工程力學(xué) 課件 2.3平衡方程式詳解

第二章平面力系2.1基本量的計(jì)算2.2平面力系簡(jiǎn)化2.3平衡條件和平衡方程2.4平面力系平衡問(wèn)題思路：研究對(duì)象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡問(wèn)題的分析方法ABC靜力平衡問(wèn)題，一般有二類：

對(duì)于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對(duì)于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時(shí)外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力。60

ABCDF2.4平面力系平衡問(wèn)題例1已知:AC=CB=l,P=10kN;求:鉸鏈A和DC桿受力。解:取AB梁，畫受力圖。解得FAy+FCsin45

-P=0FCcos45

·l-P·2l=0例2已知：求:支座A、B處的約束力。解：取AB梁，畫受力圖。解得解得解得例3

求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、C處的約束力。解：1）畫整體受力圖。注意BC為二力桿。驗(yàn)算，再寫一個(gè)不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

結(jié)果正確。ABCF=2KNFq30q=0.5KN/m

L=2m1.5mFq=2q=1KNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4KN;FAy=1KN;FAx=2KN矩心取在二未知力交點(diǎn)A處，力矩方程中只有一個(gè)未知量FC，可直接求解。求：系統(tǒng)平衡時(shí)，桿AB、BC受力例4，已知：系統(tǒng)如圖，不計(jì)桿、輪自重，忽略滑輪大小，P=20kN；解：AB、BC桿為二力桿，取滑輪B（或點(diǎn)B），畫受力圖。用解析法，建圖示坐標(biāo)系解得：解得：二、靜不定問(wèn)題的概念1)靜定問(wèn)題完全約束住的n個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個(gè)平衡方程。若反力未知量是3n個(gè)，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問(wèn)題

--未知量數(shù)=獨(dú)立平衡方程數(shù)ABCF30如例

系統(tǒng)

二根桿

六個(gè)平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個(gè)反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個(gè)，但B、C處約束力未知量也減少了二個(gè)。本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個(gè)物體

8個(gè)平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動(dòng)鉸、車輪接觸處各1

共8個(gè)反力，是靜定問(wèn)題。如例系統(tǒng)

三個(gè)物體

9個(gè)方程，反力只有8個(gè)。小車可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。CABWP2）靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨(dú)立平衡方程數(shù)，問(wèn)題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問(wèn)題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n

<3n

未完全約束

m

=3n

靜定問(wèn)題

>3n

靜不定問(wèn)題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3n例5傾斜懸臂梁AB與水平梁BC在B處絞接，梁上載荷有：q=200N/m，F(xiàn)=250N，梁重不計(jì)。試作AB梁、BC梁及整體的受力圖；并求固定端A及鉸鏈B、支座C處的約束反力。

解：1)畫受力圖。整體受力圖。AB桿受力圖。BC桿受力圖。

2)BC為研究對(duì)象，列平衡方程：

Fx=FBx=0

FBx=0

Fy=FBy+FCy-q×2=0

FCy=200kN3)取整體為研究對(duì)象，有：

Fx=FAx=0

FAx=0

MA(F)=MA-1×F+4×FCy-q×2×3=0

MA=650kN.m

Fy=FAy-F+FCy-q×2=0

FAy=450kN例6

梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個(gè)方程中含三個(gè)未知約束反力，不足以求解。

列平衡方程：

Fx=FAx=0---(1)

Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)

MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA

2)小車為研究對(duì)象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁為研究對(duì)象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN

將FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有時(shí)需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBF

EFCyFByFCx=0思考題：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對(duì)象，再處理其上的分布載荷。解：1）研究整體：

2）研究BC，受力如圖。求出FC即可。

MB(F)=2aFCcos45

-Fa-qa2/2=0一般力系，3個(gè)方程，

4個(gè)未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCFq2aaa45

FCFAyFAxMA求