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PAGE1-第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考試要求1.能依據(jù)給定直線、圓的方程推斷直線與圓的位置關(guān)系;能依據(jù)給定兩個(gè)圓的方程推斷兩圓的位置關(guān)系;2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)潔的問題;3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.知識(shí)梳理1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直線l:Ax+By+C=0,圓心C(a,b)到直線l的距離為d,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((x-a)2+(y-b)2=r2,,Ax+By+C=0))消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其判別式為Δ.位置關(guān)系相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ=0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd=rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為R,r(R>r),兩圓圓心間的距離為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表表示:位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r公切線條數(shù)43210[常用結(jié)論與微點(diǎn)提示]1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.2.直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法(1)幾何法:運(yùn)用弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形,計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|=2eq\r(r2-d2).(2)代數(shù)法:設(shè)直線y=kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于點(diǎn)M,N,將直線方程代入圓的方程中,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,求出xM+xN和xM·xN,則|MN|=eq\r(1+k2)·eq\r((xM+xN)2-4xM·xN).診斷自測(cè)1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的必要不充分條件.()(2)假如兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解,則兩圓外切.()(3)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓相交.()(4)過圓O:x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則O,P,A,B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x+y0y=r2.()解析(1)“k=1”是“直線x-y+k=0與圓x2+y2=1相交”的充分不必要條件;(2)除外切外,還有可能內(nèi)切;(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(老教材必修2P132A5改編)直線l:3x-y-6=0與圓x2+y2-2x-4y=0相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=______.解析由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,所以該圓的圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r=eq\r(5).又圓心(1,2)到直線3x-y-6=0的距離為d=eq\f(|3-2-6|,\r(9+1))=eq\f(\r(10),2),由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)=r2-d2,得|AB|2=10,即|AB|=eq\r(10).答案eq\r(10)3.(老教材必修2P133A9改編)圓x2+y2-4=0與圓x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦長(zhǎng)為________.解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2+y2-4=0,,x2+y2-4x+4y-12=0))得兩圓公共弦所在直線方程x-y+2=0.又圓x2+y2=4的圓心到直線x-y+2=0的距離為eq\f(2,\r(2))=eq\r(2).由勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為eq\r(4-2)=eq\r(2),所以,所求弦長(zhǎng)為2eq\r(2).答案2eq\r(2)4.(2024·太原模擬)若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=()A.21 B.19 C.9 D.-11解析圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1,因?yàn)閳AC2的方程可化為(x-3)2+(y-4)2=25-m,所以圓C2的圓心為C2(3,4),半徑r2=eq\r(25-m)(m<25).從而|C1C2|=eq\r(32+42)=5.由兩圓外切得|C1C2|=r1+r2,即1+eq\r(25-m)=5,解得m=9.答案C5.(2024·合肥質(zhì)檢)已知直線l:x-eq\r(3)y-a=0與圓C:(x-3)2+(y+eq\r(3))2=4交于點(diǎn)M,N,點(diǎn)P在圓C上,且∠MPN=eq\f(π,3),則a的值為()A.2或10 B.4或8C.6±2eq\r(2) D.6±2eq\r(3)解析因?yàn)閳A的半徑是r=2,圓心坐標(biāo)是C(3,-eq\r(3)),∠MPN=eq\f(π,3),且P在圓C上,所以∠MCN=eq\f(2π,3),則|MN|=2eq\r(3).又點(diǎn)C到直線l的距離d=eq\f(|3+3-a|,\r(1+3))=eq\f(|a-6|,2),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|MN|,2)))eq\s\up12(2)+d2=r2,所以(eq\r(3))2+eq\f((a-6)2,4)=4,則a=6±2,即a=4或8.答案B6.(多填題)(2024·浙江卷)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,m),半徑長(zhǎng)是r.若直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A(-2,-1),則m=________,r=________.解析依據(jù)題意畫出圖形,可知A(-2,-1),C(0,m),B(0,3),則|AB|=eq\r((-2-0)2+(-1-3)2)=2eq\r(5),|AC|=eq\r((-2-0)2+(-1-m)2)=eq\r(4+(m+1)2),|BC|=|m-3|.∵直線2x-y+3=0與圓C相切于點(diǎn)A,∴∠BAC=90°,∴|AB|2+|AC|2=|BC|2.即20+4+(m+1)2=(m-3)2,解得m=-2.因此r=|AC|=eq\r(4+(-2+1)2)=eq\r(5).答案-2eq\r(5)考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系多維探究角度1位置關(guān)系的推斷【例1-1】在△ABC中,若asinA+bsinB-csinC=0,則圓C:x2+y2=1與直線l:ax+by+c=0的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定解析因?yàn)閍sinA+bsinB-csinC=0,所以由正弦定理得a2+b2-c2=0.故圓心C(0,0)到直線l:ax+by+c=0的距離d=eq\f(|c|,\r(a2+b2))=1=r,故圓C:x2+y2=1與直線l:ax+by+c=0相切,故選A.答案A規(guī)律方法推斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程之后利用Δ推斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi),可推斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.角度2弦長(zhǎng)問題【例1-2】(2024·中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3),且與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2eq\r(3),則直線l的方程為()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x+4y-12=0或x=0解析當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=0,,x2+y2-2x-2y-2=0,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=1-\r(3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=0,,y=1+\r(3),))∴|AB|=2eq\r(3),符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+3,由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4,其圓心為C(1,1),半徑r=2,∴圓心C(1,1)到直線kx-y+3=0的距離d=eq\f(|k-1+3|,\r(k2+1))=eq\f(|k+2|,\r(k2+1)),∵d2=r2-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2),∴eq\f((k+2)2,k2+1)=4-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2),即(k+2)2=k2+1,解得k=-eq\f(3,4),∴直線l的方程為y=-eq\f(3,4)x+3,即3x+4y-12=0.綜上,滿意題意的直線l的方程為x=0或3x+4y-12=0,故選D.答案D規(guī)律方法弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)方法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式Δ>0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,依據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).(2)幾何方法:若弦心距為d,圓的半徑長(zhǎng)為r,則弦長(zhǎng)l=2eq\r(r2-d2).【訓(xùn)練1】(1)(角度1)(2024·西安八校聯(lián)考)若過點(diǎn)A(3,0)的直線l與曲線(x-1)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l斜率的取值范圍為()A.(-eq\r(3),eq\r(3)) B.[-eq\r(3),eq\r(3)]C.(-eq\f(\r(3),3),eq\f(\r(3),3)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3)))(2)(角度2)(2024·全國(guó)Ⅰ卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=________.解析(1)數(shù)形結(jié)合可知,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=k(x-3),則圓心(1,0)到直線y=k(x-3)的距離應(yīng)小于等于半徑1,即eq\f(|2k|,\r(1+k2))≤1,解得-eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).(2)由題意知圓的方程為x2+(y+1)2=4,所以圓心坐標(biāo)為(0,-1),半徑為2,則圓心到直線y=x+1的距離d=eq\f(|1+1|,\r(2))=eq\r(2),所以|AB|=2eq\r(22-(\r(2))2)=2eq\r(2).答案(1)D(2)2eq\r(2)考點(diǎn)二圓的切線問題典例遷移【例2】(經(jīng)典母題)過點(diǎn)P(2,4)引圓C:(x-1)2+(y-1)2=1的切線,則切線方程為________.解析當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=2,此時(shí),圓心到直線的距離等于半徑,直線與圓相切,符合題意;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,∵直線與圓相切,∴圓心到直線的距離等于半徑,即d=eq\f(|k-1+4-2k|,\r(k2+(-1)2))=eq\f(|3-k|,\r(k2+1))=1,解得k=eq\f(4,3),∴所求切線方程為eq\f(4,3)x-y+4-2×eq\f(4,3)=0,即4x-3y+4=0.綜上,切線方程為x=2或4x-3y+4=0.答案x=2或4x-3y+4=0【遷移1】在例2中,若點(diǎn)P坐標(biāo)變?yōu)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)+1,\f(\r(2),2)+1)),其他條件不變,求切線方程.解易知點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)+1,\f(\r(2),2)+1))在圓C:(x-1)2+(y-1)2=1上,則kPC=eq\f(\f(\r(2),2)+1-1,\f(\r(2),2)+1-1)=1,∴所求切線方程的斜率為-1,則切線方程為y-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)+1))=-eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)+1)))),即x+y-eq\r(2)-2=0.【遷移2】在例2中,已知條件不變,設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)為A,B,求切點(diǎn)弦AB所在的直線方程.解由題意得,點(diǎn)P,A,C,B在以PC為直徑的圓上,此圓的方程為(x-2)(x-1)+(y-4)(y-1)=0,整理得x2+y2-3x-5y+6=0,①,圓C:(x-1)2+(y-1)2=1綻開得x2+y2-2x-2y+1=0,②由②-①得x+3y-5=0,即為直線AB的方程.【遷移3】(多填題)在例2中,已知條件不變,則切線PA的長(zhǎng)度為________,弦AB的長(zhǎng)度為________.解析如圖,在Rt△PAC中,|PA|=eq\r(|PC|2-|AC|2)=eq\r(10-1)=3.又∵eq\f(1,2)·|PA|·|AC|=eq\f(1,2)|PC|·eq\f(|AB|,2),解之得|AB|=eq\f(3\r(10),5).答案3eq\f(3\r(10),5)規(guī)律方法求過某點(diǎn)的圓的切線問題時(shí),應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,再求直線方程.若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn)),則過該點(diǎn)的切線只有一條;若點(diǎn)在圓外,則過該點(diǎn)的切線有兩條,此時(shí)留意斜率不存在的切線.【訓(xùn)練2】過直線y=2x+3上的點(diǎn)作圓C:x2+y2-4x+6y+12=0的切線,則切線長(zhǎng)的最小值為()A.eq\r(19) B.2eq\r(5) C.eq\r(21) D.eq\f(\r(55),5)解析圓的方程可化為(x-2)2+(y+3)2=1,要使切線長(zhǎng)最小,只需直線y=2x+3上的點(diǎn)和圓心之間的距離最短,此最小值即為圓心(2,-3)到直線y=2x+3的距離d,d=eq\f(|2×2+3+3|,\r(5))=2eq\r(5),故切線長(zhǎng)的最小值為eq\r(d2-r2)=eq\r(19).答案A考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系【例3】(2024·貴陽調(diào)研)已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切?(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?(3)當(dāng)m=45時(shí),求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).解因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,所以兩圓的圓心分別為(1,3),(5,6),半徑分別為eq\r(11),eq\r(61-m),(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),由eq\r((5-1)2+(6-3)2)=eq\r(11)+eq\r(61-m),得m=25+10eq\r(11).(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),因?yàn)槎▓A半徑eq\r(11)小于兩圓圓心之間的距離5,所以eq\r(61-m)-eq\r(11)=5,解得m=25-10eq\r(11).(3)由(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y-23=0.故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為2eq\r((\r(11))2-(\f(|4×1+3×3-23|,\r(42+32)))2)=2eq\r(7).規(guī)律方法1.推斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法,即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系,一般不采納代數(shù)法.2.若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,y2項(xiàng)得到.【訓(xùn)練3】已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2),則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離解析由題意得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-a)2=a2,圓心(0,a)到直線x+y=0的距離d=eq\f(a,\r(2)),所以2eq\r(a2-\f(a2,2))=2eq\r(2),解得a=2,圓M,圓N的圓心距|MN|=eq\r(2)小于兩圓半徑之和1+2,大于兩圓半徑之差1,故兩圓相交.答案BA級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.若直線l:x-y+m=0與圓C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是()A.[-eq\r(2),eq\r(2)] B.[-2eq\r(2),2eq\r(2)]C.[-eq\r(2)-1,eq\r(2)-1] D.[-2eq\r(2)-1,2eq\r(2)-1]解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4,圓心為(2,1),半徑為2,圓心到直線的距離d=eq\f(|2-1+m|,\r(2)),若直線與圓恒有公共點(diǎn),則eq\f(|2-1+m|,\r(2))≤2,解得-2eq\r(2)-1≤m≤2eq\r(2)-1,故選D.答案D2.(2024·沈陽質(zhì)檢)“k=eq\f(\r(3),3)”是“直線l:y=k(x+2)與圓x2+y2=1相切”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若直線l與圓相切,則有eq\f(|2k|,\r(k2+1))=1,解得k=±eq\f(\r(3),3),所以“k=eq\f(\r(3),3)”是“直線l:y=k(x+2)與圓x2+y2=1相切”的充分不必要條件,故選A.答案A3.(2024·廣州調(diào)研)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得的弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-8解析將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圓心為(-1,1),半徑r=eq\r(2-a),圓心到直線x+y+2=0的距離d=eq\f(|-1+1+2|,\r(2))=eq\r(2),故r2-d2=4,即2-a-2=4,所以a=-4.故選B.答案B4.圓x2+2x+y2+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)共有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析圓的方程可化為(x+1)2+(y+2)2=8,圓心(-1,-2)到直線的距離d=eq\f(|-1-2+1|,\r(2))=eq\r(2),半徑是2eq\r(2),結(jié)合圖形(圖略)可知有3個(gè)符合條件的點(diǎn).答案C5.過點(diǎn)P(1,-2)作圓C:(x-1)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則AB所在直線的方程為()A.y=-eq\f(\r(3),4) B.y=-eq\f(1,2)C.y=-eq\f(\r(3),2) D.y=-eq\f(1,4)解析由題意知,點(diǎn)P,A,C,B在以PC為直徑的圓上,易求得這個(gè)圓為(x-1)2+(y+1)2=1,此圓的方程與圓C的方程作差可得AB所在直線的方程為y=-eq\f(1,2).答案B二、填空題6.過點(diǎn)(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的長(zhǎng)為________.解析設(shè)P(3,1),圓心C(2,2),則|PC|=eq\r(2),半徑r=2.由題意知最短的弦過P(3,1)且與PC垂直,所以最短弦長(zhǎng)為2eq\r(22-(\r(2))2)=2eq\r(2).答案2eq\r(2)7.若A為圓C1:x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn),B為圓C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的動(dòng)點(diǎn),則線段AB長(zhǎng)度的最大值是________.解析圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1,圓C2:(x-3)2+(y+4)2=4的圓心為C2(3,-4),半徑r2=2,∴|C1C2|=5.又A為圓C1上的動(dòng)點(diǎn),B為圓C2上的動(dòng)點(diǎn),∴線段AB長(zhǎng)度的最大值是|C1C2|+r1+r2=5+1+2=8.答案88.(2024·石家莊質(zhì)檢)已知直線x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2相交于A,B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且△AOB為等腰直角三角形,則實(shí)數(shù)a的值為________.解析因?yàn)橹本€x-2y+a=0與圓O:x2+y2=2相交于A,B兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),且△AOB為等腰直角三角形,所以O(shè)到直線AB的距離為1,由點(diǎn)到直線的距離公式可得eq\f(|a|,\r(12+(-2)2))=1,所以a=±eq\r(5).答案eq\r(5)或-eq\r(5)三、解答題9.已知圓C:(x-1)2+(y+2)2=10,求滿意下列條件的圓的切線方程;(1)與直線l1:x+y-4=0平行;(2)與直線l2:x-2y+4=0垂直;(3)過切點(diǎn)A(4,-1).解(1)設(shè)切線方程為x+y+b=0,則eq\f(|1-2+b|,\r(2))=eq\r(10),∴b=1±2eq\r(5),∴切線方程為x+y+1±2eq\r(5)=0.(2)設(shè)切線方程為2x+y+m=0,則eq\f(|2-2+m|,\r(5))=eq\r(10),∴m=±5eq\r(2),∴切線方程為2x+y±5eq\r(2)=0.(3)∵kAC=eq\f(-2+1,1-4)=eq\f(1,3),∴過切點(diǎn)A(4,-1)的切線斜率為-3,∴過切點(diǎn)A(4,-1)的切線方程為y+1=-3(x-4),即3x+y-11=0.10.已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍;(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|.解(1)易知圓心坐標(biāo)為(2,3),半徑r=1,由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1,因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn),所以eq\f(|2k-3+1|,\r(1+k2))<1.解得eq\f(4-\r(7),3)<k<eq\f(4+\r(7),3).所以k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4-\r(7),3),\f(4+\r(7),3))).(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=eq\f(4(1+k),1+k2),x1x2=eq\f(7,1+k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=eq\f(4k(1+k),1+k2)+8.由題設(shè)可得eq\f(4k(1+k),1+k2)+8=12,解得k=1,所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.B級(jí)實(shí)力提升11.若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(4,0)到直線l的距離依次為1和2,則這樣的直線有()A.1條B.2條C.3條D.4條解析如圖,分別以A,B為圓心,1,2為半徑作圓則兩圓外切.由題意得,直線l是圓A的切線,A到l的距離為1,直線l也是圓B的切線,B到l的距離為2,所以直線l是兩圓的公切線,共3條(2條外公切線,1條內(nèi)公切線).答案C12.已知直線l:x+y-1=0截圓Ω:x2+y2=r2(r>0)所得的弦長(zhǎng)為eq\r(14),點(diǎn)M,N在圓Ω上,且直線l′:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0過定點(diǎn)P,若PM⊥PN,則|MN|的取值范圍為()A.[2-eq\r(2),2+eq\r(3)] B.[2-eq\r(2),2+eq\r(2)]C.[eq\r(6)-eq\r(2),eq\r(6)+eq\r(3)] D.[eq\r(6)-eq\r(2),eq\r(6)+eq\r(2)]解析由題意:2eq\r(r2-\f(1,2))=eq\r(14),解得r=2,因?yàn)橹本€l′:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0過定點(diǎn)P,故P(1,1);設(shè)MN的中點(diǎn)為Q(x,y),則|OM|2=|OQ|2+|MQ|2=|OQ|2+|PQ|2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化簡(jiǎn)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))eq\s\up12(2)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y-\f(1,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(3,2),所以點(diǎn)Q的軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(1,2)))為圓心,eq\f(\r(6),2)為半徑的圓,所以|PQ|的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)-\r(2),2),\f(\r(6)+\r(2),2))),|MN|的取值范圍為[eq\r(6)-eq\r(2),eq\r(6)+eq\r(2)].故選D.答案D13.(2024·長(zhǎng)沙調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在點(diǎn)P,且點(diǎn)P關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,則
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