2024年上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)5解三角形（4種考法）含詳解

重難點(diǎn)05解三角形（4種考法）

9【課程安排細(xì)目表】

一、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.正弦定理（共3小題）

1.（2022?上海）已知在△A3。中，NA=―,A8=2,AC=3,則△43。的外接圓半徑為

3

2.（2021?上海）已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，a、b、。是其三條邊，a=2,cosC="-.

4

（1）若sinA=2sin8,求〃、ex

（2）若cos（人」^-）=—,求c.

45

3.(2021?上海)在△A8C中，已知〃=3,h=2c.

(1)若A=2^~,求S”BC.

3

(2)若2sinB-sinC=1，求CMBC.

二.余弦定理（共1小題）

4.（2023?上海）已知aABC中，角A,B,。所對(duì)的邊a=4,b=5,c=6,則sinA=.

=.三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）

5.（2022?上海）如圖，在同一平面上，AD=BC=6,AB=20,。為A8中點(diǎn)，曲線CO上任一點(diǎn)到。距離相等,

角/ZMB=/A8C=120°,P,。關(guān)于0M對(duì)稱，MOA.AB,

（I）若點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，求NPO8的大??；

（2）P在何位置.求五邊形MQAAP而積S的最大值.

6.（2023?上海）某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地面的高度為4米，坡面與水平面所成

夾角為0.行人每沿著斜坡向上走消耗的體力為（1.025-cos。），欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則

9=.

四.解三角形（共1小題）

7.（2023?上海）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為〃、〃、c,其中力=2.

（1）若A+C=120°,a=2c,求邊長(zhǎng)c：

（2）若A-C=15°,”=&csiM,求△A8C的面積.

但二、考點(diǎn)清單

解三角形

1.已知兩角和一邊（如A、B、C）,由4+8+C=ir求C,由正弦定理求a、h.

2.已知兩邊和夾角（如a、b、c）,應(yīng)用氽弦定理求c邊：再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C

=m求另一角.

3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A）,應(yīng)用正弦定理求B,由A+B+C=TT求C,再由正弦定理或余弦定理

求c邊，要注意解可能有多種情況.

4.已知三邊a、b、c,應(yīng)用余弦定理求A、B,再由A+8+C=n,求角C.

5.方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指

銳角），通常表達(dá)成.正北或正南，北偏東XX度，北偏西XX度，南偏東XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中0婷、0K是

視線，是仰角，是俯角.

7.關(guān)于三角形面積問題

①SA/U?C==—bhh=(ha、hb>/分別表示a、b、c上的高);

2

②SA48C=2a^sinC=-i^csiIvl=-i^心in8：

-222

③SA^c=2R2sinAsin欣inC.(R為外接圓半徑)

?SAABC=-^^-：

4R

@SA^c=Vs(s-a)(s-b)(s-c)?Cs=—(a+.+c)):

2

⑥S"5C=r?s,（，?為8c內(nèi)切圓的半徑）

在解三角形時(shí),常用定理及公式如下表：

名稱公式變形

ARTTC

內(nèi)角和定理A+8+C=TT與2=--上，24+2B=2n-2C

2222

.2.^2

余弦定理。2=〃2+(2_2bccosAc0y=b+c-a

2bc

戶=。2+/-2accosB2.^2.2

cosnB=-a——+c-——-b—

c2=a2+Z>2-2abcosC2ac

2..2「

cos3,+b-c

2ab

正弦定理a=b=c=2Ra=2Rs\nA,b=2Rs\nB,c=

sinAsinBsmC

2/?sinC

R為△ABC的外接圓半徑

sin4=-^-.sinZ?=-^-.sinC=-^-

2R2R2R

射影定理acosB+bcoaA=c

acosC+ccosA=b

/?cosC+ccosB=?

@SA=hb="i</Zc2SA

面積公式siii4=———

be

sina[sinag-^sina2023

的值為

sina2sind4--sinQ2022

9.（2023?青浦區(qū)校級(jí)模擬）在A4BC中,內(nèi)角A,B,9的對(duì)邊分別是a,力,c,若a2?戶=3A，sinC=2sin8,則

A=.

10.（2023?靜安區(qū)二模）已知△ABC中，sin/l=3sinCcos8,且AB=2,則△ABC面枳的最大值為.

JT

11.（2023?閔行區(qū)校級(jí)二模）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin8=bsin（A-—）.

（1）求4

（2）。是線段2c上的點(diǎn).若人￡）=BZ）=2,CD=3,求△八DC的面積.

二.余弦定理（共7小題）

12.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）在△A8C中,已知sin4：sin&sinC=3：5：7,則△ABC最大角的值是.

222

13.（2023?奉賢區(qū)二模）△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,若△ABC的而枳為a+b-c,則。等

4

于.

14.（2023?普陀區(qū)二模）設(shè)△ABC的三邊a,h,。滿足a：b：c=7：5：3,且S“8C=15魚，則此三角形最長(zhǎng)的

邊長(zhǎng)為.

15.（2023?虹口區(qū)二模）在△ABC中，已知A8=2,AC=2V7>NA3C=120°,則8C=.

16.（2023?浦東新區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,4c,面積為S,且4S=Ca+b）2-c2,

則cosC=

（2023?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）=sin2f-V3si

（I）求函數(shù)y=/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間：

（H）在△人8。中，內(nèi)角八，B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足a2-b2=accosB-Lbu求f（B）的取值范

2

圍.

18.（2023?松江區(qū)校級(jí)模擬）在△ABC中，角A,B,。所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,且2cosA=a（&-cosC）,c

=2,。為AC上一點(diǎn)，AD：DC=1：3,則△ABC面積最大時(shí)，BD=.

三.三角形中的幾何計(jì)算（共9小題）

19.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）克羅狄斯?托勒密（Plolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及

如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘枳小于或等于兩組對(duì)邊乘枳之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào).根

據(jù)以上材料，完成下題：如圖，半圓。的直徑為2,4為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，QA=2,8為半圓上一點(diǎn)，以AB

為一邊作等邊三角形A8C,則當(dāng)線段。C的長(zhǎng)取最大值時(shí)，ZAOC=.

20.（2023?浦東新區(qū)模擬）在△人8C中，AB=2,D為A3的中點(diǎn)，若BC=DC=J5，則AC的長(zhǎng)為

21.（2023?嘉定區(qū)模擬）在△48C中，角八、B、C的對(duì)邊分別是0、〃、c,a2-aMr-c2=0.

⑴求C：

（2）若c=M，△ABC的面積是返，求△ABC的周長(zhǎng).

2

22.（2023?奉賢區(qū)校級(jí)三模）如圖：已知AABC中，ZA=arcsi4邊長(zhǎng)為1的正方形DEFG為AABC的內(nèi)接正

1V

方形，則A8+AC的最小值為

23.（2023?徐匯區(qū)三模）如圖，△A8C中，角A、B、C的時(shí)邊分別為a、b、c.

（1）若3a-c=3AosC,求角B的大?。?/p>

（2）已知b=3、若。為△A8C外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求△AOC周長(zhǎng)的最大值.

3

B

7T

24.（2023?閔行區(qū)校級(jí)一模）在△A8C中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為0、b、c,的平分線交AC

于D,若BD=V§，則”+2c的最小值為

25.（2023?嘉定區(qū)校級(jí)三模）在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,btanA+btanB^

V3cosA

（1）求角&

（2）若。是AC邊上的點(diǎn)，且人O=3DC=3,ZA=ZABD=Q,求sin9的值.

26,（2023?奉賢區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）=2>/^sinxsin+x）-2cosxsin-x）+1-

（1）求函數(shù)/（x）的最值：

（2）設(shè)△AHC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,。若/（/）=2,b=2,且2sinB+sinC=J7sinA，求4

ABC的面積.

27.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）在△4BC中，2b香。.=。0$，,8c邊中線AM-/?.

V3acosA6

（1）求4的值；

<2）求△4BC的面積.

四.解三角形（共10小題）

—Q—?

28.(2023?浦東新區(qū)校級(jí)三模)已知向量2=(si”,—),b=<cosx,-I).

4

(1)當(dāng)a〃b時(shí)，求cos2%-sinZr的值；

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=2(a+b)*b.已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為〃、b、c,若a=?,h=2,

sin8=Y^,求/(%)+4cos(2A+—)<Ae[0,2-])的取值范圍.

363

29.(2023?金山區(qū)二模)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,己知a=W^，C=45°.

⑴若sinA二加sinB，求c：

(2)若8-A=15°,求△ABC的面枳.

30.(2023?黃浦區(qū)二模)在△ABC中，cosA=-—，cosB=--

135

(I)求sinC的值；

(2)若A8=4,求△ABC的周長(zhǎng)和面積.

31.(2023?閔行區(qū)二模)在△48C中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,已知siM=sin2B,a=4,b=6.

(])求cosB的值；

(2)求△ABC的面積.

32.（2023?松江區(qū)二模）在銳角AA8c中，內(nèi)角4、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,K2bsinA=V3a.

（1）求角&

（2）求cosA+cosfi+cosC的最大值.

33.（2023?青浦區(qū)二模）如圖所示，要在兩山頂M、N間建一索道，需測(cè)晝兩山頂M、N間的距離.已知兩山的海

拔高度分別是MC=100通米和NB=50、巧米，現(xiàn)選擇海平面上?點(diǎn)A為觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角NM4C

=60°,N點(diǎn)的仰角NM3=30°以及NM4N=45°,則MN等于米.

34.（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）在△AHC中，三個(gè)內(nèi)角A、8、C所對(duì)的邊分別為“"、c,若△A8C的面積,△ABC

〃山、一八acosB+bcosA_?而

a+0-6,--------------------=2cosC?則c—__________________

c

35.(2023?徐匯區(qū)二模)已知向量m=(2/§cosr^~,_2sin-^-)?n=(cos"|"，cos-^-)?函數(shù)y=f(x)=m?r;

(])設(shè)8€[_A,等]且f(G)=V3+L求e的值；

乙乙

(2)在△ABC中，A5=l,f(C)=^3+L且AABC的面積為近，求sirM+sinB的值.

2

jr

36.（2023?徐匯區(qū)校級(jí)三模）已知△"（?的內(nèi)角4,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,f（）=4cosxsin（x——）

x6

的最大值為/（A）.

（I）求角4：

<2）當(dāng)〃=2時(shí)，求△人BC的面積.

37.（2023?寶山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，一智能掃地機(jī)器人在A處發(fā)現(xiàn)位于它正西方向的8處和8處和北偏東30°方

向上的C處分別有需要清掃的垃圾，紅外線感應(yīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)機(jī)器人到B的距離比到C的距離少04〃，于是選擇沿

A-B-C路線清掃，已知智能掃地機(jī)器人的直線行走速度為0.2加s,忽略機(jī)器人吸入垃圾及在B處旋轉(zhuǎn)所用時(shí)

間，10秒鐘完成了清掃任務(wù)：

（1）求8、C兩處垃圾之間的距離：（精確到0.1）

（2）求智能掃地機(jī)器人此次清掃行走路線的夾角的大?。海ㄓ梅慈煤瘮?shù)表示）

北

B

重難點(diǎn)05解三角形（4種考法）

O【課程安排細(xì)目表】

二、真題搶先刷，考向提前知

二、考點(diǎn)清單

三、題型方法

但一、真題搶先刷，考向提前知

一.正弦定理（共3小題）

I.（2022?上海）己知在△A8C中，ZA=—,人8=2,AC=3,則△ABC的外接圓半徑為返］.

3-3.

【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出結(jié)果.

TT

【解答】解：在△A8C中，Z4=—,A8=2,AC=3,

3

利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2A8?AC?cosA,整理得BC=47,

所以等_=2口解得/?=母.

sinA3

故答案為：等.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考杳學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2021?上海）已知4、B、C為△A8C的三個(gè)內(nèi)角，a、b、c是其三條邊，a=2,cosC=--.

4

（1）若sinA=2sin8,求〃、c；

（2）若co*（A_"）=—.求。.

45

【分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解〃的值：利用余弦定理即可求解c的值.

（2）根據(jù)已知利用兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求得cosA,sinA,sinC的值，進(jìn)而根據(jù)正弦

定理可得c的值.

【解答】解：（1）因?yàn)閟inA=2sin&可得〃=2氏

又。=2,可得8=1,

a2+b2-c2_22+12-c21,可得c=&.

2ab2X2X14

(2)因?yàn)閏os(A(cosA+sinA)=—,

425

可得cosA+siii4=4&,

5

又cos2A+sin2A=I，

可解得COS4=7"2,siM=Y2,或siivl=-7%2,cos4=Y2,

10101010

因?yàn)閏osC=--l,可得sinC=M3$,lanC=-后，可得C為鈍角，

_44

若sinA=7迎,cosA=XZ,可得（anA=7,可得tanfi=-tan（A+C）=.tan^+tan^_=------7-^|------<0,

1010tanAtanC-17X（-715）-1

可得8為鈍角，這與C為鈍角矛盾，合去，

所以$21=坐，由正弦定理/可得。=睦

10sinAsinC2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)基木關(guān)系式在解三角形中的應(yīng)

用.考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.

3.（2021?上海）在△ABC中,已知”=3，b=2c.

（1）若A=2^",求SJHC.

3

（2）若2sinB-sinC=1.求CMBC.

【分析】（1）由余弦定理求得從而求得△ABC面積：

（2）由正、余弦定理求得力、c值，從而求得AABC周長(zhǎng).

2222

【解答】解?：（1）由余弦定理得cosA=-工=br_a

22bc4c2

解得

.c1,.._V32_9^3

..5A/IBC——bA-X2c

2csin414

（2）\'b=2c,???由正弦定理得sin8=2sinC,又一2sin8?sinC=L

AsinC=—.sin5=—,...sinC〈sin&:.C〈B,，C為銳角，

33

???3。=-'母）2=罕.

由余弦定理得:c2,=a2+b2-2abcosC,又,?Z=3,b=2c,

.?.）=9+4）-8&c,得：3c2-8芯c+9=0,解得：c=。泥土遮.

3

當(dāng)c=4點(diǎn)的,時(shí),b=8祀+小時(shí)，C"BC=3+4點(diǎn)+V5；

33

當(dāng)c=4"節(jié)時(shí),〃=8祀:"時(shí)GASC=3+4點(diǎn)-V5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余正、弦定理應(yīng)用、三角形面積求法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

二.余弦定理（共1小題）

4.（2023?上海）已知△A8C中，角A,&。所對(duì)的邊a=4,b=5,c=6.則siirA=_XZ_.

-4-

【分析】先利用余弦定理求出cosA,再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求解.

【解答】解：a=4,〃=5,c=6.

b2+c2-a225+36-163

由余弦定理得，cosA=

2bc2X5X6-一1

又Fw(0,n),

/.sinA>0,

sig=Vl-coS2AI。1產(chǎn)=今?

故答案為：巨.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，考杳了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

三.三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）

5.（2022?卜.海）如圖，在同一平面匕AD=BC=6,AB=20,。為八8中點(diǎn)，曲線CO上任一點(diǎn)到。距離相等,

角NZX48=NA8C=120°,P,。關(guān)于OM對(duì)稱，MO1.A8；

（1）若點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，求NPOB的大小:

（2）P在何位置，求五邊形MQ18P面積S的最大值.

【分析】（1）在△08。中，直接利用余弦定理求出OP,再結(jié)合正弦定理求解:

（2）利用五邊形CQQMP的對(duì)稱性，將所求的面積化為四邊形PMNC的面積計(jì)算問題，充分利用圓弧的性質(zhì),

找到最大值點(diǎn)，從而解決問題.

【解答】解：（1）點(diǎn)戶與點(diǎn)C重合，日題意可得08=10,BC=6,48c=120°,

由余弦定理可得。產(chǎn)=。32+8不-208?3。8S/八3。=36+100-2乂6乂10乂（-A）=|96,

2

所以。，=14,在△（陽。中，由正弦定理得.丁*3-=「By------

sinl20sinZPOB

所以懸=.，解得sinNP08=W^-,

V3sinZPOB14

~2

所以NP08的大小為arcsin宜巨；

14

（2）如圖，連結(jié)QA,PB,OQ,OP,

???曲線CMD上任意一點(diǎn)到O距離相等,

：.OP=OQ=OM=OC=14,

VP,Q關(guān)于OM對(duì)稱，

???P點(diǎn)在劣弧CM中點(diǎn)或劣弧DM的中點(diǎn)位置，S2QOM=SaoM=a，

則NA0Q=N30尸=Sz^op=-^--a,

則五邊形面積S=2（SMOQ+S/、QOM）

=2[J?0Q?0A?sin（T--a）+1?OC?OM?sina】

=196sina+140cosa

=28^74sin（a+（p）?其中tan（p=-y,

當(dāng)sin（a+（p）=1時(shí)，S五邊形MQABP取最大值28/^,

五邊形面積5的最大值為2$不&

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳r嗣形的性質(zhì)、正、余弦定理和面積公式在解三角形問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的邏輯推

理能力、運(yùn)算能力等，屬于中檔題.

6.(2023?上海)某公園欲建設(shè)一段斜坡，坡頂是一條直線，斜坡頂點(diǎn)距水平地而的高度為4米，坡面與水平面所成

夾角為6.行人每沿著斜坡向上走1/〃消耗的體力為(1.025-cos。)，欲使行人走上斜坡所消耗的總體力最小，則

0=arccos-^-.

41―

【分析】先求出斜坡的長(zhǎng)度，求出上坡所消耗的總體力的函數(shù)關(guān)系，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

即可.

【解答】解：斜坡的長(zhǎng)度為/=—V，

siny

上坡所消耗的總體力)，=—Vx(1.025-cos9)=4.1飛s8,

sin。sinB

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/—4sin8"sin8-(4.l-4cos8)cos84-4.lcos8

sinfsin&

由)/=0,得4-4.1cos6=0,得cos8="^,8=arccos-^.,

4141

由/(x)>0時(shí)cosBV歿，即arcccs絲〈SV%時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

41412

由/'(x)VO時(shí)cos8>歿，即ovevarcc。盤時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

4141

即9=arccos^.,函數(shù)取得最小值，跳此時(shí)所消耗的總體力最小.

41

故答案為：0=arccos-^-.

41

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查生活的應(yīng)用問題,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵.是中檔題.

四.解三角形(共1小題)

7.(2023?上海)在△ABC中，角4、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為〃、〃、c,其中方=2.

(1)若人+C=120°,a=2c,求邊長(zhǎng)c：

(2)若A-C=15°,a=V2csinA,求△48C的面積.

【分析】(1)由已知結(jié)合和差角公式及正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)可求人從C,然后結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；

(2)由已知結(jié)合正弦定理先求出sinC進(jìn)而可求C,再由正弦定理求出小結(jié)合三角形面積公式可求.

【解答】解：(1)V4+C=120°,且a=2c,

.,.sinA=2sinC=2sin(120"-A)=V3cosA+sirL4,

/.cos.4=0?

???A=90°,C=30°,3=60°,

*：h=2,

?昭

“3'

(2)a=y/-2csuv\,

則sinA=V2sinCsirL4?

sin>4>0,

.*.sinC=—,

2

-C-15°,

???c為銳角，

/.C=45°,A=60°,8=75°,

...a=2__8「,

sin600sin75°V2W6

/.a==3^2-V6,

SA?IBC=--X—X2X-^^-=3-^/-3.

22V2W62

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了和差角公式，正弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

Q二、考點(diǎn)清單

解三角形

1.己知兩角和一邊（如A、B、C）,由4+8+C=n求C,由正弦定理求a、b.

2.已知兩邊和夾角（如〃、b、c）,應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C

=n，求另一角.

3.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A）,應(yīng)用正弦定理求8,由A+B+C=n求C,再由正弦定理或余弦定理

求c邊，要注意解可能有多種情況.

4.已知三邊4、〃、c,應(yīng)用余弦定理求A、B,再由八+8+C=TT,求角C.

5.方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指

銳角），通常表達(dá)成.正北或正南，北偏東XX度，北偏西XX度，南偏東XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中O￡>,OE是

視線，是仰角，是俯角.

7.關(guān)于三角形面積問題

①■〃/m（ha、hb、力c分別表示a、b、c上的高）：

222

②加inC=20csin4=」acsin8；

222

③S必BC=2/?2si必sin8sinC.（R為外接圓半徑）

④S?c=~^^；

4R

?SMBC=Vs（s-a）（s-b）（s-c）,（.v=—（a+〃+c））：

2

⑥SMBC=r?s,（'為△AHC內(nèi)切圓的半徑）

在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：

名稱公式變形

內(nèi)角和定理A+8+C=nA+A=2L-￡,2A+^B=^-

2222~~

2C

余弦定理『=■+/-2Zx?cosA

cosA=-----------

2bc

Z?2=n2+c2-2^iccosB2.^2.2

D―a+c-b

cosB-------------

c1=a2+b1-2cibcosC2ac

2..2°2

_a+b-c

cosC=-——-———

2ab

正弦定理a二b二c=2Ra=2Rsin/b/?=2/?sinB,c=

sinAsinBsinC

2/?sinC

R為△ABC的外接圓半徑

sin/4=-^-,sinB=-^-,sinC=

2R2R

c

2R

射影定理acosB+bconA=c

acosC+ccosA=b

/x:osC+ccosB=?

r2s4

面積公式①S&=工aha=￡bhb=±chcsmA=-----

222be

②Sa=」a/?sinC=」acsin8=」)csirL4sin8=

222

2SA

(§)S^=—ac

4R

,「2S

sinC=-A-----

?5A=Vs(s-a)(s-b)(s-c),(s=—ab

2

(a+b+c))；

⑤(a+b+c)r

2

(廠為△ABC內(nèi)切圓半徑)

Q三、題型方法

一.正弦定理（共U小題）

I.（2023?嘉定區(qū)校級(jí)三模）在△A3C中，已知戾in2A+asin8=0,則角4H勺大小為—空

3

【分析】由二倍角的正弦公式和正弦定理化簡(jiǎn)后即可直接求得.

【解答］解：由》sin24+asin8=0得2/?sinAcos4+asinB=0,

由正弦定理得：2dbcosA+ab=0,cosA=--?

2

\'AE（0,n）,r.A=-^-.

故答案為：

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?楊浦區(qū)二模）△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊是a、b、c,若a=3,ZA~—,則.

3—4―

【分析】由三角形的正弦定理和三角形的邊角關(guān)系，可得所求角.

【解答］解：若。=3,b=巫,Z4=—,

3

「A/3

則sinZB=bsinZ-A=———紅=亞，

a32

又a>b,可得NA>N8,則/8=三（之舍）.

44

故答案為：—.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正弦定理，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023?黃浦區(qū)模擬）在AABC中，若BC=3,AC=276,B=2A,則8=_arccos2_.

3

【分析】利用正弦定理結(jié)合已知可求得cosA,再利用二倍角的余弦公式即可得解.

【解答】解：由正弦定理得里_=_^_

sinAsinB

即，=坐_,

sinAsin2A

所以cos4=Y'，

3

所以cosB=cos2A=2cos2A-1=—,

3

因?yàn)镺VBVTT,

所以B=arccos"^.

3

故答案為：arccos-1--

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2023?寶山區(qū)二模）已知△ABC的內(nèi)角人，B,。的對(duì)邊分別為〃，仇c,已知asin史W=〃sirvl,則8=_工_.

23

【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式，以及正弦定理，計(jì)算可得所求角;

【解答】解：由題設(shè)可知：

利用正弦定理有：qinA?sin-sinB?sinA，

乙

又由AE(0,IT),則siMWO,

則sin-A,=sinB'

口n.九-BB門?BB

即sin5-=cos-z-=2sin-z-cos^->

乙乙乙乙

乂由Be(0,TT),貝Ijcos"I"卉Q

即2siny=b由°<8<口，

解得B

Y3.

故答案為：?.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式，考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2023?松江區(qū)模擬〉在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a=5,b=7,8=60°,則aABC的

面積為_10\行_.

【分析】利用余弦定理.求出c.然后根據(jù)三角形面積公式即得.

【解答】解：???△ABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=5,b=7,8=60°,

，根據(jù)余弦定理可得b2=a2+c2-2?ccosB,

.*.49=25+?-10ccos60",即c2-5c-24=0,

...c=8或c=-3（舍去），

所以8c的面積為-^?acsinB="^_X5X8X率=1皿.

乙乙乙

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)期.

6.（2023?普陀區(qū)校級(jí)模擬）在△48C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知N4=22L,h=2c.

3

（1）求tanB；

（2）求sin（2C+—）.

6

【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化筒可求ian8進(jìn)而可求8；

（2）由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及二倍半公式可求sin2C,cos2C,然后利用兩角和的正弦公式可求.

【解答】解：（1）因?yàn)橐?=業(yè)匚/）=2c,A+8+C=TT,

3

JT

由正弦定理得sin8=2sinC=2sin（----P）,

3

化簡(jiǎn)得2sin8=?cosB,

即tan8=四,

2

（2）由ian8=近且8是銳角，

_2

所以立歷=退1,sinC=^^-,

714

又NC是銳角，

所以cosC=^近，

14

所以sin2c=2sinCcosC=2XX-=-^-,cos2C=—，

14141414

所以sin(2C+匹)

621421414

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理，和差角公式,同角基本關(guān)系在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.(2023?浦東新區(qū)二模)在△A8C中，角4、8、。的對(duì)邊分別記為a、b、c,若5acosA=/?cosC+ccos8,則sin24

=W