福建省數(shù)學(xué)（新高考專用2024新題型）2024年高考第二次模擬考試 附全解全析

2024年高考第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)全解全析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A． B． C.,或 D．【答案】B【分析】先化簡(jiǎn)集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解即可，【詳解】由題意得，，又則，故選：B.2.關(guān)于復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)和的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱B.C.必為實(shí)數(shù)，必為純虛數(shù)D.若復(fù)數(shù)為實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根，則也必是該方程的根【答案】.D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，表示復(fù)數(shù)和的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故錯(cuò)誤：對(duì)于選項(xiàng)B?選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)均不成立，故錯(cuò)誤.故選D3.已知向量，，若與共線，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，，若與共線，則，所以，，所以向量在向量上的投影向量為：，故選：C4.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，得；所以“”不是“”的充分條件.因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)與充分、必要條件的判定，還考查了理解辨析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）A.60B.114 C.278 D.336 【答案】D【解析】命題意圖本題考查排列與組合的應(yīng)用.錄用3人，有種情況；錄用4人，有種情況；錄用5人，有種情況.所以共有336種.6.已知：，點(diǎn)，若上總存在，兩點(diǎn)使得為等邊三角形，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)?，所?所以.要使上總存在，兩點(diǎn)使得為等邊三角形，則上存在一點(diǎn)，使得,當(dāng)與相切時(shí)，最大，此時(shí)，故，即，整理得，解得.故選:B.7.已知中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．若平面，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，∵的最大值是，∴，解得，即PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠60°,又∠BAC＝60°，所以重合，則∠ACB＝90°，則△ABC的外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點(diǎn)，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故選：B．8.在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.若，則為直角三角形C.若為銳角三角形，的最小值為1D.若為銳角三角形，則的取值范圍為【答案】C【解析】對(duì)于中，由正弦定理得，由，得.即，由，則，故，所以或，即或（舍去），即正確：對(duì)于，結(jié)合和正弦定理知，又，故，B正確；對(duì)于，在銳角中，，即.故，C錯(cuò)誤；對(duì)于，在銳角中，由.由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知，，D正確；故選C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則（）A． B．C． D．9．AC【解析】由，，有，，，A正確，B錯(cuò)誤；是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，C正確；是函數(shù)的對(duì)稱中心，D錯(cuò)誤，選AC．10.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)別為，，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，則（）A.若的兩條漸近線相互垂直，則B.若的離心率為，則的實(shí)軸長(zhǎng)為C.若，則D.當(dāng)變化時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為【答案】ACD【解析】依題意，，A選項(xiàng)，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；B選項(xiàng)，若的離心率為，解得，所以實(shí)軸長(zhǎng)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若，則，整理得，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義可知，，兩式相加得，所以周長(zhǎng)為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為，故D正確.故選：ACD11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則（）A．與是異面直線B．存在點(diǎn)，使得，且平面C．與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，以作坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，由于，故與平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，故，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，B正確；C選項(xiàng)，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，C正確；D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點(diǎn)到平面的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為【答案】240【解析】【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，所以，得，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，因?yàn)椋?，則二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為，所以填24013.若函數(shù)的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)是__________.【答案】0【解析】注意到，.若函數(shù)上存在兩條切線垂直，則存在、，使得.故答案為014.已知是實(shí)數(shù)，滿足，當(dāng)取得最大值時(shí)，_________?！敬鸢浮?【解析】．．．取等條件：或四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的都有．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，令，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)可得是以公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可求解，（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)性質(zhì)可對(duì)分奇偶，進(jìn)而可得，，分組求和即可求解.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于任意的都有,當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，進(jìn)而得，...................................................4分當(dāng)時(shí)，，故，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.............................................6分【小問(wèn)2詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且，因此當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，此時(shí)，因此當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的前n項(xiàng)中的最大值為，最小值為，此時(shí)，.............................................10分當(dāng)時(shí)，，因此的前20項(xiàng)和.............................................13分16．（15分）燈帶是生活中常見(jiàn)的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈珠為易損配件，該燈珠的零售價(jià)為4元/只，但在購(gòu)買(mǎi)燈帶時(shí)可以以零售價(jià)五折的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)備用燈珠，該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買(mǎi)1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，n表示該顧客購(gòu)買(mǎi)1盒燈帶的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的備用燈珠數(shù)量.（1）求的分布列；（2）若滿足的n的最小值為，求；（3）在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比較與哪種方案更優(yōu).【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2）13；（3）更優(yōu)【解析】【分析】(1)由條件確定隨機(jī)變量可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；(2)根據(jù)分布列結(jié)合條件求n的最小值；(3)分別計(jì)算與時(shí)購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值，比較大小確定結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)ξ表示1條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，則0.2，，X的取值范圍是，，，，，，，，X的分布列為X10111213141516P0.040.160.240.240.20.080.04.............................................6分【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，故..............................................9分【小問(wèn)3詳解】由（2）可知.在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，當(dāng)時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用為u元，當(dāng)時(shí)，設(shè)購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用為v元，則，，故以購(gòu)買(mǎi)替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比的方案更優(yōu)。.................................13分17．（15分）如圖,在三棱柱中,直線平面ABC,平面平面.(1)求證:;(2)若,在棱上是否存在一點(diǎn),使二面角的余弦值為?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.17.【解析】(1)在平面中作于,因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面,從而..............................................4分在三棱柱中,平面平面ABC,所以.又因?yàn)?所以平面,因此..............................................7分(2)由(1)可知,兩兩垂直,如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則.設(shè),則..............................................9分設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,因?yàn)?所以即則有令,得.10分而平面的一個(gè)法向量可以是,則,解得,即為棱的三等分點(diǎn),..............................................15分18．（17分）已知函數(shù)．(1)若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，且，證明：．（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．【答案】(1)2；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知求出a的值.（2）求出函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，確定有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，再由變形并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理論證即得.【詳解】（1）依題意，設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)得，則，解得，又，，則，所以實(shí)數(shù)a的值為2..............................................6分（2）依題意，的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，則有兩個(gè)不等的正根，且是的變號(hào)零點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，得，解得，.............................................9分此時(shí)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則，即，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)，且是變號(hào)零點(diǎn)，由，得，由，得，令，則，于是，解得，，.............................................13分因此要證，只需證，即，只證，令，，.............................................15分求導(dǎo)得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以..............................................17分【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)問(wèn)題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).19．（17分）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿