2013年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點43 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

高考試題分類解析③，化簡得，解得，即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點.13.(2013·浙江高考文科·T22)已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1).(1)求拋物線C的方程.(2)過F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.【解題指南】(1)知道拋物線的焦點易求拋物線的方程;(2)可以先設(shè)出A,B兩點的坐標(biāo)(設(shè)而不求),設(shè)出直線的方程,由已知條件把|MN|表示出來,進行求解.【解析】(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則=1,p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:y=kx+1,由，消去，整理得所以從而由解得點的橫坐標(biāo)同理點的橫坐標(biāo)，所以令，則當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，即時，的最小值是.14.（2013·山東高考理科·Ｔ22）橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F1、F2,離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2,設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點p作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，

設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個定值.【解題指南】（Ⅰ）由橢圓及過F1的線段長，可列出方程求出橢圓的方程；（Ⅱ）先設(shè)出點P的坐標(biāo)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角兩邊的距；離相等，可列出方程求出點P的橫坐標(biāo)與m的關(guān)系，由橢圓的范圍求出m的范圍.（Ⅲ）可先設(shè)出直線的點斜式方程，與橢圓聯(lián)立消去y，由于l與橢圓C有且只有一個公共點，即，可得出k與點P的坐標(biāo)的聯(lián)系，然后將斜率用坐標(biāo)表示出來的式子代入即可.【解析】（Ⅰ）由于，x=-c代入橢圓方程，得，由題意知，即，又，所以a=2,b=1,所以橢圓C的方程為（Ⅱ）設(shè)，又,所以直線的方程分別為:，:，由題意知，M到直線的距離相等，所以，由于點P在橢圓上，所以所以因為，，可得，所以因此（Ⅲ）設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立整理得.由l與橢圓C有且只有一個公共點，所以，即即，又所以，故，由（Ⅱ）知，所以，因此為定值，這個定值為-8.15.（2013·山東高考文科·Ｔ22）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在軸上，短軸長為2，離心率為.(I)求橢圓C的方程；(II)A,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P,設(shè),求實數(shù)t的值.【解題指南】（Ⅰ）可由橢圓的定義及簡單的幾何性質(zhì)，易知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)由于A,B兩點任意，因此需要考慮直線AB的斜率是否存在，斜率不存在時，設(shè)出A,B兩點坐標(biāo)，由已知條件得出P點坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得t的值，斜率存在時，可設(shè)直線的方程，然后與橢圓聯(lián)立，根據(jù)條件得出t的關(guān)系式.【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，由題意知，解得因此橢圓C的方程為.(II)當(dāng)AB⊥x軸時,設(shè)A(x0,y0),B(x0,-y0),由由OP→=tOE→=t(x0,0)=(tx又P在橢圓上,所以+02=1,所以t2=QUOTE2x02=4或QUOTE43,所以t=2或QUOTE233(舍去負值).當(dāng)AB不垂直于x軸時,設(shè)AB:y=kx+m,顯然m≠0,代入橢圓方程得(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0.…(*)由三角形面積公式知,|xAyB-xByA|=|xA(kxB+m)-xB(kxA+m)|=QUOTE12|m||xA-xB|=,所以,