2024年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題卷及答案解析

試題PAGE1試題泰安市2024年年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)，均記零分）1.的相反數(shù)是（）A. B. C. D.2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.3.下面圖形中，中心對(duì)稱圖形個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4.據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計(jì)接待進(jìn)山游客超860萬(wàn)人次，同比增長(zhǎng)301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數(shù)據(jù)860萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.5.如圖，直線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.6.如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.7.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.8.我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問價(jià)”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個(gè)，又問各該幾個(gè)錢？若設(shè)買甜果x個(gè)，買苦果y個(gè)，列出符合題意二元一次方程組：．根據(jù)已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應(yīng)為（）A.甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢 B.甜果七個(gè)四文錢，苦果九個(gè)十一文C.甜果十一個(gè)九文，苦果四個(gè)七文錢 D.甜果四個(gè)七文錢，苦果十一個(gè)九文9.如圖，中，，分別以頂點(diǎn)A，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，若射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)10.兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.11.如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)12.如圖，菱形中，，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13.單項(xiàng)式的次數(shù)是________．14.某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動(dòng)．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小潁準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．15.在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度，他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無(wú)人機(jī)，如圖，無(wú)人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸A處的俯角為，測(cè)得瞭望臺(tái)頂端處的俯角為，已知瞭望臺(tái)高12米（圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）16.如圖，小明的父親想用長(zhǎng)為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的菜園，已知房屋外墻長(zhǎng)40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．

17.如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為__________．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第__________個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟）19.（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．20.某超市打算購(gòu)進(jìn)一批蘋果，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果中各隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：mm），并制作統(tǒng)計(jì)圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計(jì)量供應(yīng)商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑方差越小，蘋果的大小越整齊，據(jù)此判斷，__________供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規(guī)定直徑（含）以上蘋果為大果，超市打算購(gòu)進(jìn)甲供應(yīng)商的蘋果2000個(gè)，其中，大果約有多少個(gè)？21.直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式；（2）若，請(qǐng)直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，求的面積．22.隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共名工人．甲組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？23.綜合與實(shí)踐為了研究折紙過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)，與相交于點(diǎn)．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在對(duì)角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結(jié)，，，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點(diǎn)恰好是對(duì)角線的一個(gè)“黃金分劇點(diǎn)”，即．請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．24.如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連接，，取中點(diǎn)，連接．（1）求證：，；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請(qǐng)直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．25.如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（3）在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．泰安市2024年年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)，均記零分）1.的相反數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：的相反數(shù)是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的概念以及求解方法是解題的關(guān)鍵．2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則、平方差公式、積的乘方進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并同類項(xiàng)，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查合并同類項(xiàng)法則、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則、平方差公式、積的乘方，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3.下面圖形中，中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各圖形分析判斷即可求解．【詳解】解：第一個(gè)是中心對(duì)稱圖形，符合題意；第二個(gè)是是中心對(duì)稱圖形，符合題意；第三個(gè)是是中心對(duì)稱圖形，符合題意；第四個(gè)不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；所以符合題意的有3個(gè)．故選：C．4.據(jù)泰山景區(qū)2024年1月4日消息，2023年泰山景區(qū)累計(jì)接待進(jìn)山游客超860萬(wàn)人次，同比增長(zhǎng)301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數(shù)據(jù)860萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解題的關(guān)鍵．直接運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法的定義解答即可．【詳解】解：860萬(wàn)．故選：D．5.如圖，直線，等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．6.如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，平分，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，先根據(jù)角平分線的定義得到根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵是的直徑，，∴，，則，∴，故選：A．7.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是，據(jù)此列不等式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得．故選B．8.我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問價(jià)”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個(gè)，又問各該幾個(gè)錢？若設(shè)買甜果x個(gè)，買苦果y個(gè)，列出符合題意的二元一次方程組：．根據(jù)已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應(yīng)為（）A.甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢 B.甜果七個(gè)四文錢，苦果九個(gè)十一文C.甜果十一個(gè)九文，苦果四個(gè)七文錢 D.甜果四個(gè)七文錢，苦果十一個(gè)九文【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可得甜果苦果買一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，【詳解】解：根據(jù)，可得甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，故選A【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)方程組找出等量關(guān)系．9.如圖，中，，分別以頂點(diǎn)A，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，若射線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖、角平分線的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，讀懂圖象信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．由作圖可知垂直平分線段、平分，進(jìn)而證明可判定①；再說(shuō)明可得垂直平分線段可判定②；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得可判定③，根據(jù)三角形的面積公式即可判定④．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，∴，∴，由作圖可知平分，∴，∵，∴，故①正確，∴，∵，∴，∴垂直平分線段，故②正確，∵，∴，故③正確，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：D．10.兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運(yùn)用、三角形的面積公式的運(yùn)用等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握扇形的面積公式是關(guān)鍵．如圖：連接，作于點(diǎn)B，得三角形是等邊三角形，求出，再根據(jù)，即可解答．【詳解】解：如圖：連接，作于點(diǎn)B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．11.如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴，∴,∴，故①正確；∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2、3之間，∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在、0之間，∴方程一定有一個(gè)根在和0之間，故②錯(cuò)誤；∵拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在，0之間，∴，∵圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，∴，∴，∴．故④錯(cuò)誤．綜上，①③正確，共2個(gè)．故選：B．12.如圖，菱形中，，點(diǎn)是邊上點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為角的直角三角形，連結(jié)．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】如圖：過(guò)E作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)I，則點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓，從而得到，因?yàn)?，所以求出的值即可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)E作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)I，∵，∴點(diǎn)E、M、F、G四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得4分）13.單項(xiàng)式的次數(shù)是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：?jiǎn)雾?xiàng)式中，的指數(shù)是，的指數(shù)是，∴此單項(xiàng)式的次數(shù)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式的次數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．理解和掌握單項(xiàng)式次數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14.某學(xué)校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動(dòng)．小明和小穎去學(xué)校圖書室借閱書籍，小明準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機(jī)選擇一本，小潁準(zhǔn)備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機(jī)選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識(shí)，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．先列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：

ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結(jié)果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結(jié)果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．15.在綜合實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大汶河某河段的寬度，他們?cè)诤影兑粋?cè)的瞭望臺(tái)上放飛一只無(wú)人機(jī)，如圖，無(wú)人機(jī)在河上方距水面高60米的點(diǎn)處測(cè)得瞭望臺(tái)正對(duì)岸A處的俯角為，測(cè)得瞭望臺(tái)頂端處的俯角為，已知瞭望臺(tái)高12米（圖中點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】74【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角、俯角問題等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，則，再通過(guò)解直角三角形求得和，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：由題知,∴,在，∴,∴,在中，,∴,∴．故答案為：74．16.如圖，小明的父親想用長(zhǎng)為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個(gè)矩形的菜園，已知房屋外墻長(zhǎng)40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．

【答案】450【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為米，又墻長(zhǎng)為40米，從而可得，故，又菜園的面積，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：由題意，設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米，則平行于墻的邊長(zhǎng)為米，又墻長(zhǎng)40米，∴．∴．菜園的面積，∴當(dāng)時(shí)，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長(zhǎng)為15米時(shí)，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．17.如圖，是的直徑，是的切線，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．先證可得從而得到，求得，再運(yùn)用勾股定理可得，再根據(jù)圓周角定理以及角的和差可得，最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”．按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第__________個(gè)“小屋子”中圖形“○”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．【答案】12【解析】【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)“〇”和“●”的個(gè)數(shù)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再利用規(guī)律列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：由所給圖形可知，第1個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第2個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第3個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；第4個(gè)“小屋子”中圖形“〇”個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；…，所以第n個(gè)“小屋子”中圖形“〇”的個(gè)數(shù)為：，“●”的個(gè)數(shù)為：；由題知，解得，又n為正整數(shù)，則，即第12個(gè)“小屋子”中圖形“〇”個(gè)數(shù)是圖形“●”個(gè)數(shù)的3倍．故答案為：12．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或推演步驟）19.（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：．【答案】（1）7；（2）【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和分式的化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)運(yùn)算涉及特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪，二次根式和絕對(duì)值，熟練掌握相關(guān)的法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用特殊角的三角函數(shù)，負(fù)指數(shù)冪，二次根式和絕對(duì)值進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算；（2）利用分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：（1）；；（2）．20.某超市打算購(gòu)進(jìn)一批蘋果，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果中各隨機(jī)抽取10個(gè)，測(cè)得它們的直徑（單位：mm），并制作統(tǒng)計(jì)圖如下：根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）統(tǒng)計(jì)量供應(yīng)商平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據(jù)此判斷，__________供應(yīng)商供應(yīng)的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規(guī)定直徑（含）以上的蘋果為大果，超市打算購(gòu)進(jìn)甲供應(yīng)商的蘋果2000個(gè)，其中，大果約有多少個(gè)？【答案】（1）80，，（2）甲（3）600【解析】【分析】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差以及用樣本估計(jì)總體等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）分別根據(jù)算術(shù)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)方差的意義解答即可；（3）利用樣本估計(jì)總體，即用2000乘樣本中直徑（含）以上所占比例即可．【小問1詳解】解：由題意得：；把乙的10個(gè)蘋果的直徑從小到大排列，排在中間的兩個(gè)數(shù)分別是79，80，故中位數(shù)；甲10個(gè)蘋果的直徑中，83出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)．故答案：80，，．【小問2詳解】解：甲的方差為：；乙的方差為：，因?yàn)?，所以甲供?yīng)商供應(yīng)的蘋果大小更為整齊．故答案為：甲．【小問3詳解】解：（個(gè)）．答：大果約有600個(gè)．21.直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求直線的表達(dá)式；（2）若，請(qǐng)直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，求的面積．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、根據(jù)函數(shù)圖像求不等式解集、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．（1）分別將點(diǎn)、點(diǎn)代入，求出m、n的值，再分別代入中即可解答；

（2）根據(jù)函數(shù)圖像確定不等式的解集即可；

（3）先把代入中，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【小問1詳解】解：分別將點(diǎn)、點(diǎn)代入中，可得：，，解得：，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，把A點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)分別代入,可得，解得：，一次函數(shù)表達(dá)式為．【小問2詳解】解：∵直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，∴由圖象可知，當(dāng)時(shí)，或．【小問3詳解】解：把時(shí)代入中，得，點(diǎn)坐標(biāo)為，即，．22.隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國(guó)各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個(gè)組共名工人．甲組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工件農(nóng)產(chǎn)品，已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？【答案】甲組有名工人，乙組有名工人【解析】【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)甲組有名工人，則乙組有名工人．根據(jù)題意得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：設(shè)甲組有名工人，則乙組有名工人．根據(jù)題意得：，解答：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，．答：甲組有名工人，乙組有名工人．23.綜合與實(shí)踐為了研究折紙過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng)．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結(jié)，與相交于點(diǎn)．同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．【拓展延伸】（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對(duì)角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都落在對(duì)角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結(jié)，，，同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若，那么點(diǎn)恰好是對(duì)角線的一個(gè)“黃金分劇點(diǎn)”，即．請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由．【答案】（1）正確，理由見解析；（2）正確，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了矩形性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）如圖：作于點(diǎn)M，再證可得，再證明四邊形是矩形可得即可證明結(jié)論；（2）利用平行線分線段比例可得，再說(shuō)明，進(jìn)而得到；再由由平行四邊形及折疊可得，，則即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）正確，理由如下，作于點(diǎn)，，，，，，，又，．∴．是矩形，，四邊形是矩形．，．（2）同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)說(shuō)法正確，理由如下，，，，由折疊知，，，，由平行四邊形及折疊知，，，，即點(diǎn)為的一個(gè)黃金分割點(diǎn)．24.如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連接，，取中點(diǎn)，連接．（1）求證：，；（2）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2