈酌嫠倪呅螢榱庑危剩矫?，故平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】過點(diǎn)A作的垂線，交與點(diǎn)N，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)，則，由于，故，則，，則，，，記平面的法向量為，則，即，令，則，即，平面的法向量可取為，則.所以二面角的余弦值為.17.某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)（2）（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤是元，一件等品芯片的利潤是元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.【答案】（1）（2）（i）分布列見解答，；（ii）【解答】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率.（2）（i）先求出取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值時(shí)的即可.【小問1詳解】由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：．即，，所以，因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值近似服從正態(tài)分布，所以，所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.【小問2詳解】（i），所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為：，，，，隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望.（ii）設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有件，則每箱產(chǎn)品中等品有件，設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為元，由題意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，所以，所以，所以.令，由得，，又，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以當(dāng)時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤最大18.已知?jiǎng)訄A與圓：和圓：都內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知圓錐曲線具有如下性質(zhì)：若圓錐曲線的方程為，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為：.試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題：點(diǎn)為直線上一點(diǎn)（不在軸上），過點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，.（?。┳C明：；（ⅱ）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)，直線交曲線于，兩點(diǎn).記，的面積分別為，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）（i）證明見解答；（ii）.【解答】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何定義求解動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）（i）根據(jù)題意中的性質(zhì)求解出兩條切線方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)后，得出直線的方程，從而算出斜率，再去判斷與另一直線是否垂直；（ii）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得出，進(jìn)而求解出直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用垂直關(guān)系又去設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，再用坐標(biāo)去表示出，最后可由基本不等式得出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意得圓和圓的半徑分別為7，1，因?yàn)榕c，都內(nèi)切，所以，，所以，又，，故，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)的方程為：，則，，所以，故的方程為：【小問2詳解】（i）證明：設(shè)，，，由題意中的性質(zhì)可得，切線方程為，切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn)，所以，，故直線的方程為：，可得直線的斜率為：而直線的斜率為：，因?yàn)?，所?（ii）由直線的方程為：，可改設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得，又，所以直線的方程為，令得，，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，又，再由，可設(shè)直線的方程為：，再聯(lián)立，整理得，設(shè)，，則由韋達(dá)定理得，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào).又因?yàn)?，所以【小結(jié)】方法小結(jié)：（1）利用兩圓相內(nèi)切的幾何關(guān)系來推導(dǎo)出橢圓的幾何定義，從而求出軌跡方程；（2）利用曲線上某點(diǎn)的切線方程去推導(dǎo)出切點(diǎn)弦方程.19.若函數(shù)的定義域?yàn)?，有，使且，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k，b，曲線與直線總相切，稱函數(shù)為恒切函數(shù).（1）判斷函數(shù)是否為恒切函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)為恒切函數(shù).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）當(dāng)取最大值時(shí)，若函數(shù)為恒切函數(shù)，記，證明：.（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）是恒切函數(shù)，理由見解答（2）（i）；（ii）證明見解答【解答】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用恒切函數(shù)的定義求出，即可判斷；（2）（i）根據(jù)恒切函數(shù)的定義解方程，用表示，再利用導(dǎo)數(shù)即可求解的取值范圍；（ii）由的值可得的值，從而可得的解答式，利用新定義，可得，令，求出的取值范圍，由，從而可得的取值范圍，從而得證.【小問1詳解】設(shè)函數(shù)為恒切函數(shù)，則有，使且，即，解得，故函數(shù)是恒切函數(shù).【小問2詳解】（i）由函數(shù)為恒切函數(shù)可知，存在，使得且，即解得，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減.，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（ii）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為恒切函數(shù).又，所以存在，使得，即.令，則，當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增.所以當(dāng)時(shí)，，，故在上存在唯一，使得，即.又由，得，由得，所以.又，所以當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，故由得，即..【小結(jié)】方法小結(jié)：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為