2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x?y?1=0的傾斜角是(

)A.π6 B.π4 C.π22.已知向量a=(1,m,?1),b=(1,?1,1)，若(a+A.4 B.3 C.2 D.13.在(3x2?1A.7 B.8 C.9 D.104.直線ax+2y?6=0與直線x+(a+1)y+a2?1=0平行，則實(shí)數(shù)a值為A.1 B.1或?2 C.?1 D.?1或25.用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂?jī)蓚€(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是(

)A.12 B.24 C.30 D.366.已知圓C1：(x?1)2+y2=1，圓C2：(x?a)2A.[?247,0] B.[?125,0]7.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P是側(cè)面正方形CDD1C1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是正方形ABA.π4 B.π C.228.過(guò)雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F2向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，A.2

B.142

C.29二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法命題正確的是(

)A.已知a=(0,1,1),b=(0,0,?1)，則a在b上的投影向量為(0,0,1)

B.若直線l的方向向量為e=(1,0,3)，平面α的法向量為n=(?2,0,23)，則l/?/α

C.已知三棱錐O?ABC，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且OP=12OA+mOB+nOC(n,m∈R)，則m+n=12

D.若向量p=m10.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，B在線段AC上，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，O為原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是(

)A.p=2 B.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切

C.直線l斜率為3 D.11.2022年卡塔爾世界杯賽徽近似“伯努利雙紐線”.伯努利雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來(lái)描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)距離之積等于定值c2(c>0)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為雙紐線，已知點(diǎn)P(xA.|PO|的最大值為3c B.雙紐線是中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.?c2≤y0≤c2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在多項(xiàng)式(a+3x)(1?x)5的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)為32，則a=13.已知橢圓C1和雙曲線C2焦點(diǎn)相同，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線的交點(diǎn)，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1和e2，若∠14.已知曲線C：x|x|4?y|y|=1上任意一點(diǎn)P(x,y)，都有|x?2y+a|+|x?2y+2|的和為定值，則實(shí)數(shù)a四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)

(1)已知(2x+1x2)n(n為正整數(shù)).展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64

①求該式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和；

②求該式的展開(kāi)式中無(wú)理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；

③求該式的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

(2)現(xiàn)有8名師生站成一排照相，其中老師2人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情況下，各有多少種不同的站法？

①老師站在最中間，2名女學(xué)生分別在老師的兩邊且相鄰，4名男學(xué)生兩邊各2人；

16.(本小題12分)

如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，且AA1=AB=2AD，且E，F(xiàn)分別為C1D1，DD1的中點(diǎn)．

(1)證明：AF//平面A17.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，實(shí)軸的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，虛軸的上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，且四邊形A1B1A2B2的面積為23．

18.(本小題12分)

如圖，AD//BC，AD⊥AB，點(diǎn)E、F在平面ABCD的同側(cè)，CF//AE，AD=1，AB=BC=2，平面ACFE⊥平面ABCD，EA=EC=3．

(1)求證：BF//平面ADE；

(2)若直線EC與平面FBD所成角的正弦值為4101519.(本小題12分)

已知A(2,0)和B(1,32)為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的離心率；

(2)過(guò)點(diǎn)(?1,0)的直線l與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)(D,E不在x軸上)．

(i)若△ADE的面積為5，求直線l的方程；

(ii)直線AD和AE分別與y軸交于參考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.C

6.A

7.A

8.D

9.ACD

10.ABD

11.BCD

12.?17

13.4

14.(?∞,?215.解：(1)已知(2x+1x2)n(n為正整數(shù)).展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，

可得n=6，

①令x=1得(2+11)6=36=729，所以展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為729；

②(2x+1x2)6的通項(xiàng)為T(mén)k+1=C6k(2x)6?k(1x2)k=C6k26?kx6?5k2，k∈{0,1,2,?,6}，

所以當(dāng)k時(shí)對(duì)應(yīng)為展開(kāi)式中的無(wú)理項(xiàng)，所以共有3個(gè)無(wú)理項(xiàng)；

③由②及題意，知16.解：(1)證明：在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD為矩形，

AA1=AB=2AD，且E，F(xiàn)分別為C1D1，DD1的中點(diǎn)，

設(shè)AD=1，則AA1=AB=2，以Do坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A1(1,0,2)，B(1,2,0)，E(0,1,2)，A(1,0,0)，F(xiàn)(0,0,1)，D(0,0,0)，

所以A1E=(?1,1,0),A1B=(0,2,?2),AF=(?1,0,1)，

設(shè)m=(x,y,z)是平面A1EB的一個(gè)法向量，

則m?A1E=?x+y=0m?A1B=2y?2z=0，取x=1，得m=(1,1,1)，

又AF?m=0，∴AF⊥m，

∵AF?平面A1EB，∴AF/?/平面A117.解：(1)由雙曲線的幾何性質(zhì)可知，四邊形A1B1A2B2是菱形，且A1A2=2a，B1B2=2b，

所以四邊形A1B1A2B2的面積為12×2a×2b=23，①

因?yàn)殡x心率為e=ca=2,a2+b2=c2，②

聯(lián)立①②，

解得a=1,b=3,c=2，

則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2?y23=1．

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),B1(0,3)，線段PQ中點(diǎn)M(x018.(1)證明：因?yàn)镃F/?/AE，CF?平面ADE，

所以CF/?/平面ADE，同理BC/?/平面ADE，

又BC，CF?平面BCF，BC∩CF=C，

所以平面BCF/?/平面ADE，BF?平面ADE，

所以BF/?/平面ADE；

(2)解：取AC的中點(diǎn)O，因?yàn)镋A=EC，

所以EO⊥AC，又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，

EO?平面EAC，所以EO⊥平面ABCD，

又因?yàn)锳D⊥AB，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

在四邊形ABCD中，因?yàn)锳D=1，AB=BC=2，AD//BC，AD⊥AB，

所以AC=22，所以AO=OC=2，

因?yàn)镋A=EC=3，所以EO=1，

所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,1,0)，C(2,2,0)，O(1,1,0)，E(1,1,1)，EC=(1,1,?1)，

BD=(?2,1,0)，BC=(0,2,0)，

設(shè)CF=λAE=(λ,λ,λ),λ>0，則BF=BC+CF=(λ,2+λ,λ)，

設(shè)n=(x,y,z)為平面BDF的法向量，

則n?BD=0n?BF=0，即?2x+y=0λx+(2+λ)y+λz=0，

令x=1，故n=(1,2,?4λ?3)，

n?CE=1×1+2×1+(?4λ?3)×(?1)=6+4λ，|n|=19.解：(1)由題可得：a=21a2+34b2=1c2=a2?b2，解得：a=2b=1c=3，

所以橢圓C的離心率為e=ca=