中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何專項知識精講+基礎(chǔ)提優(yōu)訓(xùn)練專題28 網(wǎng)格中的三角函數(shù)（基礎(chǔ)）-（解析版）

專題28網(wǎng)格中的三角函數(shù)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖所示的正方形網(wǎng)格中有∠α，則tanα的值為（）A．12 B．55 C．2【分析】利用網(wǎng)格特點，構(gòu)建Rt△ACB，然后利用正切的定義求解．【解答】解：如圖，在Rt△ACB中，tanα=AB故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．靈活應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)．2．如圖，在正方形網(wǎng)格紙中，△ABC的三個頂點都在格點上，則tan∠BAC的值是（）A．34 B．45 C．43【分析】利用網(wǎng)格特點得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定義求解．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴tan∠BAC=4故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．3．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則cos∠BAC的值為（）A．43 B．34 C．35【分析】過點C作CD⊥AB于點D，根據(jù)勾股定理可求出AC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：過點C作CD⊥AB于點D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5，∴cos∠BAC=AD故選：C．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．如圖，A，B，C是3×1的正方形網(wǎng)格中的三個格點，則tanB的值為（）A．12 B．55 C．25【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，直接計算得結(jié)論．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABD中，tanB=AD故選：A．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)．題目比較簡單，掌握正切函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則cos∠BAC的值為（）A．34 B．25 C．35【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：過B作BH⊥AC交AC的延長線于H，∴AB=AH2∴cos∠BAC=AH故選：C．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，若△ABC的三個頂點在圖中相應(yīng)的格點上，則tan∠ACB的值為（）A．13 B．1010 C．12【分析】作AH⊥CB，交CB延長線于H點，∠ACB的正切值是AH與CH的比值．【解答】解：如圖，作AH⊥CB，交CB延長線于H點，tan∠ACB=AH故選：A．【點評】本題主要考查正切值的求法，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．7．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則sin∠BAC的值為（）A．43 B．34 C．35【分析】過C作CD⊥AB于D，首先根據(jù)勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：如圖，過C作CD⊥AB于D，則∠ADC＝90°，∴AC=A∴sin∠BAC=CD故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的運用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C都在格點上，則tan∠BAC的值為（）A．2 B．12 C．255【分析】連接BC，先根據(jù)勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判斷△ABC是直角三角形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：如圖，連接BC．根據(jù)勾股定理可得AC2＝22+22＝8，BC2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan∠BAC=BC故選：B．【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，判斷△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則cosα的值是（）A．34 B．35 C．45【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出cosα=CD【解答】解：如圖所示：∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝5∴cosα=CD故選：C．【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．10．如圖，邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，⊙O半徑為1，圓心O在格點上，則tan∠AED＝（）A．1 B．22 C．12 【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出tan∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠AED＝∠ABC，得到答案．【解答】解：∵AC＝1，AB＝2，∴tan∠ABC=AC由圓周角定理得，∠AED＝∠ABC，∴tan∠AED=1故選：C．【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、圓周角定理的應(yīng)用，掌握銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切是解題的關(guān)鍵．11．在正方形網(wǎng)格中，△ABC如圖放置，點A，B，C都在格點上，則sin∠BAC的值為（）A．33 B．12 C．22【分析】在直角△ABC中，首先利用勾股定理求得AB的長，然后根據(jù)正弦的定義求解．【解答】解：AB=AC2則sin∠BAC=BC故選：C．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．二．填空題12．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則tanα+tanβ＝4．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以計算出tanα+tanβ的值，本題得以解決．【解答】解：由圖可得，tanα+tanβ=AC故答案為：4．【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答．13．如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E均在格點上，半徑為2的⊙A與BC交于點F，則tan∠DEF＝12【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠DBC＝∠DEF，進(jìn)而得出tan∠DEF＝tan∠DBC，求出答案即可．【解答】解：由題意可得：∠DBC＝∠DEF，則tan∠DEF＝tan∠DBC=DC故答案為：12【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確得出tan∠DEF＝tan∠DBC是解題關(guān)鍵．14．三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則sinα的值是35【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出即可．【解答】解：如圖所示：∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴sinα=AC故答案為：35【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．15．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠AOB＝∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】根據(jù)tan∠AOB與tan∠COD的大小比較即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，∴∠AOB＝∠COD，故答案為：＝【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，構(gòu)建直角三角形求角的三角函數(shù)值進(jìn)行判斷，熟練掌握銳角三角函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．16．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB，CD都交于O，則sin∠AOD＝255【分析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠AOD＝sin∠ABE，即可得出答案．【解答】解：由網(wǎng)格可得：△AEB是Rt△，AE＝22，AB=10DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，故sin∠AOD＝sin∠ABE=AE故答案為：25【點評】此題主要考查了解直角三角形，得出sin∠AOD＝sin∠ABE是解題關(guān)鍵．17．如圖，在正方形網(wǎng)格中，cos∠ACB＝55【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為點D，在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出BC的長，結(jié)合余弦的定義可求出cos∠ACB的值，此題得解．【解答】解：過點B作BD⊥AC，垂足為點D，如圖所示．在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝2，∴BC=B∴cos∠ACB=CD故答案為：55【點評】本題考查了解直角三角形，牢記余弦的定義是解題的關(guān)鍵．18．如圖，點A，B，C均在正方形網(wǎng)格點上，則tanC＝12【分析】連接AD，如圖，利用網(wǎng)格特點得到∠ADC＝90°，CD＝2AD，然后根據(jù)正切的定義求解．【解答】解：連接AD，如圖，易得∠ADC＝90°，而CD＝2AD，所以tanC=AD故答案為12【點評】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．解決此題的關(guān)鍵是靈活運用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．19．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有一個四邊形ABCD，若小正方形的邊長為1，則sin∠ADB+cos∠DBC＝55+【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答．【解答】解：如圖，AD=AE2+DE2∴sin∠ADB=AEAD=15∴sin∠ADB+cos∠DBC=5故答案是：55【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理．熟練掌握銳角三角形函數(shù)定義即可解答，屬于基礎(chǔ)題型．20．已知α，β為銳角，tanα=17，tanβ＝2，利用如圖所示的網(wǎng)格計算tan（α+β）的值為【分析】根據(jù)正切函數(shù)是對邊比鄰邊，可得答案．【解答】解：如圖，tanα=17，tantan（α+β）＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了解直角三角形，在直角三角形中，正切函數(shù)是對邊比鄰邊，畫圖準(zhǔn)確是解題關(guān)鍵．三．解答題21．如圖，在正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的各個頂點都在正方形的頂點上，計算sinA，cosA，tanA與sinB，cosB，tanB的值．【分析】根據(jù)正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，可以求得邊AB、AC、BC的長，然后即可得到得到CD的長，從而可以求得∠sinA，cosA，tanA與sinB，cosB，tanB的值．．【解答】解：∵在正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，∴AC=12+22=5∴AB?CD2=4×3解得，CD＝1，∴AD=(5)2∴sinA=CDAC=15=5sinB=110=1010，cosB即sinA=55，cosA=255【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出各邊的長，然后求出各角的余弦值．22．網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC每個頂點都在網(wǎng)格的交點處，（1）則△ABC的面積為6；（2）試求sinA的值．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積＝正方形的面積﹣三個角上三角形的面積即可得出結(jié)論．（2）作出AB邊的高CE，根據(jù)面積相等求出CE，根據(jù)正弦是角的對邊比斜邊，可得答案．【解答】解：（1）S△ABC＝4×4?12×4×2?12×2＝16﹣4﹣2﹣4＝6．故答案為6．（2）CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝25，∵12AB?CE∴CE=2×6sinA=CE【點評】本題考查勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．23．如圖，△ABC的頂點是邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點，（1）直接寫出cosB和tan（∠ACB﹣90°）的值；（2）求sinA的值．【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答．【解答】解：（1）如圖，過點A作AF⊥BC于F，AE⊥CE于E．在直角△ABF中，cosB=BF在直角△ACE中，tan（∠ACB﹣90°）＝tan∠ACE=AE（2）如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12CD×AB=12∴CD×AB＝BC×AF，∴CD×32=2×∴CD=2在Rt△ADC中，sinA=CD【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，作出輔助線并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．【問題背景】如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點A、B和C、D，AB和CD相交于點P，求tan∠CPB的值．小馬同學(xué)是這樣解決的：連接格點B、E可得BE∥CD，則∠ABE＝∠CPB，連接AE，那么∠CPB就變換到Rt△ABE中．則tan∠CPB的值為3．【探索延伸】如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AB和CD相交于點P，求sin∠APD的值．【分析】（1）在Rt△ABE中，利用正切函數(shù)的定義求出tan∠ABE即可．（2）如圖2，連接CE，DE，作DM⊥CE于M．先證明四邊形ABCE是平行四邊形，得出CE∥AB，那么∠APD＝∠ECD．利用割補法求出△ECD的面積=11由勾股定理求出CE=17，那么根據(jù)三角形的面積公式得出DM=111717【解答】解：（1）如圖1，∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠CPB，∴tan∠ABE＝tan∠CPB，∵∠AEB＝90°，∴tan∠CPB＝tan∠ABE=AE故答案為3．（2）如圖2，連接CE，DE，作DM⊥CE于M．∵BC∥AE，BC＝AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴CE∥AB，∴∠APD＝∠ECD．∵△ECD的面積＝3×4?12×1×4?12×2×3∴12CE?DM=∵CE=17∴DM=11∴sin∠APD＝sin∠ECD=DM【點評】本題考查了解直角三角形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思