第04講-空間直線、平面的垂直(分層精練)(解析版)

第04講空間直線、平面的垂直A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，AB是圓O的直徑，C是異于A，B兩點(diǎn)的圓周上的任意一點(diǎn)，PA垂直于圓O所在的平面，則△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．∴△ABC為直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面內(nèi)，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC．∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，從而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均為直角三角形．故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是等邊三角形，平面底面，，四棱錐的體積為，為的中點(diǎn)．線段的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知，設(shè)，則矩形的面積，取中點(diǎn)，連接，∵是等邊三角形，，∴，且,∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，即是四棱錐的高，∴四棱錐的體積∴解得，，∴.故選：D.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在長方體中，，，點(diǎn)在棱上，若直線與平面所成的角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)長方體性質(zhì)知面，故為直線與平面所成的角的平面角，所以，則，可得，如下圖示，所以在中，符合題設(shè).故選：B4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是（

）A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PCD【答案】C【詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，由四邊形ABCD為矩形得，因?yàn)?，所以平面PAD．又平面PCD，所以平面平面PAD．故選：C5．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，在長方體中，，，則四棱錐的體積是（

）

A．6 B．9 C．18【答案】A【詳解】在長方體中，，連接交于點(diǎn)，可得，又由平面，且面，所以，因?yàn)?，且平面，可得平面，所以四棱錐的高為，所以的體積.故選：A.

6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在矩形ABCD中，，，若平面ABCD，且，則點(diǎn)A到平面PBD的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】過點(diǎn)A作于E，連接PE.因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又因?yàn)?，所以平面PAE，且平面PAE，可得，由可得，而，可得，設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為h，由可得，解得.故選：D.7．（2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，底面邊長為6，側(cè)棱長為8，D是側(cè)面的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則直線AD與底面ABC所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】

取BC中點(diǎn)E，連接DE，AE，由正三棱柱知平面，且，因?yàn)槭切本€在底面上的射影，所以∠DAE為直線AD與底面ABC所成角，在正三角形中，直線AD與底面ABC所成角的正切值為.故選：D8．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對(duì)角線CE的中點(diǎn)，Q是對(duì)角線BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】取邊的中點(diǎn)為,連接,P是CE的中點(diǎn)，則,由于,平面平面,平面平面，平面,故平面,平面,故,在直角三角形中，,,要使最小，則最小，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，故的最小值為,所以，、故選：C二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)A到平面A1BC的距離為 B．平面A1PC與底面ABC的交線平行于A1PC．三棱錐P﹣A1BC的體積為定值 D．二面角A1-BC-A的大小為【答案】BC【詳解】A選項(xiàng)，四邊形是正方形，所以，所以，但與不垂直，所以與平面不垂直，所以到平面的距離不是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知，平面平面，所以平面，設(shè)平面與平面的交線為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由于平面,平面，所以平面.所以到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，由于，所以，所以二面角的平面角為，由于，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題10．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱錐中，平面，則三棱錐的表面積為__________．【答案】/【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，?又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以三棱錐的表面積為．故答案為：.11．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖所示，在斜三棱柱中，，則在面上的射影H必在__________．①直線上

②直線上

③直線上

④內(nèi)部

【答案】①【詳解】由于，所以，又，，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以點(diǎn)H在兩面的交線上，即.故答案為：①.四、解答題12．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐的底面ABCD是菱形，，，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，連接AC，BD，且AC與BD交于點(diǎn)E，連接EF.

(1)求證：平面PCD；(2)求證：平面平面PAC.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由題知，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)，∴，又∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD；（2）∵，，，AB，平面ABCD，∴平面ABCD，∵平面ABCD，∴，∵底面ABCD是菱形，∴，又，PA，平面PAC，∴平面PAC，又平面PBD，∴平面平面PAC.13．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長為1的正方形，側(cè)面?zhèn)让?，，，G是的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若P為線段BC的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，，，，則在中，由余弦定理得，因?yàn)?，即，所以，由已知平面平面，且平面平面，又平面，故平面，又平面GBC，則平面平面．（2）由題意知，，由（1）知，平面，平面，則，又，且，平面，可得平面，因此PB為三棱錐的高，因?yàn)?，，所以，又，所以．B能力提升1．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知正方形的邊長為，現(xiàn)將△沿對(duì)角線翻折，得到三棱錐.記的中點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．與平面所成角的范圍是B．三棱錐體積的最大值為C．與所成角的范圍是D．三棱錐的外接球的表面積為定值【答案】C【詳解】對(duì)于A，如圖，取，的中點(diǎn)為，，連接，，，，

則可得，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可證得平面，又、平面，，所以平面平面，依題意可得，，，所以平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，在折疊過程中，設(shè)，則，由，為，的中點(diǎn)，所以，在中，可得，所以的取值范圍是，即與平面所成角的范圍是，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，即三棱錐高的最大值為，此時(shí)三棱錐的最大體積為，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，所以，所以的取值范圍是，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，所以三棱錐的外接球的球心為，即外接球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為為定值，所以D正確.故選：C2．（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤鐖D一，矩形中，，交對(duì)角線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿翻折至的位置，如圖二，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則下列判斷一定成立的是（

）

A． B．平面C．平面 D．平面平面【答案】D【詳解】對(duì)于D選項(xiàng)，翻折前，，，翻折后，，，因?yàn)?，、平面，則平面，因?yàn)槠矫妫?，平面平面，故D正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，則二面角的平面角為，在翻折的過程中，的大小會(huì)發(fā)生變化，故與不一定垂直，所以，與平面不一定垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，在圖一中，，又因?yàn)?，所以，，，因?yàn)?，所以，，所以，，則，在圖二中，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，交于點(diǎn)，連接，則，故，則，因?yàn)?，所以，不是的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，則，若，因?yàn)?，、平面，則平面，因?yàn)槠矫妫?，，因?yàn)?、平面，且，所以，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，與已知矛盾，故A錯(cuò)誤；由選項(xiàng)A知，因?yàn)?，平面，平面，所以，平面，若平面，則，、平面，所以，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則為的中點(diǎn)，與已知條件矛盾，故C錯(cuò)誤．故選：D．

3．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P在正方體的側(cè)面及邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，若正方體的棱長為1，則PC的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，連接AC，，，BD，由正方體的性質(zhì)知，，，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，同理，因?yàn)?，所以平面，若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段.由正方體的棱長為1，可得點(diǎn)C到線段的距離，則PC的取值范圍是.故選：A.

4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在古代數(shù)學(xué)中，把正四棱臺(tái)叫做方亭，數(shù)學(xué)家劉徽用切割的方法巧妙地推導(dǎo)出了方亭的體積公式，為方亭的下底面邊長，為上底面邊長，為高.某地計(jì)劃在一片平原地帶挖一條筆直的溝渠，渠的橫截面為等腰梯形，上底為米，下底為米，深米，長為米，并把挖出的土堆成一個(gè)方亭，設(shè)計(jì)方亭的下底面邊長為米，高為米，則其側(cè)面與下底面所成的二面角的正切值為________.【答案】/【詳解】由題意知挖出的土的體積，則由，整理得，解得或（舍去）.在正四棱臺(tái)中，，，設(shè)點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為點(diǎn)，設(shè)直線分別交、于點(diǎn)、，連接、，

因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，，故四邊形為矩形，所以，，因?yàn)椋?，則，所以，，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫?，，所以，?cè)面與底面所成二面角的平面角為，易知四邊形、是全等的等腰梯形，且，，所以，，因?yàn)?，且，則四邊形為矩形，故，則，故四邊形為等腰梯形，因?yàn)椋?，，故，所以，，又因?yàn)?，，故，在中?故答案為：.5．（2023春·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)校考期中）如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，如圖2．

(1)證明：平面平面PAD；(2)當(dāng)二面角的平面角的正切值為時(shí)，求直線BD與平面PBC夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）中，由余弦定理：，所以,則,將沿BD折起，使得點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，則，所以,又平面PAD,所以平面PAD，又平面BCD，所以平面平面PAD；（2）

如圖，取中點(diǎn)E，連接BE,DE，因?yàn)锳B=PB,AD=PD,則所以為二面角的平面角，且由（1）知，平面所以,中，中垂線，所以由勾股定理可得，所以，又,所以平面PBD,又，所以平面PBD,過D作于點(diǎn)F，因?yàn)镈F平面PBD,所以，因?yàn)?所以DF面PBC，所以直線BD與平面PBC夾角即為中，，所以直線BD與平面PBC夾角的正弦值為.C綜合素養(yǎng)1．（多選）（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)A，C分別位于BD兩側(cè)，則（

）

A． B．C．多面體的外接球的表面積為 D．點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長之比為【答案】AD【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由，所以，又，平面，所以平面，將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，所以平面，所以，故A正確；因?yàn)槠矫妫?，故B不正確；

因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，，可得：，，所以平面，所以平面，同理平面，由已知為正方形，所以可將多面體放入邊長為的正方體，

則多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項(xiàng)C不正確；由題意轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長為，轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長為，所以點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長之比為，故D正確.故選：AD.2．（多選）（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正四棱柱中，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面BEFB．直線與直線BF所成的角為C．平面BEF與平面ABCD的夾角為D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，如圖，連接，由題意，又E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，可得，若平面BEF，則，進(jìn)而．這顯然不成立，故與平面BEF不垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)直線與直線BF所成的角為，即，由正四棱柱的性質(zhì)可知平面，而平面，所以，又與相交，、面，所以平面，而由正四棱柱的性質(zhì)可知平面，所以，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于C，分別延長，DA交于點(diǎn)P，連接PB，則直線PB即為平面與平面ABCD的交線．連接BD，，因?yàn)榍?，所以，所以，又平面，面，所以，又面，所以平面，又面，所以，所以即為平面BEF與平面ABCD的夾角，易知，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，可證，則直線與平面ABCD所成的角為，又根據(jù)題意易知，D正確．故選：ABC．3．（2023春·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）在邊長為的正方形中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)（如圖a），將，，分別沿，，折起，使B，A，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，得到三棱錐（如圖b），設(shè)，，與平面所成角分別為，，，平面，平面，平面與平面所成角分別為，，，則__________．

【答案】2【詳解】折疊前后不變性知兩兩垂直，，如圖取MN的中點(diǎn)P，連接GP，DP，

因?yàn)?，故為二面角的平面角，在中，，過點(diǎn)G作PD的垂線交于點(diǎn)H，則平面，在中用等面積得：，故：．過點(diǎn)H作ND的垂線交于點(diǎn)E，則，故為二面角的平面角，即為，在，同理，故．故答案為：24．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎睦忮F的底面為梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

(1)判斷直線和的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若點(diǎn)到平面的距離為，請(qǐng)從下列①②中選出一個(gè)作為已知條件，求二面角余弦值大?。伲虎跒槎娼堑钠矫娼牵敬鸢浮?1)相交，理由見解析(2)【詳解】（1）且，延長必交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)，平面，平面，且，，平面，平面，又平面，平面，