備戰(zhàn)2024年高考數學大一輪數學(人教A版理)-第九章-§9-9-曲線與方程

§9.9曲線與方程第九章平面解析幾何1.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.2.了解解析幾何的基本思想，掌握利用坐標法研究幾何問題的基本方法.3.能夠根據所給條件選擇適當的方法求曲線的軌跡方程.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.“曲線的方程”與“方程的曲線”在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)＝0的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.2.坐標法(1)用坐標表示點，把曲線看成滿足某種條件的

或軌跡.(2)用曲線上點的坐標(x，y)所滿足的方程

表示曲線.(3)通過研究方程的性質間接地研究曲線的性質.點的集合f(x，y)＝03.求動點軌跡方程的步驟(1)

——建立適當的坐標系.(2)

——設軌跡上的任一點P(x，y).(3)

——列出動點P所滿足的關系式.(4)

——依關系式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為關于x，y的方程，并化簡.(5)

——證明所得方程即為符合條件的動點軌跡方程.建系設點列式代換證明4.求動點軌跡方程的常用方法(1)直接法：即根據題目條件，寫出關于動點的幾何關系并用坐標表示，再進行整理、化簡.(2)定義法：先根據已知條件判斷動點的軌跡形狀，然后根據曲線的定義直接求動點的軌跡方程.(3)代入法：也叫相關點法，其特點是動點M(x，y)與已知曲線C上的點(x′，y′)相關聯，可先用x，y表示x′，y′，再代入曲線C的方程，即得點M的軌跡方程.(4)參數法：選取適當的參數，分別用參數表示動點坐標(x，y)，消去參數，即得其普通方程.1.“曲線C是方程f(x，y)＝0的曲線”是“曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要條件.2.曲線的交點與方程組的關系(1)兩條曲線交點的坐標是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數解.(2)方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x表示的曲線是一個點和一條直線.(

)(2)“f(x0，y0)＝0”是“點P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上”的充要條件.(

)(3)y＝kx與x＝

y表示同一條直線.(

)(4)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的.(

)××××1.已知點

，直線l：x＝

，點B是l上的動點，若過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是A.雙曲線

B.橢圓C.圓

D.拋物線√由題意得|MF|＝|MB|，根據拋物線的定義知，點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線.2.已知動點M(x，y)到點O(0,0)與到點A(6,0)的距離之比為2，則動點M的軌跡所圍成的區(qū)域的面積是________.化簡整理得(x－8)2＋y2＝16，即動點M的軌跡是以(8,0)為圓心，以4為半徑的圓.所以其軌跡圍成的區(qū)域面積S＝πR2＝16π.16π3.若過點P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1，l2分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則AB中點M的軌跡方程為______________.x＋y－1＝0設M的坐標為(x，y)，則A，B兩點的坐標分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM(圖略)，∵l1⊥l2，∴|PM|＝|OM|(O為坐標原點)，化簡得x＋y－1＝0，即為所求點M的軌跡方程.探究核心題型第二部分例1

已知動點P(x，y)與兩定點M(－1,0)，N(1,0)連線的斜率之積等于常數λ(λ≠0).(1)求動點P的軌跡C的方程；題型一直接法求軌跡方程由題意可知，直線PM與PN的斜率均存在且均不為零，當λ>0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線(除去頂點)；當－1<λ<0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x軸上的橢圓(除去長軸的兩個端點)；當λ＝－1時，軌跡C為以原點為圓心，1為半徑的圓除去點(－1,0)，(1,0).當λ<－1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓(除去短軸的兩個端點).(2)試根據λ的取值情況討論軌跡C的形狀.直接法求軌跡方程的思路直接法求軌跡方程最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數方程，要注意翻譯的等價性.通常將步驟簡記為建系、設點、列式、代換、化簡、證明這六個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性.思維升華跟蹤訓練1

(1)已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則動點P的軌跡是A.直線

B.圓

C.橢圓

D.雙曲線√設P(x，y)，化簡得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其表示以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.(2)在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若

＝1，則C的軌跡為A.圓

B.橢圓C.拋物線

D.直線√以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系(圖略)，設A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴點C的軌跡為圓.題型二定義法求軌跡方程例2

(1)已知△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是√如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|.根據雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支(y≠0)，(2)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，則圓心P的軌跡方程為__________________.因為圓P與圓M外切且與圓N內切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋1)＋(3－R)＝1＋3＝4(R為圓P的半徑)，(1)定義法的適用范圍若動點運動的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程.此法一般用于求圓錐曲線的方程.(2)注意兩個易誤點①因為對圓錐曲線定義中的某些特定條件理解不透或忽視某些限制條件而失誤.在利用定義法求軌跡方程時一定要正確應用圓錐曲線的定義.②不會遷移應用已知條件，因而找不到解題思路，無法解題.思維升華跟蹤訓練2

(1)設點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點的軌跡方程為A.y2＝2x

B.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2x

D.(x－1)2＋y2＝2√如圖，設P(x，y)，圓心為M(1,0).連接MA，PM.則MA⊥PA，且|MA|＝1，又因為|PA|＝1，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.(2)(2022·杭州七校質檢)已知F1，F2是雙曲線

＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，Q是雙曲線上任意一點，從焦點F1引∠F1QF2的角平分線的垂線，垂足為P，則點P的軌跡為A.直線

B.圓C.橢圓

D.雙曲線√不妨設點Q在雙曲線的右支上，延長F1P交直線QF2于點S(圖略)，∵QP是∠F1QF2的角平分線，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中點.∵O是F1F2的中點，∴PO是△F1SF2的中位線，∴點P的軌跡為圓.相關點法(代入法)求軌跡方程(1)求點N的軌跡方程；題型三設點P，點N的坐標分別為P(x1，y1)，N(x，y)，則M的坐標為(x1,0)，且x＝x1，所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.(2)當點N的軌跡為圓時，求λ的值.思維升華跟蹤訓練3

(1)(2022·銀川模擬)動點A在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點B(3,0)連線的中點的軌跡方程是_______________.設中點M(x，y)，由中點坐標公式，可得A(2x－3,2y)，因為點A在圓上，將點A的坐標代入圓的方程，y2＝4x設M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，故所求點N的軌跡方程是y2＝4x.課時精練第三部分基礎保分練1.在平面直角坐標系xOy中，動點P關于x軸對稱的點為Q，且

＝2，則點P的軌跡方程為A.x2＋y2＝2B.x2－y2＝2C.x＋y2＝2

D.x－y2＝212345678910111213141516設P(x，y)，則Q(x，－y)，所以x2－y2＝2.√2.(2022·云南質檢)已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程為A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.x2＋y2＝2(x≠±)D.x2＋y2＝4(x≠±2)√1234567891011121314151612345678910111213141516MN的中點為原點O，∴點P的軌跡是以原點O為圓心，2為半徑的圓，除去與x軸的兩個交點，即點P的軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2).3.已知點A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面積為10，則動點C的軌跡方程是A.4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B.4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C.4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D.4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0√1234567891011121314151612345678910111213141516可知AB的方程為4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，設動點C(x，y).所以動點C的軌跡方程是4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.12345678910111213141516√12345678910111213141516依題意知F1(－1,0)，F2(1,0)，設P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，則由三角形重心坐標公式可得A.直線

B.橢圓

C.圓

D.雙曲線12345678910111213141516√12345678910111213141516又λ1＋λ2＝1，∴化簡得x＋2y－5＝0，即點C的軌跡是一條直線.123456789101112131415166.在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別為橢圓

＝1(a>b>0)的左、右焦點，P為橢圓上的點，PQ為∠F1PF2的外角平分線，F2T⊥PQ于點T，則點T的軌跡為A.雙曲線

B.拋物線C.橢圓

D.圓√12345678910111213141516延長F2T交F1P的延長線于點M，如圖所示.由于PQ平分∠F2PM，則∠F2PT＝∠MPT，|PT|＝|PT|，所以Rt△PTF2≌Rt△PTM，則|PF2|＝|PM|，|TF2|＝|TM|，則點T為MF2的中點，又因為O為F1F2的中點，12345678910111213141516所以點T的軌跡是圓.1234567891011121314151612345678910111213141516整理可得9x2＋25y2＝225，12345678910111213141516y2＝－8x9.已知平面內B，C是兩個定點，|BC|＝8.①△ABC的周長為18；②直線AB，AC的斜率分別為kAB，kAC，且kAB·kAC＝

.請從上面條件中任選一個作答，以BC的中點為坐標原點，以BC所在直線為x軸，求出△ABC頂點A的軌跡方程.注：如果選擇多個條件作答，按第一個條件計分.1234567891011121314151612345678910111213141516選擇條件①：根據橢圓定義，平面上到兩個定點的距離之和為定值，且定值大于定長的點的軌跡為橢圓，|BC|＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，則a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三點構成三角形，選擇條件②：設點A(x，y)，又B(－4,0)，C(4,0)，12345678910111213141516即9x2＋16y2＝9×16，1234567891011121314151610.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，M(1，y0)(y0>0)是拋物線C上一點且△MOF的面積為

(其中O為坐標原點)，不過點M的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，且以PQ為直徑的圓經過點M，過點M作MN⊥PQ交PQ于點N.(1)求拋物線C的方程；故拋物線C的方程為y2＝x.12345678910111213141516(2)求證直線PQ恒過定點，并求出點N的軌跡方程.12345678910111213141516易得M(1,1)，由題意可設直線PQ的方程為x＝my＋a，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，故Δ＝m2＋4a>0，y1＋y2＝m，y1y2＝－a，因為∠PMQ＝90°，12345678910111213141516即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，所以a2－m2－3a－m＋2＝0，12345678910111213141516直線PQ的方程為x＝my＋a＝m(y－1)＋1，此時直線l過點M(1,1)，不符合題意，舍去；直線PQ的方程為x＝my＋a＝m(y＋1)＋2，此時直線PQ恒過定點H(2，－1).設N(x，y)，12345678910111213141516得(x－1)(x－2)＋(y＋1)(y－1)＝0，即點N的軌跡方程為x2＋y2－3x＋1＝0(x≠1).11.如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB＝30°，則點P的軌跡是

A.直線

B.拋物線

C.橢圓

D.雙曲線的一支√可構造如圖所示的圓錐.母線與AB所在直線(中軸線)的夾角為30°，然后用平面α去截圓錐，使直線AB與平面α的夾角為60°，則平面α與圓錐側面的交線為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，P的軌跡為橢圓.綜合提升練123456789101112131415161234567891011121314151612.若曲線C上存在點M，使M到平面內兩點A(－5，0)，B(5,0)距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”.以下曲線不是“好曲線”的是A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9C.

D.x2＝16y√12345678910111213141516因為點M到平面內兩點A(－5,0)，B(5,0)距離之差的絕對值為8，A項，直線x＋y＝5過點(5,0)，滿足題意，為“好曲線”；B項，x2＋y2＝9的圓心為(0,0)，半徑為3，與點M的軌跡沒有交點，不滿足題意；12345678910111213141516即y2－9y＋9＝0，Δ>0，滿足題意，為“好曲線”.12345678910111213141516312345678910111213141516以A為原點，以AB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系(圖略)，則A(0,0)，B(3,0)，設C(x，y).即(x＋1)2＋y2＝4.所以點C的軌跡是圓心為M(－1,0)，半徑為2的圓(不含與AB共線的兩點).即△ABC面積的最大值為3.14.已知過點A(－3,0)的直線與x＝3相交于點C，過點B(3，0)的直線與x＝－3相交于點D，若直線CD與圓x2＋y2＝9相切，則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為_________________.1234567891011121314151612345678910111213141516設點M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，mn≠0，則直線CD的方程為(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因為直線CD與圓x2＋y2＝9相切，又直線AC與BD的交點為M，12345678910111213141516拓展沖刺練15.數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個結論：①曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數的點)；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過

；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結論的序號是A.①

B.②

C.①②

D.①②③√1234567891011121314151612345678910111213141516曲線的方程x2＋y2＝1＋|x|