第七章 時間序列模型

第七章時間序列模型學(xué)習(xí)目標(biāo)：熟悉隨機過程及時間序列的概念與分類。掌握ARIMA(p,d,q)

(P,D,Q)S模型的識別、參數(shù)估計、診斷與預(yù)測方法。掌握如何識別時間序列的單整、協(xié)整檢驗以及誤差修正模型的建立。掌握基于VAR模型分析的因果檢驗、脈沖響應(yīng)分析、方差分解、協(xié)整檢驗與誤差修正模型的建立。第七章時間序列模型第一節(jié)ARMA模型中的基本概念第二節(jié)隨機時間序列分析模型第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗第四節(jié)VAR模型第一節(jié)ARMA模型中的基本概念一、隨機過程與時間序列（一）隨機過程隨機過程是以時間為標(biāo)號的一組隨機變量，其中為樣本空間，而表示時間指標(biāo)集合。顯然對于固定的，就是一個隨機變量，對于固定的，是時間的函數(shù)，稱為樣本的函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)，所有可能的實現(xiàn)構(gòu)成了時間序列。

第一節(jié)ARMA模型中的基本概念隨機過程的概率結(jié)構(gòu)通常被其聯(lián)合分布所決定，稱為n維聯(lián)合分布，定義其均值函數(shù)、方差函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)如下：顯然，這幾個矩都是時間t的函數(shù)，因而是未知的，如果不加以限制，則這樣的參數(shù)就非常多，然而對每個固定時刻，我們只能得到一個實現(xiàn)值，因此必須對隨機過程進行某種限制，例如假設(shè)其為平穩(wěn)的隨機過程或者為近似獨立過程等。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念

（二）平穩(wěn)隨機過程一個隨機過程被稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程，如果其聯(lián)合分布滿足：若均值函數(shù)、方差函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)滿足：即期望和方差與時間無關(guān)，而協(xié)方差只與時間間隔有關(guān)，弱平穩(wěn)過程也稱為二階矩平穩(wěn)過程。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念

例7-1白噪聲過程(whitenoise)，若隨機過程滿足：該過程稱為白噪聲過程，記為。由于具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零，由定義，一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。圖7-1是一個白噪聲隨機數(shù)分布圖。

第一節(jié)ARMA模型中的基本概念圖7-1白噪聲隨機數(shù)據(jù)分布圖第一節(jié)ARMA模型中的基本概念例7-2隨機游走過程(randomwalk)，若隨機過程滿足其中。則顯然，隨機游走過程不滿足弱平穩(wěn)條件，因此是非弱平穩(wěn)過程。然而，對X取一階差分（firstdifference）：，由于是一個白噪聲，則序列是平穩(wěn)的。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念二、理論自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)（一）自協(xié)方差與自相關(guān)函數(shù)

對于一個平穩(wěn)過程來說，由于由于是隨機變量與其自身滯后期的協(xié)方差，因此也稱為自協(xié)方差。同時該自協(xié)方差是時間間隔的函數(shù)，因此也稱為自協(xié)方差函數(shù)。定義自相關(guān)函數(shù)為。顯然有，從而有，。因此我們通常只給出對應(yīng)的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)即可。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念（二）偏自相關(guān)函數(shù)

上述的是度量隨機變量與之間的相關(guān)程度，這種相關(guān)度量可能并不是“純凈的”，因為它可能受到隨機變量的影響，我們需要消除這些隨機變量的影響，由此計算的相關(guān)系數(shù)稱為隨機變量之間的偏自相關(guān)函數(shù)，記為。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念三、樣本自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)（一）樣本自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)上述的自協(xié)方差、自相關(guān)函數(shù)以及偏自相關(guān)函數(shù)一般是未知的，需要通過樣本來估計，假設(shè)我們有一個樣本為，為此定義如下幾個估計量：樣本均值：第一節(jié)ARMA模型中的基本概念樣本自協(xié)方差函數(shù)：

或者樣本自相關(guān)函數(shù)：第一節(jié)ARMA模型中的基本概念（二）樣本偏自相關(guān)函數(shù)

當(dāng)我們獲得樣本自相關(guān)函數(shù)以后以后，根據(jù)Yule-Walker方程式可以得到樣本偏自相關(guān)函數(shù)。Quenouille（1949）指出，在原過程為白噪聲時，樣本偏自相關(guān)系數(shù)也近似服從，從而如果樣本偏自相關(guān)系數(shù)落在之內(nèi)，則我們認(rèn)為理論自相關(guān)函數(shù)為零。在以后的模型識別中，我們將利用這個結(jié)論識別模型的種類。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念四、ARMA模型（一）滯后算子與差分算子稱符號滿足為滯后算子，而稱符號滿足為差分算子，顯然一次差分運算有。有時我們需要進行高階差分，特別是在季節(jié)性數(shù)據(jù)分析中，例如一個階差分可以表示為。第一節(jié)ARMA模型中的基本概念（二）AR(p)模型如果隨機過程的生成滿足：其中，，稱為階自回歸過程，簡記為AR(p)。用滯后算子表示：第一節(jié)ARMA模型中的基本概念記，則AR(p)可以表示為。如果該過程是平穩(wěn)的，則有，從而有，重新帶入上述表達式有：第一節(jié)ARMA模型中的基本概念令，則，且有：（三）MA(q)模型如果隨機過程的生成表達式滿足：第一節(jié)ARMA模型中的基本概念其中，，稱為階移動平均過程，簡記為MA(q)。如果引入滯后算子，則MA(q)可以表示為其中。一般來說，平穩(wěn)過程都可以由上述移動平均過程來加以表示，這就是Wold定理所闡述的內(nèi)容，該定理表明：任何協(xié)方差平穩(wěn)過程，都可以被表示為：第一節(jié)ARMA模型中的基本概念其中表示的期望。表示的線性確定性成分，如周期性成分、時間t的多項式和指數(shù)形式等。（四）ARMA模型更為一般的模型是把上述兩種模型合并在一起，即隨機過程的生成表達式滿足：第一節(jié)ARMA模型中的基本概念其中、，表示白噪聲序列，稱為自回歸移動平均過程，簡記為ARMA(p,q)。用滯后算子表示為，其中和同上，且沒有公因子。第二節(jié)隨機時間序列分析模型一、時間序列平穩(wěn)性識別

時間序列平穩(wěn)性的判斷可以利用圖示法、自相關(guān)函數(shù)和單位根檢驗方法。一般來說，一個平穩(wěn)時間序列的時序圖應(yīng)該圍繞某個常數(shù)上下波動，不能具有某種趨勢，如果某個時序圖呈現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢，則該序列是非平穩(wěn)的。從自相關(guān)函數(shù)圖來說，如果一個時間序列是平穩(wěn)的，則一定呈現(xiàn)出短期記憶性質(zhì)，或者說其自相關(guān)函數(shù)是迅速收尾的，如果表現(xiàn)出緩慢收斂或者呈現(xiàn)出一個長長的尾巴，則表明其是非平穩(wěn)的。對于非平穩(wěn)時間序列，其偏自相關(guān)函數(shù)往往具備一階截尾特征。第二節(jié)隨機時間序列分析模型對于非平穩(wěn)序列，通常的處理方法是對其進行差分，使其平穩(wěn)。對于平穩(wěn)的時間序列，如果確有建模的必要，我們應(yīng)該建立合適的模型，為此下面我們介紹各類模型的特點與識別。第二節(jié)隨機時間序列分析模型二、ARMA模型識別（一）AR(p)模型的識別設(shè)平穩(wěn)且均值為0的AR(p)模型的表達式為或者記為。如果該模型可以表示成Wold形式，則一定是平穩(wěn)的，其條件是的根都在單位圓以外，此時AR(p)模型可以表示為：（7.2.1）第二節(jié)隨機時間序列分析模型其中為格林(Green)函數(shù)，為的根的倒數(shù)，位于單位圓內(nèi)。我們稱這種表示為時間序列的傳遞表示形式

（7.2.2）在式（7.2.1）兩邊同乘以，取期望并除以得到：（7.2.3）第二節(jié)隨機時間序列分析模型其中。通過克萊姆法則可以求得初始的，當(dāng)時有（7.2.4）同樣有。當(dāng)為平穩(wěn)模型時，自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減方式（實根）或者是正弦衰減方式（復(fù)根）或者兩者的疊加衰減方式（實根和復(fù)根），即當(dāng)有。我們稱其自相關(guān)函數(shù)具有拖尾性。第二節(jié)隨機時間序列分析模型例7-4求AR(2)

模型的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)式（7.2.3）可以得到。對于超過2階的自相關(guān)函數(shù)，可以使用差分方程理論得到：第二節(jié)隨機時間序列分析模型其中、可以由和來確定。另外根據(jù)平穩(wěn)性要求，容易得到AR(2)

模型平穩(wěn)時系數(shù)應(yīng)該滿足的充要條件為： 第二節(jié)隨機時間序列分析模型2、AR(p)模型的偏自相關(guān)函數(shù)與識別先考察AR(1)模型的偏自相關(guān)函數(shù)，根據(jù)式（7.1.1）有：第二節(jié)隨機時間序列分析模型從而得到

類似有。第二節(jié)隨機時間序列分析模型不難發(fā)現(xiàn)，對于AR(1)模型來說，在計算時，發(fā)現(xiàn)其分子行列式中第二列是第一列的倍數(shù)，因而為0，稱之為偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性。實際上，理論上已經(jīng)證明：對于一般的AR(p)模型而言，其偏自相關(guān)函數(shù)具有p步截尾性。（7.2.7）第二節(jié)隨機時間序列分析模型

根據(jù)以上分析，平穩(wěn)AR(p)模型的理論自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)衰減形式靠近0，但始終不為0，呈現(xiàn)拖尾特征，而其理論偏自相關(guān)函數(shù)在p步以后為0，呈現(xiàn)截尾特征，這就是識別AR(p)模型的理論依據(jù)所在。當(dāng)然在實際識別時，我們通常依據(jù)樣本偏自相關(guān)函數(shù)來進行，其樣本偏自相關(guān)函數(shù)不會呈現(xiàn)出明顯的截尾特征，因此需要使用前面介紹的理論檢驗在p步以后的偏自相關(guān)函數(shù)是否為0。第二節(jié)隨機時間序列分析模型（二）MA(q)模型的識別1、MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)對于MA(q)模型而言，兩邊同乘以，并取期望得到：（7.2.8）第二節(jié)隨機時間序列分析模型另外有，因此對于MA(q)模型來說，始終滿足平穩(wěn)性要求，這點也可以從Wold定理得到。再根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義有：（7.2.9）因此可以得到，對于MA(q)模型來說，其自相關(guān)函數(shù)在q步以后為0，稱為截尾性。第二節(jié)隨機時間序列分析模型2、MA(q)模型的可逆性、偏自相關(guān)函數(shù)與識別與AR(p)模型平穩(wěn)性相對應(yīng)的是MA(q)模型的可逆性。所謂MA(q)模型的可逆性是指能夠?qū)A(q)模型表示成AR(∞)形式，為了看清楚這個問題，我們首先看MA(1)模型的可逆性條件。（7.2.10）第二節(jié)隨機時間序列分析模型上式成立的條件是，或者說的根在單位圓之外。稱為逆函數(shù)。類似地得到MA(q)模型的可逆性條件是的根在單位圓之外，記這些根的倒數(shù)分別為，則有：（7.2.11）其中。我們稱這種表示方式為時間序列的逆轉(zhuǎn)形式。第二節(jié)隨機時間序列分析模型既然一個可逆的MA(q)模型可以表示為AR(∞)形式，因此根據(jù)AR(p)模型偏自相關(guān)函數(shù)的特點，MA(q)模型的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。例如計算表明MA(1)的偏自相關(guān)函數(shù)為：（7.2.12）第二節(jié)隨機時間序列分析模型由上介紹可知，MA(q)模型的理論自相關(guān)函數(shù)在q步以后呈現(xiàn)截尾性質(zhì)，而理論偏自相關(guān)函數(shù)呈現(xiàn)拖尾性質(zhì)，因此可以根據(jù)這點來識別序列是否是MA(q)模型。當(dāng)然在利用樣本資料進行識別時，還需要利用前面的理論對樣本自相關(guān)函數(shù)是否在某步以后截尾進行檢驗。第二節(jié)隨機時間序列分析模型（三）ARMA(p,q)模型的識別對于平穩(wěn)且可逆的ARMA（p,q）模型來說，可以表示為：

或（7.2.13）前者表明其自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，而后者表明其偏自相關(guān)函數(shù)也是拖尾的，雖然可以利用這點來區(qū)分AR（p）模型和MA（q）模型，但對于其階數(shù)p、q卻難以確定，通常做法是從低階到高階進行嘗試。第二節(jié)隨機時間序列分析模型三、ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計

ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計有多種方法，主要有矩估計、條件極大似然估計和精確極大似然估計三種方法。（一）AR(p)模型的矩估計對于AR(p)模型，在方程兩邊同乘以，有：第二節(jié)隨機時間序列分析模型（7.2.14）在方程兩邊利用樣本數(shù)據(jù)得到樣本自相關(guān)函數(shù)，根據(jù)克萊姆法則，從而可以得到。另外還有第二節(jié)隨機時間序列分析模型（二）MA(q)模型的矩估計在前面的分析中，我們已經(jīng)得到了MA(q)模型的樣本自協(xié)方差函數(shù)，利用樣本資料得到其估計，從而有：（7.2.15）由q+1個等式可以解出q+1個未知參數(shù)以及，由于為非線性方程組，故一般可用迭代法求解。但對于低階的模型可以直接求解。第二節(jié)隨機時間序列分析模型（三）ARMA(p,q)模型的矩估計在ARMA（p，q）模型中共有個p+q+1待估參數(shù)，其估計一般分為兩個步驟，首先利用類似（7.2.14）的式子得到的估計，然后構(gòu)造新的序列，再利用類似（7.2.15）的式子得到，的估計。

第二節(jié)隨機時間序列分析模型四、模型診斷（一）殘差白噪聲檢驗當(dāng)我們完成模型識別定階和參數(shù)估計以后，需要對模型擬合的結(jié)果進行必要的檢驗。第一個檢驗就是殘差是否為白噪聲，檢驗的原假設(shè)是直到滯后期不存在自相關(guān)，即原假設(shè)和備擇假設(shè)分別為：第二節(jié)隨機時間序列分析模型檢驗統(tǒng)計量公式為：（7.2.17）如果拒絕原假設(shè)，表明殘差中還含有待提取信息，應(yīng)該重新擬合模型，否則認(rèn)為該模型擬合充分，作為候選模型進入下一輪檢驗。第二節(jié)隨機時間序列分析模型（二）參數(shù)顯著性檢驗

參數(shù)顯著性檢驗，就是檢驗?zāi)Ｐ椭忻恳粋€未知參數(shù)是否顯著非零，通過剔除一些不顯著的參數(shù)，從而使得模型變得更為簡潔。

第二節(jié)隨機時間序列分析模型（三）模型的定階在建立模型時，有時候會有好幾個模型都通過上述的檢驗，這時需要采用信息量準(zhǔn)則來確定模型的最優(yōu)階數(shù)，可以使用的信息量準(zhǔn)則有Akaike（1973）提出的AIC指標(biāo)，計算公式為：（7.2.18）第二節(jié)隨機時間序列分析模型其中，如果模型中不含有均值項，如果含有均值項則有。另一個指標(biāo)為BIC或稱為SBC準(zhǔn)則，計算公式為：（7.2.19）第二節(jié)隨機時間序列分析模型五、模型預(yù)測（一）預(yù)測的一般公式與區(qū)間估計最小均方差預(yù)測準(zhǔn)則（MSE）：

假設(shè)我們現(xiàn)在有直到時刻的信息，

記在時刻向前預(yù)測步的結(jié)果為而其真實值為，預(yù)測誤差記為，則由數(shù)理統(tǒng)計知識得到，在最小均方差預(yù)測準(zhǔn)則下有：（7.2.20）第二節(jié)隨機時間序列分析模型因此，當(dāng)一個平穩(wěn)模型可以表示為如下傳遞形式時：則有：（7.2.21）（7.2.22）第二節(jié)隨機時間序列分析模型如果進一步假設(shè)時，則有：從而得到區(qū)間預(yù)測估計公式為：（7.2.25）（7.2.24）第二節(jié)隨機時間序列分析模型（二）三種模型的點預(yù)測與區(qū)間估計1、AR(p)模型的預(yù)測假設(shè)AR(p)模型為，則有：其中第二節(jié)隨機時間序列分析模型例7-5假設(shè)某個超市的月銷售額服從AR（2）模型（單位：萬元/月）：再假設(shè)第一季度三個月的銷售量為101萬元、96萬元、97.2萬元，試根據(jù)這些信息估計第二季度三個月銷售量的點估計與95%的置信區(qū)間。根據(jù)題意，目前時刻為，且，需要預(yù)測，則根據(jù)預(yù)測公式有：第二節(jié)隨機時間序列分析模型為了得到區(qū)間估計結(jié)果，需要計算格林函數(shù)，根據(jù)式（7.2.2）有：根據(jù)式（7.2.24）有：

把上述結(jié)果帶入?yún)^(qū)間估計公式得到第二季度三個月份銷售額95%的區(qū)間估計結(jié)果分別為：第二節(jié)隨機時間序列分析模型2、MA(q)模型的預(yù)測假設(shè)MA(q)模型為，則有：從而當(dāng)預(yù)測步長時，預(yù)測值始終為期望，預(yù)測誤差的方差都相同。第二節(jié)隨機時間序列分析模型3、ARMA(p,q)模型的預(yù)測假設(shè)ARMA(p,q)模型為：則該模型有兩個部分構(gòu)成，預(yù)測公式為：第二節(jié)隨機時間序列分析模型其中：第二節(jié)隨機時間序列分析模型六、非平穩(wěn)時間序列建模（一）ARIMA（p,d,q）模型建立實際時間序列往往是非平穩(wěn)的，對于不含季節(jié)性因素的非平穩(wěn)時間序列而言，可以通過取差分形式來平穩(wěn)化，然后對差分后序列采用前面介紹的方法進行平穩(wěn)性檢驗，一般來說，差分次數(shù)不會超過2。一旦獲得平穩(wěn)時間序列，則可以使用ARMA模型的方法來建立模型，這樣的模型稱為：第二節(jié)隨機時間序列分析模型或簡記為：其中為實現(xiàn)序列平穩(wěn)而需要進行的普通差分次數(shù)，、的含義同前。第二節(jié)隨機時間序列分析模型（二）模型建立

在實踐中，有些時間序列呈現(xiàn)出季節(jié)變動模式，判斷季節(jié)性非平穩(wěn)的方法和普通非平穩(wěn)判斷方法相同，也有三種，本節(jié)只考慮圖形判別和樣本自相關(guān)函數(shù)判斷方法，其判斷方法與普通非平穩(wěn)判斷方法相同。

第二節(jié)隨機時間序列分析模型如果時間序列存在季節(jié)性非平穩(wěn)，也可以通過季節(jié)性差分方法來得到平穩(wěn)序列。

假設(shè)某個時間序列通過兩種類型差分平穩(wěn)化后，我們可以對非季節(jié)性部分建立普通的模型，而對季節(jié)性部分建立模型，因此我們有更為一般的模型如下：

第二節(jié)隨機時間序列分析模型這就是所謂的模型，其中有：分別對應(yīng)季節(jié)性的AR(P)和MA(Q)部分，、與以前的相同。第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗

本節(jié)在單位根檢驗理論框架下繼續(xù)討論非平穩(wěn)時間序列的檢驗方法，并分析非平穩(wěn)時間序列的組合所呈現(xiàn)出來的特征及其檢驗理論，即單整檢驗和協(xié)整檢驗理論。第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗一、單整與維納過程（一）時間序列的單整性

如果一個時間序列需要經(jīng)過次差分操作才能使之變成平穩(wěn)序列，則稱該序列為階單整的，記為，實踐中時間序列的一般不超過2次，顯然序列即為平穩(wěn)時間序列。

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（二）維納過程如果隨機過程滿足下列條件就稱它是一個標(biāo)準(zhǔn)維納（Wiener）過程（布朗運動過程）：

（1）（2）對于每個

（3）對于每個

（4）對于任意一個分割且為獨立增量過程

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗顯然在上述定義下有，我們稱為具有方差為的維納過程。二、單位根的DF檢驗

單位根檢驗的方法有多種，常用的有DF檢驗、ADF檢驗、PP檢驗、KPSS檢驗和NP檢驗等。第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（一）數(shù)據(jù)生成沒有漂移項假設(shè)數(shù)據(jù)生成模型為：（7.3.1）

1、估計無截距項模型首先估計模型并檢驗。則有：（7.3.2）

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（7.3.3）

2、估計有截距項模型估計模型并檢驗。則有：第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（7.3.4）

（7.3.5）

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（二）數(shù)據(jù)生成有漂移項假設(shè)數(shù)據(jù)生成模型為：（7.3.6）

估計模型并檢驗。在消除共線性后得到：（7.3.7）

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（7.3.8）

其中：第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗

ADF檢驗是擴展的DF檢驗，通過在DF檢驗式中引入一定數(shù)目的差分滯后項來確保誤差項為白噪聲序列，例如對應(yīng)無截距項的ADF檢驗?zāi)Ｐ蜑椋?/p>

原假設(shè)保持不變，其它的兩種情況也是如此。而PP檢驗則直接假設(shè)誤差項服從一般穩(wěn)定過程，通過非參數(shù)方法對檢驗量進行調(diào)整。

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗三、協(xié)整分析（一）協(xié)整的定義假設(shè)，即每個分量都是b階單整的，如果存在一個非零向量，使得即，即線性組合后得到的變量單整階數(shù)下降，則稱是階協(xié)整的，記為，為一個協(xié)整向量。第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（二）協(xié)整的EG兩步檢驗1、雙變量之間的協(xié)整檢驗假設(shè)考察兩個單整序列為，則該方法如下：第一步，利用OLS估計回歸模型，同時得到殘差估計為

（7.3.9）

該回歸被稱為協(xié)整回歸。如果存在協(xié)整關(guān)系，則協(xié)整向量為，且根據(jù)協(xié)整的定義應(yīng)該有從而進入下面的第二步。第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗第二步，對殘差序列進行單整性檢驗，確定其單整階數(shù)，如果仍有，則表明組合得到的變量并沒有降階，因而它們之間沒有協(xié)整關(guān)系；如果有，則表明組合得到的變量降階，因而它們之間有協(xié)整關(guān)系。檢驗殘差是否平穩(wěn)仍采用單位根檢驗方法，即建立如下的檢驗?zāi)Ｐ停海?.3.10）

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗構(gòu)建的假設(shè)為。如果檢驗接受，則表明殘差是非平穩(wěn)的，因此原來的兩個變量并不存在協(xié)整關(guān)系，反之則表明它們存在協(xié)整關(guān)系。

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗例7-11表7-10是利用居民消費價格指數(shù)調(diào)整的1978-2006年的中國居民消費總量和可支配收入總量的數(shù)據(jù)，試對取對數(shù)后的兩個變量進行協(xié)整檢驗。表7-10我國1978-2006中國居民收入和消費數(shù)據(jù)單位：億元時間收入消費時間收入消費時間收入消費19786678.83806.71988157949560.5199838140.919364.119797551.64273.2198915035.59085.519994027720989.319807944.24605.5199016525.99450.9200042964.622863.9198184385063.9199118939.610375.8200146385.424370.119829235.25482.4199222056.511815.320025127426243.2198310074.65983.2199325897.313004.7200357408.1280351984115656745.7199428783.413944.2200464623.130306.2198511601.77729.2199531175.415467.9200574580.433214.4198613036.58210.9199633853.717092.5200685623.136811.2198714627.78840199735956.218080.6表7-10我國1978-2006中國居民收入和消費數(shù)據(jù)單位：億元第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗首先檢驗對數(shù)化后兩個序列與的單整性結(jié)果。結(jié)果表明它們各自是一階單整的，即有、。對它們建立協(xié)整回歸，使用命令Equationeq1.Lslnyclnx，得到回歸的結(jié)果為：

得到用于檢驗協(xié)整關(guān)系的殘差為：第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗現(xiàn)對殘差進行單位根檢驗，由于原協(xié)整回歸模型中含有截距項，因此單位根檢驗中的模型不再含有截距項，使用以前單位根檢驗的步驟并通過AIC指標(biāo)得到的檢驗?zāi)Ｐ蜑椋翰榈迷?.05顯著性水平下的臨界值為，大于檢驗量對應(yīng)的值-3.6872，拒絕原假設(shè)，因此殘差是平穩(wěn)的，表明兩個變量是協(xié)整的，原來的協(xié)整回歸有效并非為偽回歸模型。第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗2、多變量之間的協(xié)整檢驗對于多個變量之間的協(xié)整檢驗，其基本原理與兩個變量下的檢驗思路一樣，首先檢驗它們是否都是同為的，然后選取其中一個變量作為被解釋變量進行協(xié)整回歸，再對協(xié)整回歸得到的殘差進行平穩(wěn)性檢驗，從而確定是否存在協(xié)整關(guān)系。

第三節(jié)單整與協(xié)整檢驗（三）誤差修正模型（ECM）的建立對于一階單整的雙變量而言，假設(shè)它們滿足如下關(guān)系：通過變換可以得到：其中，當(dāng)它們存在協(xié)整關(guān)系時，即為誤差修正項。第四節(jié)VAR模型一、多維時間序列假設(shè)向量，對于任意的，為隨機向量，則稱為上的維時間序列。向量白噪聲過程是多維時間序列分析的基礎(chǔ)，如果多維時間序列滿足：（1）對于所有的有；（2）對于所有的有為對稱正定矩陣；

（3）對于所有的，當(dāng)時有。第四節(jié)VAR模型則稱多維時間序列為向量白噪聲過程。顯然，向量白噪聲過程不允許不同期之間的隨機向量相關(guān)，但允許隨機向量內(nèi)部的同期相關(guān)，即不一定為對角矩陣。第四節(jié)VAR模型二、向量自回歸過程（VectorAuto-regression，VAR）（一）VAR的定義稱滿足下列向量隨機差分方程的為階向量自回歸過程，記為

（7.4.1）

第四節(jié)VAR模型其中為向量白噪聲過程，為維的常數(shù)向量，

為n階參數(shù)矩陣。第四節(jié)VAR模型如果引入滯后算子，令，顯然為矩陣多項式。上述可以表示為：（7.4.2）

（二）模型的平穩(wěn)性條件模型平穩(wěn)性條件與單變量自回歸模型的條件相同，即使得特征多項式對應(yīng)的行列式（7.4.3）

的根在單位圓以外。第四節(jié)VAR模型顯然該行列式展開后是關(guān)于的次方程，因此有個根。如果模型是平穩(wěn)的，則有。其中，且，因此可以把式（7.4.1）對應(yīng)的模型寫成離差形式為：令有：（7.4.5）

（7.4.4）

第四節(jié)VAR模型（三）向量自回歸過程的參數(shù)估計對于向量自回歸模型，可以采用最小二乘法、廣義最小二乘法進行估計，也可以使用極大似然估計，1、條件似然函數(shù)的構(gòu)造假設(shè)，有個觀測，以前面?zhèn)€觀測為初始條件，則當(dāng)時有：第四節(jié)VAR模型（7.4.6）

所以有條件密度函數(shù)：（7.4.7）

其中若令：則第四節(jié)VAR模型類似地可以根據(jù)乘法公式得到聯(lián)合條件似然函數(shù)為：從而對數(shù)條件似然函數(shù)為：第四節(jié)VAR模型2、參數(shù)的估計條件似然函數(shù)對求偏導(dǎo)得到極大似然估計為：而的協(xié)方差矩陣極大似然估計為：（7.4.9）

（7.4.10）

其中第四節(jié)VAR模型利用矩陣跡的性質(zhì)經(jīng)過計算得到最終的似然函數(shù)表達式為：

（7.4.11）

在上述表達式中，我們把最終似然函數(shù)結(jié)果記為階數(shù)的函數(shù)。

第四節(jié)VAR模型3、模型的定階對于一個維的模型而言，需要估計的參數(shù)總共有個，因此需要很大的樣本容量才能完成參數(shù)估計，但在給定的情況下應(yīng)該盡可能地降低模型的階數(shù)。確定階數(shù)的方法常用的有兩種：

一種是使用信息指標(biāo)來確定，選取的標(biāo)準(zhǔn)是使得信息指標(biāo)達到最小時對應(yīng)的階數(shù)。常用的兩個指標(biāo)及其定義如下：第四節(jié)VAR模型（7.4.12）

另一種就是通過似然比檢驗來確定。假設(shè)我們分別建立了和兩個模型，不妨設(shè)，對應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)分別為和。

設(shè)零假設(shè)是原模型服從，而備擇假設(shè)是原模型服從，

第四節(jié)VAR模型則似然比檢驗量的構(gòu)造為。在原假設(shè)成立下有，通過與特定顯著性水平下的卡方分布臨界值相比得到檢驗結(jié)論。（四）Grange因果關(guān)系檢驗

如果對所有，基于進行預(yù)測的均方誤差(MSE)與基于和進行預(yù)測的均方誤差是一樣的，則稱變量不是變量的Granger原因。

第四節(jié)VAR模型在計量檢驗兩個具體的可以觀測到變量之間是否具有“Granger因果關(guān)系”的方法中，最簡單的方法是使用自回歸方程中的下三角指定形式。

假設(shè)一個特殊的滯后階數(shù)為的自回歸方程并利用OLS估計下面的方程：然后對下述原假設(shè)進行F檢驗

第四節(jié)VAR模型記上述回歸的殘差平方和為。將這個平方和與僅依賴的滯后期進行回歸的模型：得到的殘差平方和記為。

定義F統(tǒng)計量為

第四節(jié)VAR模型如果該統(tǒng)計量大于分布某個指定顯著性水平對應(yīng)的臨界值，則我們拒絕“變量不是變量的Granger原因”的原假設(shè)。

第四節(jié)VAR模型例7-13

有兩個變量和滿足模型當(dāng)估計回歸模型時

得到當(dāng)估計回歸模型時得到第四節(jié)VAR模型假設(shè)，經(jīng)過計算有。另外當(dāng)時，查得臨界值，因此檢驗拒絕了原假設(shè)，因此變量是引起變量Granger因果關(guān)系的原因。第四節(jié)VAR模型（五）脈沖響應(yīng)分析與方差分解利用模型進行分析時，往往考慮某個變量的擾動項的變動對其本身以及系統(tǒng)中其它變量的影響情況，這就是所謂的脈沖響應(yīng)分析。通過模型分析各個變量擾動項變動對某個變量預(yù)測總誤差變動的影響，這就是方差分解內(nèi)容。

第四節(jié)VAR模型1、脈沖響應(yīng)分析如果模型為平穩(wěn)的，則一定可以表示成一個無窮階的移動平均模型形式。假設(shè)維平穩(wěn)的模型為：

假設(shè)不為對角矩陣，根據(jù)喬利斯基分解方法，存在唯一一個主對角線元素為1的下三角矩陣以及一個元素全為正的對角矩陣，使得。第四節(jié)VAR模型如果令，則顯然有，在平穩(wěn)的條件下將其轉(zhuǎn)為形式為：其中

遞推得到：

第四節(jié)VAR模型所以有：若記

則有：第四節(jié)VAR模型表示第分量在時刻對第個分量對應(yīng)的擾動項在時刻變動一個單位（保持其它擾動項不變）的響應(yīng)值，這些響應(yīng)都是時期間隔的函數(shù)，稱