2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題四-第2講-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[考情分析]高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第(1)問的形式考查，屬中檔題．考點(diǎn)一空間直線、平面位置關(guān)系的判定核心提煉判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題．(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．例1(1)(2023·寶雞模擬)已知α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．若m⊥α，n⊥β，α∥β，則m∥nC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥βD．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n答案D解析對(duì)于A，若m⊥α，m⊥n，則n?α或n∥α，若n?α，n⊥β，則α⊥β，若n∥α，則平面α內(nèi)存在直線c使得n∥c，又n⊥β，所以c⊥β，又c?α，所以α⊥β，故A正確；對(duì)于B，若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n⊥β，則m∥n，故B正確；對(duì)于C，若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β且α，β是空間兩個(gè)不同的平面，則α∥β，故C正確；對(duì)于D，若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m與n異面，故D錯(cuò)誤．(2)(2023·南充模擬)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，若E，F(xiàn)，G，H分別是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，且EH∥FG，則()A．BD1⊥EHB．AD∥FGC．平面BB1D1D⊥平面EFGHD．平面A1BCD1∥平面EFGH答案B解析若點(diǎn)E與A1重合，點(diǎn)H與點(diǎn)D1重合，則BD1與EH的夾角即BD1與A1D1的夾角，顯然BD1與A1D1的夾角不是eq\f(π,2)，所以BD1⊥EH不成立，A錯(cuò)誤；當(dāng)FG與B1C1重合時(shí)，由AD∥B1C1可得AD∥FG，當(dāng)FG與B1C1不重合時(shí)，因?yàn)镋H∥FG，EH?平面A1B1C1D1，F(xiàn)G?平面A1B1C1D1，所以FG∥平面A1B1C1D1，因?yàn)镕G?平面BCC1B1，平面BCC1B1∩平面A1B1C1D1＝B1C1，所以FG∥B1C1，又AD∥B1C1，所以AD∥FG，B正確；當(dāng)平面EFGH與平面BCC1B1重合時(shí)，平面BB1D1D與平面BCC1B1不垂直，C錯(cuò)誤；當(dāng)FG與BC重合時(shí)，平面A1BCD1與平面EFGH相交，D錯(cuò)誤．規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立．跟蹤演練1(1)(多選)(2023·廣州模擬)已知直線m與平面α有公共點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是()A．平面α內(nèi)存在直線l與直線m平行B．平面α內(nèi)存在直線l與直線m垂直C．存在平面β與直線m和平面α都平行D．存在過直線m的平面β與平面α垂直答案BD解析對(duì)于A選項(xiàng)，若直線m與α相交，且平面α內(nèi)存在直線l與直線m平行，由于m?α，則m∥α，這與直線m與α相交矛盾，假設(shè)不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若m?α，則在平面α內(nèi)必存在l與直線m垂直；若直線m與α相交，設(shè)m∩α＝A，如圖所示，若m⊥α，且l?α，則m⊥l；若m與α斜交，過直線m上一點(diǎn)P(異于點(diǎn)A)作PB⊥α，垂足為點(diǎn)B，過點(diǎn)A作直線l，使得l⊥AB，因?yàn)镻B⊥α，l?α，則l⊥PB，又因?yàn)閘⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以l⊥平面PAB，因?yàn)閙?平面PAB，所以l⊥m，綜上所述，平面α內(nèi)存在直線l與直線m垂直，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線m與平面α的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)A，假設(shè)存在平面β，使得α∥β且m∥β，過直線m作平面γ，使得γ∩β＝l，因?yàn)閙∥β，m?γ，γ∩β＝l，則l∥m，因?yàn)棣痢桅?，記α∩γ＝n，又因?yàn)棣谩搔拢絣，則n∥l，因?yàn)樵谄矫姒脙?nèi)過點(diǎn)A有且只有一條直線與直線l平行，且A∈n，故m，n重合，所以m?α，但m不一定在平面α內(nèi)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若m⊥α，則過直線m的任意一個(gè)平面都與平面α垂直，若m與α不垂直，設(shè)直線m與平面α的一個(gè)公共點(diǎn)為點(diǎn)A，則過點(diǎn)A有且只有一條直線l與平面α垂直，記直線l，m所確定的平面為β，則α⊥β，D正確．(2)(多選)(2023·湖南師大附中模擬)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點(diǎn)為M，O為線段B1D1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點(diǎn)共線B．M，O，A1，A四點(diǎn)共面C．B，B1，O，M四點(diǎn)共面D．A，O，C，M四點(diǎn)共面答案ABD解析如圖，因?yàn)锳A1∥CC1，則A，A1，C1，C四點(diǎn)共面．因?yàn)镸∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，則點(diǎn)M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理，O，A也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點(diǎn)共線，從而M，O，A1，A四點(diǎn)共面，A，O，C，M四點(diǎn)共面，故A，B，D正確；由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，OM，BB1是異面直線，即B，B1，O，M四點(diǎn)不共面，故C錯(cuò)誤．考點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系核心提煉平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化考向1平行、垂直關(guān)系的證明例2(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．(1)證明因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因?yàn)椤螦CB＝90°，即AC⊥BC，因?yàn)锳1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1于點(diǎn)O.因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因?yàn)锳1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因?yàn)锳1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.設(shè)A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，所以O(shè)為CC1中點(diǎn)，OC1＝eq\f(1,2)AA1＝1，又因?yàn)锳1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq\o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq\r(2)，所以A1O＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為1.規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理．(2)證明線線垂直的常用方法①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直．跟蹤演練2如圖，正方形ABCD與平面BDEF交于BD，DE⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD，且DE＝EF＝eq\f(\r(2),2)AB.(1)求證：BF∥平面AEC；(2)求證：DF⊥平面AEC.證明如圖，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，則O為正方形ABCD的中心，連接OE，OF.(1)不妨令A(yù)B＝eq\r(2).則DE＝EF＝1.∵四邊形ABCD為正方形，∴BD＝eq\r(2)AB＝2＝2BO.∵EF∥平面ABCD，且平面ABCD∩平面BDEF＝BD，EF?平面BDEF，∴EF∥BD，∴EF∥OB，EF＝OB，即四邊形BOEF為平行四邊形，∴OE∥BF.又OE?平面AEC，BF?平面AEC，∴BF∥平面AEC.(2)∵EF∥DO，且EF＝DO，DE＝EF，∴四邊形ODEF為菱形．∵DE⊥平面ABCD，∴四邊形ODEF為正方形，∴DF⊥OE.又四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC.∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DE⊥AC.而BD∩DE＝D，且BD，DE?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF.∵DF?平面BDEF，∴AC⊥DF.又OE∩AC＝O，OE，AC?平面AEC，∴DF⊥平面AEC.考向2翻折問題核心提煉翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．例3(1)已知正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，H為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BC，CD上的點(diǎn)，CF＝2FB，CG＝2GD，將△ABD沿著BD翻折得到空間四邊形A1BCD，則在翻折過程中，以下說法正確的是()A．EF∥GHB．EF與GH相交C．EF與GH異面D．EH與FG異面答案B解析如圖，由CF＝2FB，CG＝2GD，得FG∥BD且FG＝eq\f(2,3)BD，由E為AB的中點(diǎn)，H為AD的中點(diǎn)，得EH∥BD且EH＝eq\f(1,2)BD，所以EH∥FG，且EH≠FG，所以四邊形EFGH為梯形．梯形EFGH的兩腰EF，HG延長(zhǎng)必交于一點(diǎn)，所以EF與GH相交，EH與FG平行，故選項(xiàng)A，C，D不正確，選項(xiàng)B正確．(2)(多選)(2023·哈爾濱模擬)如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，且BC＝2AB＝2，現(xiàn)將△ABE沿AE向上翻折，使B點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是()A．存在點(diǎn)P，使得PE∥CFB．存在點(diǎn)P，使得PE⊥EDC．存在點(diǎn)P，使得AE⊥PDD．三棱錐P－AED體積的最大值為eq\f(\r(2),6)答案BD解析對(duì)于A，PE∩AE＝E，AE∥CF，因此PE，CF不平行，即不存在點(diǎn)P，使得PE∥CF，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，取AE的中點(diǎn)O，連接PF，PO，OF，ED，當(dāng)PF＝1時(shí)，因?yàn)镻O＝OF＝eq\f(\r(2),2)，即PO2＋OF2＝PF2，則PO⊥OF，而OF⊥AE，PO∩AE＝O，PO，AE?平面PAE，所以O(shè)F⊥平面PAE，又O，F(xiàn)分別為AE，AD的中點(diǎn)，則OF∥ED，于是ED⊥平面PAE，而PE?平面PAE，則ED⊥PE，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)AE⊥PD，又AE⊥ED，PD∩DE＝D，PD，DE?平面PDE，所以AE⊥平面PED，所以AE⊥PE，這與AP⊥PE矛盾，故不存在點(diǎn)P，使得AE⊥PD，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在翻折過程中，設(shè)PO與平面AED所成的角為θ，則點(diǎn)P到平面AED的距離h＝POsinθ＝eq\f(\r(2),2)sinθ，又△AED的面積為eq\f(1,2)AD·AB＝1，因此三棱錐P－AED的體積為eq\f(1,3)S△AED·h＝eq\f(\r(2),6)sinθ≤eq\f(\r(2),6)，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝90°，即PO⊥平面AED時(shí)，等號(hào)成立，所以三棱錐P－AED體積的最大值為eq\f(\r(2),6)，故D正確．易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．跟蹤演練3(2023·成都模擬)如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，BC上的點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，設(shè)P，Q分別為線段AF，CE的中點(diǎn)，將四邊形ABFE沿著直線EF進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)A不在平面CDEF上，在這一過程中，下列關(guān)系不能成立的是()A．AB∥CD B．AB⊥PQC．PQ∥ED D．PQ∥平面ADE答案C解析翻折之后如圖所示，連接PQ，DF.因?yàn)锳D＝3AE，BC＝3BF，所以AB∥EF且EF∥CD，因此AB∥CD，故選項(xiàng)A成立；因?yàn)镻，Q分別為AF，CE的中點(diǎn)，所以Q為DF的中點(diǎn)，所以PQ∥AD，易得AB⊥AD，所以AB⊥PQ，故選項(xiàng)B成立；因?yàn)镻Q∥AD，ED∩AD＝D，所以PQ與ED不平行，故選項(xiàng)C不成立；因?yàn)镻Q∥AD，且PQ?平面ADE，AD?平面ADE，所以PQ∥平面ADE，故選項(xiàng)D成立．專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·安陽統(tǒng)考)若a，b，c是空間三條直線，a∥b，a與c相交，則b與c的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．異面或相交答案D解析在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB與BC相交，A1B1與BC是異面直線；AB∥A1B1，AB與AA1相交，A1B1與AA1是相交直線，∴若a，b，c是空間三條直線，a∥b，a與c相交，則b與c的位置關(guān)系是異面或相交．2．(2023·河南校聯(lián)考模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，則n⊥βB．若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥βC．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β答案D解析對(duì)于A，可能會(huì)出現(xiàn)n∥β，n?β，或n與β相交但不垂直的情況，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由m∥n，m∥α，n∥β，可得α∥β或平面α，β相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由α⊥β，m?α，n?β，可得m∥n或m，n相交或m，n異面，相交或異面時(shí)兩直線可能不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，m⊥α，m∥n，則n⊥α，再由n∥β，可得α⊥β，可知D正確．3．(2023·泉州聯(lián)考)如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線MN∥平面ABC的是()答案D解析對(duì)于A，由正方體的性質(zhì)可得MN∥AC，因?yàn)镸N?平面ABC，AC?平面ABC，所以直線MN∥平面ABC，故A正確；對(duì)于B，如圖，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得MN∥AD，因?yàn)镸N?平面ABC，AD?平面ABC，所以直線MN∥平面ABC，故B正確；對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)可得平面ABC與正方體的右側(cè)面平行，故MN∥平面ABC，故C正確；對(duì)于D，如圖，作出完整的截面ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，故D錯(cuò)誤．4．(2023·長(zhǎng)沙模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE與B1C1為異面垂直D．A1C1∥平面AB1E答案C解析對(duì)于A，∵CC1?平面BCC1B1，B1E?平面BCC1B1，∴CC1與B1E共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若AC⊥平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，則AC⊥AB，即△ABC為直角三角形，∴△A1B1C1為直角三角形，與已知△A1B1C1是正三角形相矛盾，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵AE∩平面BCC1B1＝E，E?B1C1，∴AE，B1C1為異面直線，∵△ABC為正三角形，E為BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正確；對(duì)于D，直線AC交平面AB1E于點(diǎn)A，又AC∥A1C1，∴直線A1C1與平面AB1E相交，故D錯(cuò)誤．5.如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折．在翻折的過程中，以下四個(gè)結(jié)論，可能成立的是()A．DF⊥BCB．CF∥平面BDEC．平面BDF⊥平面BCFD．平面DCF⊥平面BCF答案C解析對(duì)于A，因?yàn)锽C∥AD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)CF∥平面BDE，又CF?平面BCFE，平面BCFE∩平面BDE＝BE，則CF∥BE，由題圖知CF不與BE平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)D在平面BCFE上的投影P落在BF上時(shí)，DP?平面BDF，從而平面BDF⊥平面BCF，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)锳D∶BC＝2∶3，所以AD∶EF＝4∶5，所以點(diǎn)D的投影不可能在CF上，所以平面DCF⊥平面BCF不成立，故D錯(cuò)誤．6.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點(diǎn)，則()A．A，M，N，B四點(diǎn)共面B．平面ADM⊥平面CDD1C1C．直線BN與B1M所成的角為30°D．BN∥平面ADM答案B解析如圖所示，連接MN，BC1，對(duì)于A選項(xiàng)，AB∥C1M，C1M∩MN＝M，MN?平面ABC1M，所以直線AB，MN是異面直線，故A，M，N，B四點(diǎn)不共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，又AD?平面ADM，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，取CD的中點(diǎn)O，連接BO，ON，則B1M∥BO，可知BO＝ON＝BN＝2eq\r(2)，所以△BON為等邊三角形，故∠OBN＝60°，即直線BN與B1M所成的角為60°，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)锽N∥平面AA1D1D，顯然BN與平面ADM不平行，D錯(cuò)誤．二、多項(xiàng)選擇題7.(2023·延安模擬)如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A．PB⊥ADB．BC與PD所成的角為45°C．BC∥平面PADD．PD與平面ABC所成的角為45°答案BCD解析對(duì)于A，假設(shè)PB⊥AD，因?yàn)镻A⊥平面ABC，AD?平面ABC，故PA⊥AD，而PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，故AD⊥平面PAB，AB?平面PAB，故AD⊥AB，這與正六邊形ABCDEF中AD，AB不垂直相矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在正六邊形ABCDEF中，AD∥BC，故直線AD與直線PD所成角∠PDA即為直線BC與直線PD所成的角或其補(bǔ)角，在Rt△PAD中，AD＝2BC＝2AB＝PA，則∠PDA＝45°，即直線BC與直線PD所成的角為45°，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)锳D∥BC，AD?平面PAD，BC?平面PAD，故直線BC∥平面PAD，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镻A⊥平面ABC，故∠PDA即為直線PD與平面ABC所成的角，由C可知∠PDA＝45°，故D正確．8.(2023·安慶模擬)如圖，已知四邊形ABCD，△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，△ABD為等邊三角形，BD＝2，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折到△PBD，在翻折的過程中，下列結(jié)論中正確的是()A．BD⊥PCB．DP與BC可能垂直C．四面體PBCD體積的最大值是eq\f(\r(3),3)D．直線DP與平面BCD所成角的最大值是eq\f(π,4)答案ABC解析對(duì)于A，如圖所示，取BD的中點(diǎn)M，連接PM，CM，∵△BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，∴BD⊥CM，∵△ABD為等邊三角形，∴BD⊥PM，又PM∩CM＝M，PM，CM?平面PMC，∴BD⊥平面PMC，又PC?平面PMC，∴BD⊥PC，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)DP⊥BC，又BC⊥CD，CD∩DP＝D，CD，DP?平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又PC?平面PCD，∴BC⊥PC，又PB＝2，BC＝eq\r(2)，易知PC∈[eq\r(3)－1，eq\r(3)＋1]，當(dāng)PC＝eq\r(2)時(shí)，BC2＋PC2＝PB2，故DP與BC可能垂直，故B正確；對(duì)于D，當(dāng)平面PBD⊥平面BCD時(shí)，平面PBD∩平面BCD＝BD，BD⊥PM，PM?平面PBD，此時(shí)PM⊥平面BCD，∠PDB即為直線DP與平面BCD所成的角，此時(shí)∠PDB＝eq\f(π,3)，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知當(dāng)平面PBD⊥平面BCD時(shí)，此時(shí)四面體PBCD的體積最大，此時(shí)的體積V＝eq\f(1,3)S△BCD·PM＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)，故C正確．三、填空題9．平面α內(nèi)兩條相交直線l，m都不在平面β內(nèi)．命題甲：l和m中至少有一條與平面β相交；命題乙：α與β相交．則甲是乙的______________條件．答案充要解析由于兩條相交直線l，m都在平面α內(nèi)，且都不在平面β內(nèi)，則α與β不重合．充分性：若l和m中至少有一條與β相交，不妨設(shè)l∩β＝A，則由于l?α，∴A∈α，而A∈β，由于α與β不重合，∴α與β相交，故充分性成立．必要性：若α∩β＝a，如果l和m都不與β相交，由于它們都不在平面β內(nèi)，∴l(xiāng)∥β且m∥β，∴l(xiāng)∥a且m∥a，進(jìn)而得到l∥m，與已知l，m是相交直線矛盾，因此l和m中至少有一條與β相交，故必要性成立．綜上所述，甲是乙的充要條件．10.如圖，P為?ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，eq\f(PF,FC)＝________.答案eq\f(1,2)解析如圖，連接AC交BE于點(diǎn)O，連接OF.∵AD∥BC，E為AD的中點(diǎn)，∴eq\f(AO,OC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，∵PA∥平面EBF，平面EBF∩平面PAC＝OF，PA?平面PAC，∴PA∥OF，∴eq\f(PF,FC)＝eq\f(AO,OC)＝eq\f(1,2).11.如圖，在正四棱錐P－ABCD中，PA＝eq\f(\r(3),2)AB，M是BC的中點(diǎn)，G是△PAD的重心，則在平面PAD內(nèi)經(jīng)過G點(diǎn)且與直線PM垂直的直線有________條．答案無數(shù)解析取AD的中點(diǎn)N，連接PN，MN，則G在直線PN上，設(shè)AB＝2，則PA＝eq\r(3)，∵PN⊥AD，AN＝1，∴PN＝eq\r(2)，∴PM＝PN＝eq\r(2)，又MN＝2，∴PM2＋PN2＝MN2，故PM⊥PN，∵AD⊥MN，AD⊥PN，MN∩PN＝N，MN，PN?平面PMN，∴AD⊥平面PMN，∵PM?平面PMN，∴AD⊥PM，∵AD∩PN＝N，AD，PN?平面PAD，∴PM⊥平面PAD，∴PM垂直于平面PAD內(nèi)任意一條直線，∴在平面PAD內(nèi)經(jīng)過G點(diǎn)且與直線PM垂直的直線有無數(shù)條．12．(2023·北京模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點(diǎn)，平面ACE將正方體分成體積分別為V1，V2(V1≤V2)的兩部分，則eq\f(V1,V2)＝________.答案eq\f(7,17)解析如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)H，連接EH，CH，A1C1，因?yàn)锳C∥平面A1B1C1D1，故AC平行于平面ACE與平面A1B1C1D1的交線，又E，H分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，易知EH∥A1C1∥AC，即平面ACE∩平面A1B1C1D1＝EH，故平面ACE將正方體分為如圖所示的兩部分，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的體積為8，V1＝＝eq\f(1,3)(＋S△ABC＋)·BB1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2＋\r(\f(1,2)×2)))×2＝eq\f(7,3)，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(7,3),8－\f(7,3))＝eq\f(7,17).四、解答題13．(2023·南京檢測(cè))如圖1,2，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD上的點(diǎn)，且AM＝eq\f(1,3)MD.將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)P，連接EF，PB.(1)求證：PD⊥EF；(2)試判斷PB與平面EFM的位置關(guān)系，并給出證明．