5-4拋體運動的規(guī)律(人教版2019必修第二冊)(解析版)

第五章拋體運動第五節(jié)拋體運動的規(guī)律[核心素養(yǎng)·明目標]核心素養(yǎng)學習目標物理觀念具有與拋體運動相關(guān)的初步運動觀念。科學思維能夠用“化曲為直”的思想處理拋體運動?？茖W探究通過科學探究，培養(yǎng)用數(shù)學方法處理物理問題的能力?？茖W態(tài)度與責任通過生活和生產(chǎn)中平拋運動的例子，認識到拋體運動的普遍性，體會物理學的應用價值。知識點一平拋運動的速度1.水平速度：做平拋運動的物體，由于只受到豎直向下的重力作用，在x方向不受力，加速度為零，故物體在x方向的速度將保持v0不變，即vx＝v0。2.豎直速度：物體在y方向上受重力mg作用，由mg＝ma可知，物體在豎直方向的加速度等于自由落體加速度，vy＝gt。3.合速度：由圖可知，物體在時刻t的速度v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋gt2)tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(gt,v0)。4.結(jié)論：物體在下落過程中速度v越來越大，速度方向與水平方向間夾角θ越來越大（）。知識點二平拋運動的的位移1.水平位移：平拋運動沿x方向的分運動是勻速直線運動，所以物體的水平位移x＝v0t。2.豎直位移：物體在y方向的分運動是從靜止開始、加速度為g的勻加速直線運動，由自由落體運動的知識可知，平拋運動物體在豎直方向的位移y＝eq\f(1,2)gt2。3.合位移：s＝eq\r(v0t2＋\f(1,2)gt22)tanα＝eq\f(gt,2v0)4.運動軌跡：將t＝eq\f(x,v0)代入y＝eq\f(1,2)gt2中可得y＝eq\f(g,2v\o\al(2,0))x2，由數(shù)學知識可知，平拋運動的軌跡是一條拋物線。知識點三關(guān)于平拋運動必須掌握的四個物理量物理量相關(guān)分析飛行時間(t)t＝eq\r(\f(2h,g))，飛行時間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)水平射程(x)x＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素無關(guān)落地速度(v)v＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y)))＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2gh)，以θ表示落地時速度與x軸正方向間的夾角，有tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(\r(2gh),v0)，所以落地速度也只與初速度v0和下落高度h有關(guān)速度的改變量(Δv)因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖所示知識點四平拋運動的兩個重要推論1.做平拋運動的物體任一時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點，如圖甲所示。其推導過程為tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt2,v0t)＝eq\f(y,\f(x,2))。2.做平拋運動的物體在任一時刻任一位置處，設其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，則tanθ＝2tanα。如圖乙所示。其推導過程為tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt·t,v0·t)＝eq\f(2y,x)＝2tanα。知識點五斜拋運動1.研究方法：斜拋運動可以分解為水平方向的eq\o(□,\s\up3(11))勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋或豎直下拋運動。2.基本規(guī)律(以斜向上拋為例，如圖所示)①水平方向v0x＝v0cosθ，x＝v0tcosθ。②豎直方向v0y＝v0sinθ，y＝v0tsinθ－eq\f(1,2)gt2。易錯易混點1.“畫曲為直”思想在平拋運動中的應用。易錯易混點辨析：根據(jù)運動的等效性，利用運動分解的方法，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的兩個方向上的直線運動：(1)水平方向的勻速直線運動；(2)豎直方向的自由落體運動。最后再按照矢量合成法對位移，速度等進行合成。例1.(2020·海南高考)(多選)小朋友玩水槍游戲時，若水從槍口沿水平方向射出的速度大小為10m/s，水射出后落到水平地面上。已知槍口離地高度為1.25m，g＝10m/s2，忽略空氣阻力，則射出的水()A.在空中的運動時間為0.25sB.水平射程為5mC.落地時的速度大小為15m/sD.落地時豎直方向的速度大小為5m/s解析：選BD。射出的水做平拋運動，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，可得水在空中的運動時間t＝eq\r(\f(2h,g))＝eq\r(\f(2×1.25,10))s＝0.5s，故A錯誤；水平射程為x＝v0t＝10×0.5m＝5m，故B正確；落地時豎直方向的分速度大小為vy＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s，水平方向的分速度大小為vx＝v0＝10m/s，則落地時的速度大小為v＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x)))＝5eq\r(5)m/s，故C錯誤，D正確。例2.（多選）(2022·浙江龍游中學期末)某同學利用無人機玩“投彈”游戲。無人機以v0＝20m/s的速度水平向右勻速飛行，在某時刻釋放了一個小球。此時無人機到水平地面的距離h＝20m，空氣阻力忽略不計，g取10m/s2。下列說法正確的是()A.小球下落時間為2sB.小球釋放點與落地點之間的水平距離為0.4mC.小球落地瞬間速度為20m/sD.水平飛行速度越大，小球下落的時間越短解析：選AD。小球在豎直方向做自由落體運動，由h＝eq\f(1,2)gt2得t＝2s，A正確；小球在水平方向x＝v0t，則x＝40m，B錯誤；小球在豎直方向的分速度vy＝gt，故小球落地速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))，解得v＝20eq\r(2)m/s，C錯誤；小球在空中飛行時間等于其豎直分運動時間，取決于下落高度，與水平速度無關(guān)，D錯誤。易錯易混點2.斜面上的平拋運動易錯易混點辨析：斜面上的平拋運動問題是一種常見的題型，在解答這類問題時除要運用平拋運動的位移和速度規(guī)律，還要充分運用斜面傾角，找出斜面傾角同位移和速度與水平方向夾角的關(guān)系，從而使問題得到順利解決。①.常見的模型模型方法分解速度，構(gòu)建速度三角形，找到斜面傾角θ與速度方向的關(guān)系分解速度，構(gòu)建速度的矢量三角形分解位移，構(gòu)建位移三角形，隱含條件：斜面傾角θ等于位移與水平方向的夾角基本規(guī)律水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y)))方向：tanθ＝eq\f(vx,vy)水平：vx＝v0豎直：vy＝gt合速度：v＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(x))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y)))方向：tanθ＝eq\f(vy,vx)水平：x＝v0t豎直：y＝eq\f(1,2)gt2合位移：s＝eq\r(x2＋y2)方向：tanθ＝eq\f(y,x)運動時間由tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)得t＝eq\f(v0,gtanθ)由tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)得t＝eq\f(v0tanθ,g)由tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(gt,2v0)得t＝eq\f(2v0tanθ,g)②.從斜面上某點水平拋出，又落到斜面上的平拋運動的五個特點(1)位移方向相同，豎直位移與水平位移之比等于斜面傾斜角的正切值。(2)末速度方向平行，豎直分速度與水平分速度(初速度)之比等于斜面傾斜角正切值的2倍。(3)運動的時間與初速度成正比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＝\f(2v0tanθ,g)))。(4)位移與初速度的二次方成正比eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s＝\f(2veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))tanθ,gcosθ)))。(5)當速度與斜面平行時，物體到斜面的距離最遠，且從拋出到距斜面最遠所用的時間為平拋運動時間的一半。例3.(多選)(2022·河北張家口期末)2021年3月14日，中國小將谷愛凌獲自由式滑雪世錦賽女子坡面障礙技巧賽的冠軍。如圖所示，現(xiàn)假設運動員從跳臺a處以初速度v0沿水平方向飛出，落在斜坡上某點b處，將斜坡等效成一個與水平面的夾角為30°的斜面，不計空氣阻力，下列說法正確的有()A.運動員在空中運動時間與初速度v0成正比B.a、b兩點間的水平距離與初速度v0的大小成正比C.a、b兩點間的豎直距離與初速度v0的二次方成正比D.運動員落在斜坡上的速度方向與水平方向的夾角與v0的大小無關(guān)解析：選ACD。設運動員落到斜坡上的時間為t，位移與水平方向夾角為tanα＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(\r(3),3)，解得t＝eq\f(2\r(3)v0,3g)，A正確；a、b兩點間的水平距離為x＝v0t＝eq\f(2\r(3)veq\o\al(2,0),3g)，B錯誤；a、b兩點間的豎直距離為h＝eq\f(1,2)gt2＝eq\f(2veq\o\al(2,0),3g)，C正確；運動員落在斜坡上的速度方向與水平方向的夾角θ的正切值等于位移與水平方向夾角α的正切值的2倍，即tanθ＝2tanα，則運動員落在斜坡上的速度方向與水平方向的夾角與v0的大小無關(guān)，D正確。例4.(多選)(2022·湖北荊州期末)如圖所示，斜面傾角為θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正對斜面頂點B水平拋出，小球到達斜面經(jīng)過的時間為t，重力加速度為g，不計空氣阻力，則()A.若小球以最小位移到達斜面，則t＝eq\f(2v0,gtanθ)B.若小球垂直擊中斜面，則t＝eq\f(v0,gtanθ)C.若小球能擊中斜面中點，則t＝eq\f(2v0,gtanθ)D.若小球能擊中斜面中點，則t＝eq\f(2v0tanθ,g)解析：選ABD。若小球最小位移到達斜面，則位移垂直于斜面，根據(jù)平拋規(guī)律x＝v0t，y＝eq\f(1,2)gt2，根據(jù)幾何關(guān)系可知tanθ＝eq\f(x,y)，聯(lián)立解得t＝eq\f(2v0,gtanθ)，A正確；若小球垂直擊中斜面，則速度垂直于斜面，根據(jù)幾何關(guān)系tanθ＝eq\f(v0,vy)＝eq\f(v0,gt)，解得t＝eq\f(v0,gtanθ)，B正確；若小球擊中斜面中點，根據(jù)幾何關(guān)系tanθ＝eq\f(h,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq\f(2v0tanθ,g)，C錯誤，D正確。易錯易混點3.平拋運動的臨界極值問題易錯易混點辨析：①分析平拋運動中臨界極值問題的思路(1)確定運動性質(zhì)。(2)分析臨界條件。(3)確定臨界狀態(tài)，并畫出軌跡示意圖。(4)應用平拋運動的規(guī)律結(jié)合臨界條件列方程求解。②處理平拋運動中臨界極值問題的關(guān)鍵(1)從題意中提取出重要的臨界條件，如“恰好”“不大于”等關(guān)鍵詞，確定臨界狀態(tài)及臨界軌跡，并由此列出符合臨界條件的物理方程。(2)恰當運用數(shù)學知識分析求解臨界與極值問題。例5.(2021·山東等級考改編)海鷗捕到外殼堅硬的鳥蛤(貝類動物)后，有時會飛到空中將它丟下，利用地面的沖擊打碎硬殼。一只海鷗叼著質(zhì)量m＝0.1kg的鳥蛤，在H＝20m的高度、以v0＝15m/s的水平速度飛行時，松開嘴巴讓鳥蛤落到水平地面上。取重力加速度g＝10m/s2，忽略空氣阻力。(1)求鳥蛤落到水平地面上時的速度；(2)在海鷗飛行方向正下方的地面上，有一與地面平齊、長度L＝6m的巖石，以巖石左端為坐標原點，建立如圖所示坐標系。若海鷗水平飛行的高度仍為20m，速度大小在15m/s～17m/s之間，為保證鳥蛤一定能落到巖石上，求釋放鳥蛤位置的x坐標范圍。解析：(1)設平拋運動的時間為t，鳥蛤落地前瞬間的速度大小為v。豎直方向分速度大小為vy，根據(jù)速度—位移關(guān)系可得veq\o\al(2,y)＝2gH解得vy＝20m/s根據(jù)運動的合成與分解得v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))解得v＝25m/s落地時速度方向與水平方向的夾角θ滿足tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(4,3)可得θ＝53°因此鳥蛤落到水平地面上時的速度大小為25m/s，速度方向與水平方向的夾角為53°。(2)若釋放鳥蛤的初速度為v1＝15m/s，設擊中巖石左端時，釋放點的x坐標為x1，擊中右端時，釋放點的x坐標為x2，鳥蛤下落的時間為t，則有H＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝2s。根據(jù)平拋運動的規(guī)律可得x1＝v1t＝15×2m＝30m根據(jù)幾何關(guān)系可得x2＝x1＋L＝30m＋6m＝36m若釋放鳥蛤時的初速度為v2＝17m/s，設擊中巖石左端時，釋放點的x坐標為x1′，擊中右端時，釋放點的x坐標為x2′，根據(jù)平拋運動的規(guī)律可得x1′＝v2t＝17×2m＝34m根據(jù)幾何關(guān)系可得x2′＝x1′＋L＝34m＋6m＝40m綜上得x坐標區(qū)間為(34m，36m)。例6.(多選)(2022·山東德州期末)在排球比賽中，如果運動員沿水平方向擊球，在不計空氣阻力的情況下，要使排球既能過網(wǎng)，又不出界，需要考慮的因素有()A.擊球后排球的初速度B.人的高度C.網(wǎng)的高度D.擊球點的高度解析：選ACD。設網(wǎng)高為h，球場的長度為s，重力加速度為g，排球被發(fā)出時擊球點的高度H和水平初速度v，不計空氣阻力且排球可看成質(zhì)點，場地與排球運動示意圖如圖所示。排球做平拋運動，則x＝vt，y＝eq\f(1,2)gt2，排球在豎直方向上做自由落體運動，要能過網(wǎng)則x≥eq\f(s,2)，y≤H－h(huán)，同理，要排球不過線，則需滿足x≤s，y≥H，可見，要保證排球既能過網(wǎng)又不過線，與排球的初速度、起跳點的高度、網(wǎng)的高度都有關(guān)系，A、C、D正確，B錯誤。例7.如圖所示，水平屋頂高H＝5m，圍墻高h＝3.2m，圍墻到房子的水平距離L＝3m，圍墻外空地寬x＝10m，為使小球從屋頂①水平飛出②落在圍墻外的空地上，g取10m/s2。求：(1)小球離開屋頂時的速度③v0的大小范圍；(2)小球落在空地上的④最小速度。[審題抓住信息，準確推斷][破題形成思路，快速突破](1)設小球恰好落到空地邊緣時的水平初速度為v1，請寫出平拋運動的位移方程。①水平方向：L＋x＝v1t1；②豎直方向：H＝eq\f(1,2)gt12。(2)設小球恰好越過墻的邊緣時的水平初速度為v2，請寫出平拋運動的位移方程。①水平方向：L＝v2t2；②豎直方向：H－h(huán)＝eq\f(1,2)gt12。(3)請寫出v0的取值范圍。提示：v0的取值范圍為v2≤v0≤v1。(4)在v0的取值范圍內(nèi)落地速度最小時，對應的初速度是多少？提示：v0對應最小值v2時，小球落地速度最小。[解題規(guī)范步驟，水到渠成](1)設小球恰好落到空地的右側(cè)邊緣時的水平初速度為v1，則小球的水平位移：L＋x＝v1t1小球的豎直位移：H＝eq\f(1,2)gt12解以上兩式得：v1＝(L＋x)eq\r(\f(g,2H))＝13m/s設小球恰好越過圍墻的邊緣時的水平初速度為v2，則此過程中小球的水平位移：L＝v2t2小球的豎直位移：H－h(huán)＝eq\f(1,2)gt12解以上兩式得：v2＝Leq\r(\f(g,2（H－h(huán)）))＝5m/s小球拋出時的速度大小范圍為5m/s≤v0≤13m/s(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地時的豎直分速度一定，當小球恰好越過圍墻的邊緣落在空地上時，落地速度最小。豎直方向：Vy2＝2gH又有：vmin＝eq\r(veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋veq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(y)))解得：vmin＝5eq\r(5)m/s例8.如圖所示，一小球從平臺上水平拋出，恰好落在臨近平臺且傾角為α＝53°的光滑斜面頂端，并剛好沿光滑斜面下滑．已知斜面頂端與平臺的高度差h＝0．8m，g取10m/s2，sin53°＝0．8，cos53°＝0．6．則：(1)小球水平拋出的初速度v0是多少？(2)斜面頂端與平臺邊緣的水平距離s是多少？(3)若斜面頂端高H＝20．8m，則小球離開平臺后經(jīng)過多長時間到達斜面底端？解析：(1)由題意可知，小球落到斜面頂端時剛好沿斜面下滑，說明此時小球的速度方向與斜面平行，否則小球會彈起．所以小球在斜面頂端時的豎直分速度vy＝v0tan53°，又veq\o\al(2,y)＝2gh，代入數(shù)據(jù)解得vy＝4m/s，v0＝3m/s．(2)由vy＝gt1得t1＝0.4s故s＝v0t1＝3×0.4m＝1.2m．(3)小球沿斜面做勻加速直線運動的加速度為a＝eq\f(mgsin53°,m)＝8m/s2初速度v＝eq\r(veq\o\al(2,0)＋veq\o\al(2,y))＝5m/s又eq\f(H,sin53°)＝vt2＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,2)代入數(shù)據(jù)解得t2＝2seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t′2＝－\f(13,4)s，不合題意，舍去))所以t＝t1＋t2＝2.4s．針對訓練1.如圖所示，在斜面頂端的A點以速度v平拋一小球，經(jīng)t1時間落到斜面上B點處，若在A點將此小球以速度0.5v水平拋出，經(jīng)t2落到斜面上的C點處，以下判斷正確的是()A．t1∶t2＝4∶1 B．AB∶AC＝4∶1C．AB∶AC＝2∶1 D．t1∶t2＝eq\r(2)∶1解析：選B。平拋運動豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值tanθ＝eq\f(y,x)＝eq\f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，則t＝eq\f(2v0tanθ,g)。知運動的時間與初速度成正比，所以t1∶t2＝2∶1；豎直方向上下落的高度h＝eq\f(1,2)gt2，知豎直方向上的位移之比為4∶1；斜面上的距離s＝eq\f(h,sinθ)，知AB∶AC＝4∶1，故B正確，A、C、D錯誤。2.(2022·吉林一中質(zhì)檢)如圖所示，x軸在水平地面內(nèi)，y軸沿豎直方向。圖中畫出了y軸上沿x軸正方向拋出的三個小球a、b、c的運動軌跡，其中b和c從同一點拋出，不計空氣阻力，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)的飛行時間比b長B．b的飛行時間比c長C．a(chǎn)的初速度最大D．c的末速度比b大解析：選C。由圖知b、c的高度相同，大于a的高度，根據(jù)h＝eq\f(1,2)gt2，得t＝eq\r(\f(2h,g))，知b、c的飛行時間相同，a的飛行時間小于b、c的飛行時間，故A、B錯誤；b、c的高度相同，則運動的時間相同，b的水平位移大于c的水平位移，根據(jù)x＝v0t知，vb＞vc，對于a、b，a的高度小，則運動的時間短，而a的水平位移大，則va＞vb，可知初速度最大的是小球a，故C正確；由圖知b、c的高度相同，落地時豎直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，則b的末速度大于c的末速度，故D錯誤。3．(2022·廣西欽州模擬)跳臺滑雪是一項具有挑戰(zhàn)的體育運動，某運動員以一定的初速度從跳臺上水平滑出，經(jīng)過t＝2s落在傾角為30°的斜坡上，簡化過程如圖乙所示，不計空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，則()A．運動員的初速度大小為5eq\r(3)m/sB．落點到跳離點的位移大小為60mC．落在斜坡上時的速度方向與水平方向的夾角為60°D．落在斜坡上時的速度大小為10eq\r(7)m/s解析：選D。本題考查平拋運動規(guī)律的應用。根據(jù)平拋運動規(guī)律可知水平方向有x＝v0t，豎直方向有h＝eq\f(1,2)gt2，根據(jù)幾何關(guān)系可知tan30°＝eq\f(h,x)，當t＝2s時，聯(lián)立解得v0＝10eq\r(3)m/s，x＝20eq\r(3)m，h＝20m，故A錯誤；由幾何關(guān)系可知，運動員在斜坡上的落點到跳離點之間的位移l＝eq\r(x2＋h2)＝eq\r(20\r(3)2＋202)m＝40m，故B錯誤；由平拋運動的推論，速度方向與水平方向夾角的正切值是位移方向與水平方向夾角正切值的二倍，可得落在斜坡上時的速度方向與水平方向夾角的正切值tanθ＝2tan30°＝eq\f(2\r(3),3)，則θ≠60°，故C錯誤；根據(jù)平拋運動規(guī)律可知，落在斜坡上時的速度大小v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋gt2)＝eq\r(10\r(3)2＋10×22)m/s＝10eq\r(7)m/s，故D正確。4．(2022·湖南省教育聯(lián)合體聯(lián)考)目前，我國兩艘航母均裝備搭載了國產(chǎn)殲15飛鯊艦載機，殲15艦載機是我國獨立研制的新式第三代重型艦載機，已形成初步戰(zhàn)斗力。某次出海訓練時，艦載機在某一高度水平勻速飛行，離目標水平距離L時投彈，準確命中目標?，F(xiàn)將艦載機水平飛行高度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(9,4)倍，飛行速度變?yōu)樵瓉淼?.5倍，要仍能命中目標，則艦載機投彈時離目標的水平距離比原來要多(不計炸彈飛行過程中的空氣阻力)()A．L B.eq\f(5,4)LC．2L D.eq\f(9,4)L解析：選B。炸彈被投下后做平拋運動，在水平方向上的分運動為勻速直線運動，在豎直方向上的分運動為自由落體運動，所以在豎直方向上h＝eq\f(1,2)gt2，解得t＝eq\r(\f(2h,g))，在水平方向上L＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))，當艦載機飛行的高度變?yōu)樵瓉淼膃q\f(9,4