2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練專題七概率與統(tǒng)計(jì)含解析

PAGE10-專題七概率與統(tǒng)計(jì)1.某中學(xué)為探討學(xué)生的身體素養(yǎng)與課外體育熬煉時(shí)間的關(guān)系，對(duì)該校200名學(xué)生的課外體育熬煉平均每天運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位：分)進(jìn)行調(diào)查，將收集的數(shù)據(jù)分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六組，并作出頻率分布直方圖(如圖Z7-1)，將日均課外體育熬煉時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生評(píng)價(jià)為“課外體育達(dá)標(biāo)”.圖Z7-1(1)請(qǐng)依據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算推斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？分類課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男60女110合計(jì)(2)現(xiàn)依據(jù)“課外體育達(dá)標(biāo)”與“課外體育不達(dá)標(biāo)”進(jìn)行分層抽樣，抽取8人，再?gòu)倪@8名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參與體育學(xué)問(wèn)問(wèn)卷調(diào)查，記“課外體育不達(dá)標(biāo)”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(K2≥k0)0.150.050.0250.0100.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828

2.某校為“中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：分?jǐn)?shù)不小于本次考試成果中位數(shù)的具有復(fù)賽資格，某校有900名學(xué)生參與了初賽，全部學(xué)生的成果均在區(qū)間(30,150]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖Z7-2.(1)求獲得復(fù)賽資格應(yīng)劃定的最低分?jǐn)?shù)線；(2)從初賽得分在區(qū)間(110,150]的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人參與學(xué)校座談溝通，那么從得分在區(qū)間(110,130]與(130,150]中各抽取多少人？(3)從(2)抽取的7人中，選出4人參與全市座談溝通，設(shè)X表示得分在(110,130]中參與全市座談溝通的人數(shù)，學(xué)校準(zhǔn)備給這4人肯定的物質(zhì)嘉獎(jiǎng)，若該生分?jǐn)?shù)在(110,130]賜予500元嘉獎(jiǎng)，若該生分?jǐn)?shù)在(130,150]賜予800元嘉獎(jiǎng)，用Y表示學(xué)校發(fā)的獎(jiǎng)金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.圖Z7-23.光伏發(fā)電是將光能干脆轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N技術(shù)，具有資源的足夠性及潛在的經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)點(diǎn)，在長(zhǎng)期的能源戰(zhàn)略中具有重要地位.2024年起，國(guó)家能源局、國(guó)務(wù)院扶貧辦聯(lián)合在6個(gè)省的30個(gè)縣開(kāi)展光伏扶貧試點(diǎn)，在某縣居民中隨機(jī)抽取50戶，統(tǒng)計(jì)其年用電量得到以下統(tǒng)計(jì)表.以樣本的頻率作為概率.用電量/千瓦時(shí)(0,200](200，400](400，600](600，800](800，1000]戶數(shù)/戶7815137(1)在該縣居民中隨機(jī)抽取10戶，記其中年用電量不超過(guò)600千瓦時(shí)的戶數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)在總結(jié)試點(diǎn)閱歷的基礎(chǔ)上，將村級(jí)光伏電站穩(wěn)定為光伏扶貧的主推方式.已知該縣某自然村有居民300戶.若安排在該村安裝總裝機(jī)容量為300千瓦的光伏發(fā)電機(jī)組，該機(jī)組所發(fā)電量除保證該村正常用電外，剩余電量國(guó)家電網(wǎng)以0.8元/千瓦時(shí)的價(jià)格進(jìn)行收購(gòu).經(jīng)測(cè)算每千瓦裝機(jī)容量的發(fā)電機(jī)組年平均發(fā)電1000千瓦時(shí)，試估計(jì)該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證該村正常用電外還能為該村創(chuàng)建干脆收益多少元？4.某重點(diǎn)中學(xué)將全部高一新生分成A，B兩個(gè)成果相當(dāng)(成果的均值、方差都相同)的級(jí)部，A級(jí)部采納傳統(tǒng)形式的教學(xué)方式，B級(jí)部采納新型的基于信息化的自主學(xué)習(xí)教學(xué)方式.期末考試后分別從兩個(gè)級(jí)部中各隨機(jī)抽取100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：A級(jí)部B級(jí)部圖Z7-3記成果不低于130分者為“優(yōu)秀”.(1)依據(jù)頻率分布直方圖(圖Z7-3)，分別求出A，B兩個(gè)級(jí)部的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01)，依據(jù)這些數(shù)據(jù)初步分析A，B兩個(gè)級(jí)部的數(shù)學(xué)成果的優(yōu)劣.(2)依據(jù)頻率分布直方圖(圖Z7-3)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表推斷是否有99%的把握認(rèn)為“優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)？分類優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)A級(jí)部B級(jí)部合計(jì)(3)①現(xiàn)從所抽取的B級(jí)部的100人中利用分層抽樣的方法再抽取25人，再?gòu)倪@25人中隨機(jī)抽出2人去參與“信息化的自主學(xué)習(xí)”的學(xué)習(xí)體會(huì)座談，求抽出的兩人中至少有一個(gè)為“優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，從B級(jí)部全部學(xué)生中隨機(jī)抽取25人去參與“信息化的自主學(xué)習(xí)”的學(xué)習(xí)體會(huì)座談，記其中為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.P(K2≥k)0.1000.050.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).5.PM2.5的值表示空氣中某種顆粒物的濃度，通常用來(lái)代表空氣的污染狀況，這個(gè)值越高，空氣污染越嚴(yán)峻.下表是某城市開(kāi)展“綠色出行，健康生活”活動(dòng)第一周至第七周，居民采納“綠色出行”的人數(shù)與PM2.5值的一組數(shù)據(jù)：時(shí)間第一周其次周第三周第四周第五周第六周第七周“綠色出行”的人數(shù)x/萬(wàn)人1245689PM2.5的值y100805040352520(1)已知“綠色出行”的人數(shù)x和PM2.5值y有線性相關(guān)性，求y關(guān)于x的線性回來(lái)方程；(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))(2)若第八周“綠色出行”的人數(shù)為10萬(wàn)人，請(qǐng)預(yù)料第八周該市PM2.5的值；(計(jì)算結(jié)果保留一位小數(shù))(3)若PM2.5的值在(0,50]內(nèi)空氣質(zhì)量為優(yōu)，現(xiàn)從第一周至第七周中隨意抽取三周，記所抽取的樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的周數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：eq\o(b,\s\up6(^))＝＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).6.《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從2024年秋季中學(xué)入學(xué)的新生起先，不分文理科；2024年起先，高考總成果由語(yǔ)數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成果從高到低劃分為A、B＋、B、C＋、C、D＋、D、E共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.選考科目成果計(jì)入考生總成果時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成果，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成果.某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科供應(yīng)依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成果基本聽(tīng)從正態(tài)分布N(60,169).(Ⅰ)求物理原始成果在區(qū)間(47,86)的人數(shù)；(Ⅱ)按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級(jí)成果在區(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.[附：若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997]7.某水產(chǎn)品經(jīng)銷商銷售某種鮮魚(yú)，平均售價(jià)為每千克20元，平均成本為每千克15元.銷售宗旨是當(dāng)天進(jìn)貨當(dāng)天銷售.假如當(dāng)天賣不出去，折價(jià)處理平均每千克損失3元.該經(jīng)銷商依據(jù)以往每天該種鮮魚(yú)的銷售狀況，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]進(jìn)行分組，得到如圖Z7-4所示的頻率分布直方圖，視頻率為概率.(1)求將來(lái)連續(xù)三天內(nèi)，該經(jīng)銷商有連續(xù)兩天該種鮮魚(yú)的日銷售量不低于350千克，而另一天日銷售量低于350千克的概率；(2)在頻率分布直方圖的需求量分組中，以各組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值.①求日需求量X的分布列；②依據(jù)閱歷，該經(jīng)銷商安排每日進(jìn)貨300千克或400千克，以每日利潤(rùn)Y的數(shù)學(xué)期望值為決策依據(jù)，他應(yīng)當(dāng)選擇每日進(jìn)貨300千克還是400千克？圖Z7-48.某市為了激勵(lì)市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過(guò)200千瓦時(shí)的部分按0.5元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)200千瓦時(shí)但不超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按0.8元/千瓦時(shí)收費(fèi)，超過(guò)400千瓦時(shí)的部分按1.0元/千瓦時(shí)收費(fèi).(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時(shí))的函數(shù)解析式；(2)為了解居民的用電狀況，通過(guò)抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖Z7-5所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用不超過(guò)260元的80%，求a，b的值；(3)在滿意(2)的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，記Y為該居民用戶1月份的用電費(fèi)用，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.圖Z7-5

專題七概率與統(tǒng)計(jì)1．解：(1)由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)為200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，則“課外體育不達(dá)標(biāo)”人數(shù)為150，∴列聯(lián)表如下：分類課外體育不達(dá)標(biāo)課外體育達(dá)標(biāo)合計(jì)男603090女9020110合計(jì)15050200∴K2＝eq\f(200×60×20－30×902,90×110×150×50)＝eq\f(200,33)≈6.061<6.635.∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下不能認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．(2)由題意采納分層抽樣在“課外體育達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中抽取2人，在“課外體育不達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中抽取6人，由題意知：X的全部可能取值為1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)＝eq\f(15,28)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)＝eq\f(5,14).故X的分布列為X123Peq\f(3,28)eq\f(15,28)eq\f(5,14)故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝1×eq\f(3,28)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,14)＝eq\f(9,4).2．解：(1)由題意知分?jǐn)?shù)在(30,90]內(nèi)的頻率為：20×(0.0025＋0.0075＋0.0075)＝0.35，分?jǐn)?shù)在(110,150]內(nèi)的頻率為：20×(0.0050＋0.0125)＝0.35，∴分?jǐn)?shù)在(90,110]的頻率為：1－0.35－0.35＝0.3，從而分?jǐn)?shù)在(90,110]的eq\f(頻率,組距)＝eq\f(0.3,20)＝0.015,假設(shè)最低分?jǐn)?shù)線為x，由題意得0.35＋(x－90)×0.015＝0.5，解得x＝100.故本次考試復(fù)賽資格最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃為100分．(2)在區(qū)間(110,130]與(130,150]的頻率之比為0.0125∶0.0050＝5∶2,在區(qū)間(110,150]的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取7人，應(yīng)在區(qū)間(110,130]與(130,150]各抽取5人，2人．(3)X的可能取值為2,3,4，則：P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,2),C\o\al(4,7))＝eq\f(2,7)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,7)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5)C\o\al(0,2),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,7).從而Y的分布列為Y260023002000Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)∴E(Y)＝2600×eq\f(2,7)＋2300×eq\f(4,7)＋2000×eq\f(1,7)＝eq\f(16400,7)(元)．3．解：(1)記在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶，其年用電量不超過(guò)600千瓦時(shí)為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(3,5).由已知可得從該縣居民中隨機(jī)抽取10戶，記其中年用電量不超過(guò)600千瓦時(shí)的戶數(shù)為X，X聽(tīng)從二項(xiàng)分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(3,5)))，故E(X)＝10×eq\f(3,5)＝6.(2)設(shè)該縣居民戶年均用電量為E(Y)，由抽樣可得E(Y)＝100×eq\f(7,50)＋300×eq\f(8,50)＋500×eq\f(15,50)＋700×eq\f(13,50)＋900×eq\f(7,50)＝520(千瓦時(shí))，則該村年均用電量約156000千瓦時(shí)．又該村所裝發(fā)電機(jī)組年預(yù)料發(fā)電量為300000千瓦時(shí)，故該機(jī)組每年所發(fā)電量除保證該村正常用電外還能剩余電量約144000千瓦時(shí)，能為該村創(chuàng)建干脆收益144000×0.8＝115200元．4．解：(1)設(shè)A級(jí)部的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)為x，則0.18＋0.23＋(x－110)×0.029＝0.5.解得x≈113.10.眾數(shù)：eq\f(110＋120,2)＝115(分)．設(shè)B級(jí)部的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)為y，則0.08＋0.16＋0.24＋(y－120)×0.028＝0.5.解得y≈120.7.眾數(shù)：eq\f(120＋130,2)＝125(分)．從A，B兩個(gè)級(jí)部的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)和眾數(shù)的估計(jì)值看，B級(jí)部的數(shù)學(xué)成果的兩個(gè)數(shù)據(jù)都大于A級(jí)部的數(shù)據(jù)，故初步分析B級(jí)部的數(shù)學(xué)成果優(yōu)于A級(jí)部的數(shù)學(xué)成果．(2)分類優(yōu)秀不優(yōu)秀合計(jì)A級(jí)部793100B級(jí)部2476100合計(jì)31169200由列聯(lián)表可知K2的觀測(cè)值＝eq\f(200×93×24－76×72,169×31×100×100)≈11.033＞6.635.∴有99%的把握認(rèn)為“優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．(3)①依題意B級(jí)部的100個(gè)樣本利用分層抽樣的方法再抽取的25人中“優(yōu)秀”的有6人，“不優(yōu)秀”的有19人．則從這25人中隨機(jī)抽出2人至少有一個(gè)為“優(yōu)秀”的概率為p＝1－eq\f(C\o\al(2,19),C\o\al(2,25))＝eq\f(43,100)＝0.43.②由題意可知，隨機(jī)變量X聽(tīng)從二項(xiàng)分布X～B(25,0.24)，則E(X)＝6；D(X)＝25×0.24×0.76＝4.56.5．解：(1)由題意知：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋4＋5＋6＋8＋9,7)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(100＋80＋50＋40＋35＋25＋20,7)＝50，iyi＝1250，eq\o\al(2,i)＝227，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(1250－7×5×50,227－7×52)＝－9.62，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝98.10，故y關(guān)于x的線性回來(lái)方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝－9.62x＋98.10.(2)當(dāng)人數(shù)為10萬(wàn)人時(shí)，即x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝－9.62×10＋98.10＝1.9，故人數(shù)為10萬(wàn)人時(shí)，PM2.5的值為1.9.(3)由題意可知，第一周到第七周內(nèi)有五周空氣質(zhì)量為優(yōu)．則隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(5,35)＝eq\f(1,7)；P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(20,35)＝eq\f(4,7)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(10,35)＝eq\f(2,7).∴X的分布列如下X123Peq\f(1,7)eq\f(4,7)eq\f(2,7)∴E(X)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(4,7)＋3×eq\f(2,7)＝eq\f(15,7).6．解：(Ⅰ)∵物理原始成果ξ～N(60,132)，則P(47<ξ<86)＝P(47<ξ<60)＋P(60≤ξ<86)＝eq\f(0.682,2)＋eq\f(0.954,2)＝0.818，∴物理原始成果在(47,86)的人數(shù)為2000×0.818＝1636(人)．(Ⅱ)隨機(jī)抽取1人，其成果在區(qū)間[61,80]的概率為eq\f(2,5)，∴隨機(jī)抽取3人，則X可取0,1,2,3，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,5)))，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(27,125)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(2,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(54,125)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2·eq\f(3,5)＝eq\f(36,125)；P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(8,125).∴X的分布列為X0123Peq\f(27,125)eq\f(54,125)eq\f(36,125)eq\f(8,125)數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×eq\f(2,5)＝eq\f(6,5).7．解：(1)由頻率等于概率，因此利用頻率分布直方圖結(jié)合頻率＝組距×eq\f(頻率,組距)，可求出各日需求量所在區(qū)間的概率；(2)先依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出銷售量不低于350千克和低于350千克的概率，結(jié)合相互獨(dú)立事務(wù)公式求①；②分別計(jì)算出進(jìn)貨300千克和400千克時(shí)，利潤(rùn)的分布列，求出各期望值，通過(guò)期望值中的比較選擇期望值較大的一個(gè)．(1)由頻率分布直方圖可知，日銷售量不低于350千克的概率為(0.0025＋0.0015)×100＝0.4，則將來(lái)連續(xù)三天內(nèi)，有連續(xù)兩天的日銷售量不低于350千克，而另一天日銷售量低于350千克的概率P＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192.(2)①X可取100,200,300,400,500，P(X＝100)＝0.0010×100＝0.1；P(X＝200)＝0.0020×100＝0.2；P(X＝300)＝0.0030×100＝0.3；P(X＝400)＝0.0025×100＝0.25；P(X＝500)＝0.0015×100＝0.15.∴X的分布列為X100200300400500P0.10.20.30.250.15②當(dāng)每日進(jìn)貨300千克時(shí)，利潤(rùn)Y1可?。?00,700,1500，此時(shí)Y1的分布列為Y1－1007001500P0.10.20.7此時(shí)利潤(rùn)的期望值E(Y1)＝－100×0.1＋700×0.2＋1500×0.7＝1180(元)；當(dāng)每日進(jìn)貨400千克時(shí)，利潤(rùn)Y2可取－400,400,1200,2000，此