2013年數(shù)學(xué)高考題分類解析考點49 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型

高考試題分類解析解得m=3.【答案】3.14.（2013·山東高考理科·Ｔ14）在區(qū)間[-3,3]上隨機(jī)取一個數(shù)x，使得

|x+1

|-

|x-2

|≥1成立的概率為__________.【解題指南】可先定義新函數(shù)，然后根據(jù)分段函數(shù)的特點將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.【解析】設(shè)，則.由，解得，即當(dāng)時，.由幾何概型公式得所求概率為.【答案】.15.(2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科·T14)從n個正整數(shù)1,2,…,n中任意取出兩個不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為QUOTE114,則n=.【解題指南】表示出兩數(shù)之和等于5的概率,并建立方程,利用組合數(shù)的計算公式,解方程求得n.【解析】從n個正整數(shù)1,2,…,n中任意取出兩個不同的數(shù),所有的取法有QUOTECn2種,而取出的兩數(shù)之和等于5的取法只有兩種,即(1,4),(2,3),所以其概率為,即n2-n-56=0,所以n=8.【答案】8.16.（2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·Ｔ13）從中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為的概率是_______.【解題指南】列舉基本事件總數(shù)，從中找出和為5的情況，兩者作比即可得概率.【解析】從5個正整數(shù)中任意取出兩個不同的數(shù)，有種，若取出的兩數(shù)之和等于5，則有，共有2個，所以取出的兩數(shù)之和等于5的概率為。【答案】.三、解答題17.（2013·遼寧高考文科·Ｔ19）現(xiàn)有6道題，其中其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答.試求：所取的2道題都是甲類題的概率；所取的2道題不是同一類題的概率；【解題指南】利用列舉法，弄清楚基本事件總數(shù)和所求的事件A包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的公式計算概率【解析】將4道甲類題依次編號為1,2,3,4，2道乙類題依次編號為5,6．任取2道題的基本事件為共有15個；并且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，記事件“張同學(xué)所取的２道題都是甲類題”；則Ａ包含的基本事件有共６個，所以基本事件同．記事件“張同學(xué)所取的２道題不是同一類題”，則Ｂ包含的基本事件有共８個，所以18.(2013·天津高考文科·T15)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標(biāo)分別為x,y,z,用綜合指標(biāo)S=x+y+z評價該產(chǎn)品的等級.若S≤4,則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本,其質(zhì)量指標(biāo)列表如下:產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率.(2)在該樣品的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品,①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果;②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中,每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”【解題指南】(1)先計算表格中各樣本的綜合指標(biāo),再計算其中一等品所占比例來估計該批產(chǎn)品的一等品率.(2)逐一列舉,找出符合條件的結(jié)果,利用古典概型計算概率.【解析】(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S,如下表產(chǎn)品編號S4463454535其中S≤4的有A1,A2,A4,A5,A7,A9,共6件,故該樣本的一等品率為QUOTE610=0.6,從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.(2)①在該樣本的一等品中,隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為(A1,A2),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A7),(A1,A9),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A7),(A2,A9),(A4,A5),(A4,A7),(A4,A9),(A5,A7),(A5,A9),(A7,A9),共15種.②在該樣本的一等品中,綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1,A2,A5,A7,則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為(A1,A2),(A1,A5),(A1,A7),(A2,A5),(A2,A7),(A5,A7),共6種.所以19.（2013·湖南高考文科·Ｔ18）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收貨量(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米。（Ⅰ）完成下表,并求所種作物的平均年收獲量;Y51484542頻數(shù)4(Ⅱ)在所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量至少為48kg的概率.【解題指南】本題先要確定共種植15株作物,然后弄懂哪些株之間的距離等于1米,哪些超過1米,關(guān)鍵是弄懂“相近”即直線距離不超過1米的含義.【解析】（Ⅰ）由圖可知所種作物總株數(shù)為15.其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均收獲量為(Ⅱ)由（Ⅰ）知年收獲量至少為48kg的有6株，故從15株中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為。20.（2013·江西高考文科·Ｔ16）小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以O(shè)為起點，再從A1,A2,A3,A4,A5,A6（如圖）這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記住這兩個向量的數(shù)量積為X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0就去下棋.(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解題指南】(1)寫出六個向量中取兩個向量的所有情況，便知對應(yīng)的數(shù)量積情況；（2）找出所求事件包含的結(jié)果代入古典概型概率公式.【解析】(1)X的所有可能取值為-2，-1,0,1.(2)數(shù)量積為-2的有,共1種；數(shù)量積為-1的有,,,,,,共6種；數(shù)量積為0的有,,,共4種；數(shù)量積為1的有,,,共4種.故所有可能的情況共有15種.所以小波去下棋的概率為；小波去唱歌的概率為，小波不去唱歌的概率為.21.（2013·安徽高考理科·Ｔ21）某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動,分別由李老師和張老師負(fù)責(zé),已知該系共有位學(xué)生，每次活動均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）。假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到。記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為（1）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整數(shù)?！窘忸}指南】（1）利用對立事件的概率計算；（2）根據(jù)P(X=m)的關(guān)系式，利用不等式求解?！窘馕觥浚?）因為事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件，所以相互獨立，由于P(A)=P(B)=，因此。（2）當(dāng)k=n時，m只能取n，有P(X=m)=P(X=n)=1,,當(dāng)k<n時，整數(shù)m滿足，其中t是2k和n中的較小者，由于“李老師和張老師各自獨立、隨機(jī)地發(fā)活動通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為，當(dāng)X=m時，同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2k-m,僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為m-k，由乘法計數(shù)原理知：事件{X=m}所包含基本事件數(shù)為，此時，當(dāng)時，P(X=m),假如成立，則當(dāng)能被n+2整除時，，故P（X=m）在和處取得最大值；當(dāng)不能被n+2整除時，處達(dá)最大值。（注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)）下面證明。因為，所以，而，故，顯然，因此。22.（2013·北京高考文科·Ｔ16）下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣質(zhì)量重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天。（1）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率（2）求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率。（3）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）【解題指南】(1)(2)都是古典概型的概率計算問題,先列出基本事件空間所包含的基本事件及基本事件總數(shù),再求出對應(yīng)事件所包含的基本事件及基本事件總數(shù),再求概率.(3)從圖中找出哪三天的波動最大,則方差也就最大.【解析】（1）此人到達(dá)的時間從1日到13日，共有13種情況。事件A=“此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良”=｛1，2，3，7，12，13｝，包含基本事件數(shù)6。所以；此人在該市停留兩天期間的空氣質(zhì)量所有可能情況有：(86,25)，（25，57），（57，143），（143，220），（220.160），（160，40），（40，217），（217，160），（160，121），（121，158），（158，86），（86，79），（79，37）共有13種可能。其中只有1天重度污染的有：（143，220），（220，160），（40，217），（217，160）共4種可能。所以。（3）5，6，7三天。23.（2013·廣東高考理科·Ｔ17）某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).（1）根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；（2）日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人，根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.【解題指南】本題考查統(tǒng)計中的莖葉圖、樣本均值、用樣本估計總體、古典概型等知識，除應(yīng)用頻率估算概率外，還特別要注意基本公式的應(yīng)用.【解析】（1）樣本均值；（2）樣本中優(yōu)秀工人為2名，頻率為，由此估計該車間12名工人中有名優(yōu)秀工人；（3）由于12名工人中有4名優(yōu)秀工人，任取2人恰有1名優(yōu)秀工人的概率.24.（2013·廣東高考文科·Ｔ17）從一批蘋果中，隨機(jī)抽取50個，其重量（單位：克）的頻數(shù)分布表如下：分組（重量）頻數(shù)（個）5102015(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計算蘋果的重量在的頻率；(2)用分層抽樣的方法從重量在和的蘋果中共抽取4個，其中重量在的有幾個？(3)在（2）中抽出的4個蘋果中，任取2個，求重量在和中各有1個的概率．【解題指南】本題考查統(tǒng)計中的頻率分布、分層抽樣、古典概型等知識.【解析】（1）蘋果的重量在的頻率為；（2）重量在的有個；（3）設(shè)這4個蘋果中重量在的為1，的為2、3、4，從中任取兩個，可能的情況有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6種；設(shè)任取2個，重量在和中各有1個的事件為A，則事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3種，所以.25.（2013·山東高考文科·Ｔ17）某小組共有五位同學(xué)，他們的身高（單位:米）以及體重指標(biāo)（單位:千克/米2），如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(Ⅰ)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率(Ⅱ)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5，23.9)中的概率【解題指南】（Ⅰ）本題考查古典概型，要將“身高低于1.80的同學(xué)中任選2人”都列出，然后找“2人身高都在1.78以下”所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.（=2\*ROMANII）要將基本事件都列出，然后找“2人身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5，23.9)中”所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.【解析】（I）從身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6個.由于每個人被選到的機(jī)會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A,B),(A,C),(B,C),共3個.因此選到的2人身高都在1.78以下的概率為P=.（II）從該小組同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：（A,B），(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10個.由于每個人被選到的機(jī)會均等，因此這些事件出現(xiàn)是等可能的.選到的2人身高都在1.70以上且體重都在（18.5,23.9）中的事件有：（C,D）,（C,E）,（D,E）,共3個.因此選到的2人身高都在1.70以上且體重都在（18.5,23.9）中的概率為.26.（2013·陜西高考文科·Ｔ19）有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽,由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次,根據(jù)年齡將大眾評委分為5組,各組的人數(shù)如下:組別ABCDE人數(shù)5010015015050 (Ⅰ)為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況,現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委,其中從B組中抽取了6人.請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)6(Ⅱ)在(Ⅰ)中,若A,B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手,現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人,求這2人都支持1號歌手的概率.【解題指南】按相同的比例從不同的組中抽取人數(shù);相互獨立同時發(fā)生的概率公式P(AB)=P(A)P(B),代入可求解.【解析】(Ⅰ)從B組100人中抽取6人，即從50人中抽取3人，從150人中抽取9人. 組別ABCDE人數(shù)5010015015050抽取人數(shù)36993(Ⅱ)A組抽取的3人中有2人支持1號歌手，則從3人中任選1人，支持1號歌手的概率為，B組抽取的6人中有2人支持1號歌手，則從6人中任選1人，支持支持1號歌手的概率為，現(xiàn)從抽樣評委A組3人,B組6人中各自任選一人，則這2人都支持1號歌手的概率.所以，從A,B兩組抽樣評委中，各自任選一人，則這2人都支持1號歌手的概率為.27.（2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·Ｔ19）經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤元，未售出的產(chǎn)品，每虧損元。根據(jù)歷