高考數(shù)學模擬大題規(guī)范訓練(15)含答案及解析

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（15）15.如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.（1）求證：，，，四點共面：（2）求平面與平面所成角的余弦值.16.教練為了解運動員甲的罰籃情況，記錄了甲罰籃前30次的投籃情況，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示沒有投中）：序號123456789101112131415投籃情況110111101110001序號161718192021222324252627282930投籃情況101100111001110把頻率估計為概率：（1）若認為甲各次投籃是獨立的，計算甲第31，32兩次投籃恰好一次投中，一次沒有投中的概率；（2）若認為甲從第2次投籃開始，每次投籃受且僅受上一次投籃的影響，記甲第31，32兩次投籃投中的次數(shù)為，寫出隨機變量的分布列，并求.17.已知橢圓的離心率為，過點作斜率為直線與橢圓交于，兩點交于，（在軸上方），當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線垂線，垂足為，連接與軸交于點，若四邊形為等腰梯形，求直線的斜率.18.定義：若變量，且滿足：，其中，稱是關于的“型函數(shù)”.（1）當時，求關于的“2型函數(shù)”在點處的切線方程；（2）若是關于的“型函數(shù)”，（i）求的最小值：（ii）求證：，.19.數(shù)列滿足則稱數(shù)列為下凸數(shù)列.（1）證明：任意一個正項等比數(shù)列均為下凸數(shù)列；（2）設，其中，分別是公比為，的兩個正項等比數(shù)列，且，證明：是下凸數(shù)列且不是等比數(shù)列；（3）若正項下凸數(shù)列前項和為，且，求證：.

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（15）15.如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.（1）求證：，，，四點共面：（2）求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）利用線面垂直的性質得到，結合中位線定理得到，最后證明四點共面即可.（2）找到對應二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.【小問1詳解】取，的中點分別為，，連接，，取，的中點分別為，，連接，，，由題意知，都是等邊三角形，所以，，因為平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，因為，的中點分別為，，所以所以，所以，所以，又因，所以，因為，的中點分別為，，所以，所以，所以，，，四點共面；【小問2詳解】連接，，且延長交于點，由題意知，，所以，同理，所以就是二面角的平面角，設，則，，，所以，同理，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.16.教練為了解運動員甲的罰籃情況，記錄了甲罰籃前30次的投籃情況，得到下表（用“1”表示投中，用“0”表示沒有投中）：序號123456789101112131415投籃情況110111101110001序號161718192021222324252627282930投籃情況101100111001110把頻率估計為概率：（1）若認為甲各次投籃是獨立的，計算甲第31，32兩次投籃恰好一次投中，一次沒有投中的概率；（2）若認為甲從第2次投籃開始，每次投籃受且僅受上一次投籃的影響，記甲第31，32兩次投籃投中的次數(shù)為，寫出隨機變量的分布列，并求.【答案】（1）（2）分布列見解答，【解答】【分析】（1）由題可得甲投籃投中的概率，投不中的概率為，故所求概率為恰有一次投中，一次沒有投中的概率為，代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為，上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為，的所有可能取值為0，1，2，然后求出對應概率即可得解.【小問1詳解】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，在甲前30次的投籃過程中，有19次投中，11次沒有投中，因此因動員甲投籃投中的概率，投不中的概率為，若甲各次投籃互相獨立，那么第31，32次投籃，恰有一次投中，一次沒有投中的概率為；【小問2詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以知道：上一次投籃投中，這一次也投中的概率為，上一次投籃沒有投中，這一次投籃投中的概率為，的所有可能取值為，，，且由表格可知第30次運動員甲沒有投中，則，，，所以隨機變量的分布列為：012所以.17.已知橢圓的離心率為，過點作斜率為直線與橢圓交于，兩點交于，（在軸上方），當時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線的垂線，垂足為，連接與軸交于點，若四邊形為等腰梯形，求直線的斜率.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）由離心率可得，將橢圓方程化為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達定理，利用弦長公式求出，即可得解；（2）不妨設的中點為，則必有，則問題只需要求點的坐標，設，，直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出，，即可求出直線的斜率.【小問1詳解】因為，所以，即，不妨設橢圓的方程為，即.并與直線聯(lián)立方程，，消去得，設，，則有，，由，所以，即或（舍去），所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】因為四邊形為等腰梯形，則必有，即，不妨設的中點為，則必有，要求直線的斜率，只需要轉化為求點的坐標，則有，設，，則有，有直線的方程為，令，則有,不妨設直線的方程為，，則有，，并與橢圓聯(lián)立方程，消去得，顯然，則有，，則有，則有，所以，所以，所以.18.定義：若變量，且滿足：，其中，稱是關于的“型函數(shù)”.（1）當時，求關于的“2型函數(shù)”在點處的切線方程；（2）若是關于的“型函數(shù)”，（i）求的最小值：（ii）求證：，【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解答【解答】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，求得，結合導數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，（i）化簡，結合基本不等式，即可求解；（ii）由題意，得到，設，，其中，化簡得到，記，利用導數(shù)求得函數(shù)單調性和最小值，即可求解.【小問1詳解】解：當時，可得，則，所以，所求切線方程為，即.【小問2詳解】解：由是關于的“型函數(shù)”，可得，即，（i）因為，當且僅當即時取得最小值.（ii）由，即，則，且，，可設，，其中，于是，記，可得，由，得，記，當時，當時，，則，所以.【小結】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉化，根據(jù)題意轉化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關系式求解；2、構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.數(shù)列滿足則稱數(shù)列下凸數(shù)列.（1）證明：任意一個正項等比數(shù)列均為下凸數(shù)列；（2）設，其中，分別是公比為，的兩個正項等比數(shù)列，且，證明：是下凸數(shù)列且不是等比數(shù)列；（3）若正項下凸數(shù)列的前項和為，且，求證：.【答案】（1）證明見解答（2）證明見解答（3）證明見解答【解答】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列新定義即可證明結論；（2）根據(jù)定義只需證明即可，從而結合正項等比數(shù)列的性質即可證明；利用反證法可證明不是等比數(shù)列；（3）先用反證法證明不可能從某一項開始單調遞增，可得出，令，，可推出，即得，從而，利用累加法即可證明結論.【小問1詳解】設正項等比數(shù)列的公比為，則，即，所以任意一個正項等比數(shù)列為下凸數(shù)列.【小問2詳解】顯然，，所以正項數(shù)列為下凸數(shù)列.下面證明：正項數(shù)列不是等比數(shù)列.若是等比數(shù)列，則，所以，因為數(shù)列，分別為兩個正項等比數(shù)列，所以，，所以，所以，因為，所以，所以，所以，與矛盾，所以數(shù)列不是等比數(shù)列.【小問3詳解】假設存在一個常數(shù)，使得，但，因為，所以，將中的換成得，.進一步得，.又，由不等式的可加性得，，同理可得，，所以，所以數(shù)列從項到項單調遞減，從項開始向后單調遞增，所以，因為該規(guī)律是固定的，且