第04講-數(shù)列求和(高頻精講)(原卷版)

第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：倒序相加求和 3高頻考點(diǎn)二：分組（并項(xiàng)）求和 5高頻考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消求和 7高頻考點(diǎn)四：錯(cuò)位相減求和 10高頻考點(diǎn)五：數(shù)列求和的其他方法 13第四部分：數(shù)學(xué)文化題 15第五部分：高考新題型（劣構(gòu)性試題） 17第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背1.公式法(1)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式;(2)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式2.裂項(xiàng)相消求和法裂項(xiàng)相消求和法就是把數(shù)列的各項(xiàng)變?yōu)閮身?xiàng)之差,使得相加求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,前項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前項(xiàng)和.①②③④⑤3.錯(cuò)位相減求和法錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用此法來(lái)求.倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中、中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯(cuò)位相減法．4.分組求和法如果一個(gè)數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.5.倒序相加求和法即如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中，距首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和.第二部分：高考真題回歸1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．2．（2022·全國(guó)（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．3．（2021·全國(guó)（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：倒序相加求和典型例題例題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，，則的前項(xiàng)和為_(kāi)_____.例題2．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個(gè)階代數(shù)方程必有個(gè)復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則__________.例題3．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則______；設(shè)數(shù)列滿足，則此數(shù)列的前2023項(xiàng)的和為_(kāi)_____.例題4．（2023春·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱()為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)．都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，已知函數(shù)(1)求出的對(duì)稱中心；(2)求的值．練透核心考點(diǎn)1．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則___．2．（2023春·山東淄博·高二沂源縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎谜n本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得______．3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前16項(xiàng)的和為_(kāi)_____.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計(jì)算的值．(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．高頻考點(diǎn)二：分組（并項(xiàng)）求和典型例題例題1．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________．例題2．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.例題3．（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求例題4．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．練透核心考點(diǎn)1．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.2．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高二長(zhǎng)春十一高校考期中）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為.3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎?xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項(xiàng)，按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列，求的前100項(xiàng)和.高頻考點(diǎn)三：裂項(xiàng)相消求和典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬(wàn)物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙粒或小石子，并將它們排列成各種形狀進(jìn)行研究.形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點(diǎn)陣所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，是畢哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一.如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個(gè)數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列，四邊形數(shù)組成數(shù)列，記，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？计谥校倌嘲嘀矘湫〗M今年計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)等于_______；②______例題3．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和滿足，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.例題5．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，______.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前3項(xiàng)和為6.從以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前6項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.練透核心考點(diǎn)1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.(1)求，及的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求的最小值.4．（2023·遼寧·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的公比，若，且，，分別是等差數(shù)列第1，3，5項(xiàng)．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．高頻考點(diǎn)四：錯(cuò)位相減求和典型例題例題1．（2023春·河南·高二襄城高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的前100項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．例題3．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且有，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，設(shè)的前項(xiàng)的和為，求的值.例題4．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題5．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）在①；②這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充下面橫線處，并解答下列問(wèn)題.已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，數(shù)列的前項(xiàng)和是，___________.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，滿足：，若是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)的和是（

）A． B．C． D．2．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列和數(shù)列，，.設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和_________.3．（2023·廣東深圳·校考一模）已知函數(shù)的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證為等比數(shù)列，并求．(2)對(duì)于實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求的值．4．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列和，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.5．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足（為常數(shù)）.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.高頻考點(diǎn)五：數(shù)列求和的其他方法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．4956 B．4959 C．4962 D．4965例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．例題3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.練透核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，___________，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.①；②；③.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在①，；②公差為1，且成等比數(shù)列；③，，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.問(wèn)題：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足___________(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，求.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖中的三角形稱為謝爾賓斯基三角形，每個(gè)圖都是取前一個(gè)圖中的每個(gè)黑色三角形三邊的中點(diǎn)將其分成四個(gè)小三角形，并將中間三角形變?yōu)榘咨?，白色三角形不?若第一個(gè)三角形的面積為1，第n個(gè)圖中白色部分的面積記為，則______.著名的洛卡斯數(shù)列滿足，，，中所有既是偶數(shù)，又是3的倍數(shù)的項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，該數(shù)列的第n項(xiàng)為，則數(shù)列的前n項(xiàng)和______.

2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù).用一點(diǎn)（或一個(gè)小石子）代表1，兩點(diǎn)（或兩個(gè)小石子）代表2，三點(diǎn)（或三個(gè)小石子）代表3，…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）.如前四個(gè)四棱錐數(shù)分別為、、、，第個(gè)四棱錐數(shù)為.中國(guó)古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，若一個(gè)“三角垛”共有層，則第層有____個(gè)球，這個(gè)“三角垛”共有______個(gè)球.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形.

(1)求出；(2)歸納出與的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求的表達(dá)式；(3)求證：.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家．他在自己的著作《算盤書》中記載著這樣一個(gè)數(shù)列：其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，這就是著名的斐波那契數(shù)列．那么是斐波那契數(shù)列中的第______項(xiàng)．5．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期中）如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME—7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知為直角頂點(diǎn)，設(shè)，，，…，構(gòu)成數(shù)列，令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則___________．第五部分：高考新題型（劣構(gòu)性試題）1．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在①，②，③這三