講解值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教材課程

中值定理

洛必達(dá)法則

泰勒公式

函數(shù)的單調(diào)性和極值

函數(shù)圖形的描繪

平面曲線(xiàn)的曲率第

章3值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

在中13.1.2羅爾(Rolle)定理3.1.3拉格朗日(Lagrange)定理3.1.4柯西(Cauchy)定理3.1中值定理

3.1.1費(fèi)馬(Fermat)引理23.1.1費(fèi)馬(Fermat)引理問(wèn)題的引出首先，讓我們來(lái)觀察這樣一個(gè)幾何事實(shí)：如圖所示C連續(xù)曲線(xiàn)弧是函數(shù)如果

,我們看到在曲線(xiàn)弧的最高點(diǎn)C處或最低點(diǎn)處，曲線(xiàn)有水平切線(xiàn)．為，則有的圖形,設(shè)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)進(jìn)一步,當(dāng)時(shí),曲線(xiàn)弧ab上,至少有一點(diǎn)C,C又看到使得弧ab在該點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于弦ab.3定義3.1.1使得對(duì)一切屬于該鄰域的(1)則稱(chēng)為的極大點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的極大值;(2)則稱(chēng)為的極小點(diǎn),稱(chēng)為函數(shù)的極小值

.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)極值5費(fèi)馬(Fermat)引理且存在證明設(shè)則6注(1)7羅爾（Rolle）定理滿(mǎn)足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)f(a)=f(b)使證明故在[a,b]上取得最大值

M和最小值m.若M=m,則因此在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)3.1.2、羅爾(Rolle)定理8若M>m,則M和m中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使注(1)定理?xiàng)l件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如則由費(fèi)馬引理得9使(2)定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明提示:設(shè)證F(x)在[a,b]上滿(mǎn)足羅爾定理.10(3)羅爾定理的幾何意義如果連續(xù)曲線(xiàn)弧除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線(xiàn)，且端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等，上至少存在一異于A、B的點(diǎn)C，使在該點(diǎn)的切線(xiàn)平行于x軸（平行于弦AB）

則11例如

12例1證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證明1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)13例2

若可導(dǎo),試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有的零點(diǎn).證明設(shè)欲證:使只要證亦即作輔助函數(shù)顯然在上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.14求證存在使例3設(shè)可導(dǎo)，且在連續(xù)，證明因此至少存在顯然在上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件,即設(shè)輔助函數(shù)使得15例4設(shè)

均在[a,b]上連續(xù),（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且有f（a）=g（a），f（b）=g（b）。求證存在ξ∈（a，b）使證明令，[a,b]上連續(xù),（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，在[a，b]上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，則由題設(shè)知在且有故存ξ∈(a，b)使得163.1.3拉格朗日(Lagrange)定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿(mǎn)足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.證畢17注(1)定理證明中用到的輔助函數(shù)不是唯一的如還可改成同樣可以證明.(2)此定理的幾何意義是:可微函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)．(3)拉格朗日中值定理還有如下表示形式：

18可以看出,拉格朗日定理將函數(shù)在有限區(qū)間上的推論若函數(shù)在區(qū)間I上滿(mǎn)足則在I上必為常數(shù).證:在I上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在I上為常數(shù).也稱(chēng)為有限增量形式.

從式增量和這一區(qū)間上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái),用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的理論依據(jù)從而提供了

式19例5證明等式證明設(shè)由推論可知(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.經(jīng)驗(yàn)欲證時(shí)只需證在I上20例6證明不等式證明設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有21例7

證明當(dāng)x>1時(shí)，ex＞ex

。滿(mǎn)足拉格朗日定理的條件,即ex－ex

－0

=(eξ－e)(x

－1)

1＜ξ＜x

于是有證明令x－1＞0，則存在ξ∈（1，x）使223.1.4柯西(Cauchy)定理分析及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:要證23證明作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn):柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!上面兩式相比即得結(jié)論.思考24柯西定理的幾何意義:注弦的斜率切線(xiàn)斜率2526例8設(shè)至少存在一點(diǎn)使證明結(jié)論可變形為設(shè)則在[0,1]上滿(mǎn)足柯西中值定理?xiàng)l件,因此在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

,使即證明27例9試證至少存在一點(diǎn)使證明

法1用柯西中值定理.則f(x),F(x)在[1,e]上滿(mǎn)足柯西中值定理?xiàng)l件,令因此即分析:28例9試證至少存在一點(diǎn)使法2

令則f(x)在[1,e]上滿(mǎn)足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在29小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理30思考與練習(xí)1.填空題1)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值2)設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間上.方程312.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)32費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好.他興趣廣泛,博覽群書(shū)并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來(lái)的.33拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.34柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),