高考數(shù)學模擬大題規(guī)范訓練(24)含答案及解析

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（24）15.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結果，建立y關于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，16.在平行六面體中，底面為正方形，，，側面底面.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù).（1）若的圖象在點處的切線與直線垂直，求的值;（2）討論的單調性與極值.18.已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．19.在數(shù)值計算中，帕德近似是一種常用的逼近方法．給定兩個正整數(shù)，若函數(shù)的階導數(shù)存在，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，其中為函數(shù)的階導數(shù)．對于給定的正整數(shù)，函數(shù)的階帕德近似是唯一的，函數(shù)的帕德近似記為．例如，．（1）證明：當時，；（2）當時，比較與的大?。唬?）數(shù)列滿足，記，求證：．

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（24）15.近年來，我國眾多新能源汽車制造企業(yè)迅速崛起．某企業(yè)著力推進技術革新，利潤穩(wěn)步提高．統(tǒng)計該企業(yè)2019年至2023年的利潤（單位：億元），得到如圖所示的散點圖．其中2019年至2023年對應的年份代碼依次為1，2，3，4，5．（1）根據(jù)散點圖判斷，和哪一個適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）中的判斷結果，建立y關于x的回歸方程；（3）根據(jù)（2）的結果，估計2024年的企業(yè)利潤．參考公式及數(shù)據(jù)；，，，，，，【答案】（1）適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型（2）（3）估計2024年的企業(yè)利潤為93.3億元【解答】【分析】（1）利用散點圖的變化趨勢，即可得出答案；（2）利用最小二乘法求出即可得解；（3）令即可得解.【小問1詳解】由散點圖的變化趨勢，知適宜作為企業(yè)利潤y（單位：億元）關于年份代碼x的回歸方程類型；【小問2詳解】由題意得：，，，，所以；【小問3詳解】令，，估計2024年的企業(yè)利潤為99.25億元．16.在平行六面體中，底面為正方形，，，側面底面.（1）求證：平面平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【小問1詳解】因為底面為正方形，所以，又側面底面，側面底面，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】因為，，連接，則為正三角形，取中點，則，由平面及平面，得，又，所以底面，過點作交于，如圖以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的法向量，所以令，則，可得平面的法向量.所以，故直線和平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）若的圖象在點處的切線與直線垂直，求的值;（2）討論的單調性與極值.【答案】（1）（2）答案見解答.【解答】【分析】（1）求導，根據(jù)直線垂直可得，即可求解，（2）求導，對進行討論，判斷導函數(shù)的正負，即可得函數(shù)的單調性和極值.【小問1詳解】由題得，的定義域為..的圖象在點處的切線與直線l:垂直，，解得.【小問2詳解】由（1）知.①當時，恒成立.在上為減函數(shù)，此時無極值;②當時，由，得，由，得，在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，無極大值.綜上可得，當時，在上為減函數(shù)，無極值;當時，在上單調遞減，在上單調遞增.的極小值為，無極大值.18.已知橢圓的左右頂點分別為，右焦點為，已知．（1）求橢圓的方程和離心率；（2）點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線交軸于點，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】（1）橢圓的方程為，離心率為.（2）.【解答】【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達定理可得，從而得到點和點坐標.由得，即可得到關于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【小問1詳解】如圖，由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.【小問2詳解】由題意得，直線斜率存在，由橢圓方程為可得，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.19.在數(shù)值計算中，帕德近似是一種常用的逼近方法．給定兩個正整數(shù)，若函數(shù)的階導數(shù)存在，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，其中為函數(shù)的階導數(shù)．對于給定的正整數(shù)，函數(shù)的階帕德近似是唯一的，函數(shù)的帕德近似記為．例如，．（1）證明：當時，；（2）當時，比較與的大小；（3）數(shù)列滿足，記，求證：．【答案】（1）證明見解答（2）（3）證明見解答【解答】【分析】（1）分別構造，，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)單調性進而證明；（2）令，根據(jù)導數(shù)結合（1）得出在單調遞減，得出，即可比較大小；（3）令，根據(jù)引理，不等式放縮及（1）的結論得出，再根據(jù)（2）的結論，累加法及不等式放縮，即可證明．【小問1詳解】令，則，故時，為增函數(shù)，，故當時，，令，則，故時，為增函數(shù)，，故當時，，綜上可知，當時，．【小問2詳解】令，則，設，則，故在上為減函數(shù)，所以當時，，故在上為減函數(shù)，時，，所以，故當時，．【小問3詳解】令，則，引理：若，則，事實上，令，則，故，又時，，且，所以，即，由引理可知，這樣一直下去，有，令，由當時，，則，故，由及知，所以由（2）可知，當時，，故，，累加可知，，且時也滿足，故，故，綜上可知，．【小結】方法小結：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與