2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第8章立體幾何第5講直線平面垂直的判定及性質(zhì)學(xué)案含解析北師大版

PAGE13-第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)整合1．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義假如一條直線l與平面α內(nèi)的eq\x(\s\up1(01))隨意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α相互垂直．(2)直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的eq\x(\s\up1(02))兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直?l⊥α(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線eq\x(\s\up1(07))平行?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，假如它們所成的二面角是eq\x(\s\up1(10))直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面相互垂直．(2)平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的eq\x(\s\up1(11))垂線，則這兩個(gè)平面垂直?α⊥β(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于eq\x(\s\up1(14))交線的直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α3．直線與平面所成的角(1)定義：平面的一條直線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．(2)線面角θ的范圍：θ∈[0°，90°]．4．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線動(dòng)身的eq\x(\s\up1(19))兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：過(guò)二面角棱上的任一點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱eq\x(\s\up1(20))垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線．(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．(5)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．1．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，下列結(jié)論正確的是()A．若l⊥β，則α⊥β B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β D．若α∥β，則l∥m答案A解析依據(jù)線面垂直的判定定理知A正確；當(dāng)α⊥β，l?α，m?β時(shí)，l與m可能平行、相交或異面，故B錯(cuò)誤；當(dāng)l∥β，l?α?xí)r，α與β可能平行，也可能相交，故C錯(cuò)誤；當(dāng)α∥β，l?α，m?β時(shí)，l與m可能平行，也可能異面，故D錯(cuò)誤．故選A.2．(2024·浙江杭州模擬)已知相互垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿意m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析∵α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，∵n⊥β，∴n⊥l.故選C.3．(2024·廣東五校診斷考試)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若α∥β，m?α，n?β，則m∥n答案B解析A項(xiàng)，若α⊥β，m?α，n?β，則m∥n或m，n相交或m，n為異面直線，故不正確；C項(xiàng)，若m⊥n，m?α，n?β，則α，β有可能相交但不垂直，故不正確；D項(xiàng)，若α∥β，m?α，n?β，則m，n有可能是異面直線，故不正確，故選B.4．若a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則a⊥b的一個(gè)充分不必要條件是()A．a(chǎn)⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?βC．a(chǎn)⊥α，b∥α D．a(chǎn)⊥α，b⊥α答案C解析對(duì)于A，B，直線a，b可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線；對(duì)于C，在平面α內(nèi)存在c∥b，因?yàn)閍⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；對(duì)于D，肯定能推出a∥b.故選C.5．(2024·江西南昌模擬)如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部答案A解析由AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，則AC⊥平面ABD，而AC?平面ABC，則平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC與平面ABD的交線AB上，故選A.6．(2024·沈陽(yáng)模擬)已知P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正確的個(gè)數(shù)是________．答案3解析如圖所示．∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴PA⊥BC.同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不肯定垂直于BC.核心考向突破考向一有關(guān)垂直關(guān)系的推斷例1(1)已知平面α及α外的一條直線l，下列命題中不正確的是()A．若l垂直于α內(nèi)的兩條平行線，則l⊥αB．若l平行于α內(nèi)的一條直線，則l∥αC．若l垂直于α內(nèi)的兩條相交直線，則l⊥αD．若l平行于α內(nèi)的多數(shù)條直線，則l∥α答案A解析由直線與平面平行的有關(guān)定理和結(jié)論可知選項(xiàng)B，D正確，選項(xiàng)C是直線與平面垂直的判定定理，而A中，直線l可以是與平面α相交但不垂直的直線或平行的直線，故選A.(2)(2024·江西臨川一中期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E①CC1與B1E是異面直線；②AE與B1C1是異面直線，且AE⊥B1C1；③AC⊥平面ABB1A1；④A1C1∥平面A．② B．①③C．①④ D．②④答案A解析對(duì)于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，AE，B1C1為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC，又因?yàn)锽1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正確；對(duì)于③，上底面ABC是一個(gè)正三角形，不行能存在AC⊥平面ABB1A1，故錯(cuò)誤；對(duì)于④，A1C1所在的平面與平面推斷垂直關(guān)系需留意的問(wèn)題(1)作圖要嫻熟，借助幾何圖形來(lái)說(shuō)明線面關(guān)系要做到作圖快、準(zhǔn)．(2)擅長(zhǎng)找尋反例，若存在反例，結(jié)論就被駁倒了．(3)要思索完整，反復(fù)驗(yàn)證全部可能的狀況，必要時(shí)要運(yùn)用判定或性質(zhì)定理進(jìn)行簡(jiǎn)潔說(shuō)明．[即時(shí)訓(xùn)練]1.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中肯定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β答案B解析因?yàn)棣痢挺拢琺?α，則m，β的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交、m在β面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確；若α⊥β，m∥α，則m，β的位置關(guān)系也不確定，故C錯(cuò)誤；若m⊥n，n∥β，則m，β的位置關(guān)系也不確定，故D錯(cuò)誤．故選B.2．(2024·銀川模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()A．AH⊥平面EFH B．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案A解析由平面圖形，得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，故選A.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)角度1利用線線垂直證明線面垂直例2(1)(2024·河北唐山一模)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，以EF為折痕把△AEF折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB＝BE.①證明：BC⊥平面PBE；②求點(diǎn)F到平面PEC的距離．解①證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，所以EF∥BC，因?yàn)椤螦BC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又因?yàn)锽E∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE，所以BC⊥平面PBE.②取BE的中點(diǎn)O，連接PO，由①，知BC⊥平面PBE，BC?平面BCFE，所以平面PBE⊥平面BCFE，因?yàn)镻B＝BE＝PE，所以PO⊥BE，又因?yàn)镻O?平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE，在Rt△POC中，PC＝eq\r(PO2＋OC2)＝2eq\r(5)，在Rt△EBC中，EC＝eq\r(EB2＋BC2)＝2eq\r(5)，在△PEC中，PC＝EC＝2eq\r(5)，PE＝2，所以S△PEC＝eq\r(19)，又因?yàn)镾△ECF＝2，設(shè)點(diǎn)F到平面PEC的距離為d，由VF－PEC＝VP－ECF，得S△PEC·d＝S△ECF·PO，即eq\r(19)×d＝2×eq\r(3)，所以d＝eq\f(2\r(57),19).即點(diǎn)F到平面PEC的距離為eq\f(2\r(57),19).(2)(2024·廣東揭陽(yáng)二模)已知如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2eq\r(2)，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為C1D1，A1D1，B1C1的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的平面α與平面DEF平行，且與長(zhǎng)方體的相應(yīng)面相交，交線圍成一個(gè)幾何圖形．①在圖中畫出這個(gè)幾何圖形，并求這個(gè)幾何圖形的面積(畫圖說(shuō)出作法，不用說(shuō)明理由)；②求證：D1B⊥平面DEF.解①設(shè)N為A1B1的中點(diǎn)，連接MN，AN，AC，CM，則四邊形MNAC為所作圖形．連接A1C1，易知MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，又因?yàn)锳1C1綊AC，所以四邊形MNAC為梯形，且MN＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，過(guò)M作MP⊥AC于點(diǎn)P，因?yàn)镸C＝eq\r(8＋4)＝2eq\r(3)，PC＝eq\f(AC－MN,2)＝eq\r(2)，所以MP＝eq\r(MC2－PC2)＝eq\r(10)，所以梯形MNAC的面積S＝eq\f(1,2)×(2eq\r(2)＋4eq\r(2))×eq\r(10)＝6eq\r(5).②證法一：在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)D1B1交EF于點(diǎn)Q，連接DQ，則Q為EF的中點(diǎn)并且為D1B1的四等分點(diǎn)，如圖，D1Q＝eq\f(1,4)×4eq\r(2)＝eq\r(2)，由DE＝DF，得DQ⊥EF，又因?yàn)锽1D1⊥EF，B1D1∩DQ＝Q，所以EF⊥平面BB1D1D，則EF⊥D1B.因?yàn)閑q\f(D1Q,D1D)＝eq\f(D1D,DB)＝eq\f(1,2)，且∠QD1D＝∠D1DB，則△QD1D∽△D1DB，所以∠D1QD＝∠BD1D，所以∠QD1B＋∠D1QD＝∠DD1B＋∠BD1Q＝90°，所以DQ⊥D1B，又因?yàn)镋F∩DQ＝Q，所以D1B⊥平面DEF.證法二：設(shè)D1B1交EF于點(diǎn)Q，連接DQ，則Q為EF的中點(diǎn)，且為D1B1的四等分點(diǎn)，D1Q＝eq\f(1,4)×4eq\r(2)＝eq\r(2)，由BB1⊥平面A1B1C1D1，知BB1⊥EF又因?yàn)锽1D1⊥EF，BB1∩B1D1＝B1，所以EF⊥平面BB1D1D，所以EF⊥D1B，由eq\f(D1Q,D1D)＝eq\f(D1D,DB)＝eq\f(1,2)，得tan∠QDD1＝tan∠D1BD，得∠QDD1＝∠D1BD，所以∠QDB＋∠D1BD＝∠QDB＋∠QDD1＝90°，所以DQ⊥D1B，又因?yàn)镈Q∩EF＝Q，所以D1B⊥平面DEF.角度2利用線面垂直證明線線垂直例3(1)(2024·廣東韶關(guān)模擬)如圖，四邊形ABCD是直角梯形，其中BC＝CD＝1，AD＝2，∠ADC＝90°.點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起如圖，使得A′E⊥平面BCDE.點(diǎn)M，N分別是線段A′B，EC的中點(diǎn)．①求證：MN⊥BE；②求三棱錐E－BNM的體積．解①證明：∵AD＝2，且點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)∴ED＝1.∵四邊形ABCD是直角梯形，BC＝1，∴ED綊BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵BC＝CD＝DE＝1，∠ADC＝90°，∴四邊形BCDE為正方形．∵N是EC的中點(diǎn)，∴N是BD的中點(diǎn)．又M是A′B的中點(diǎn)，∴MN∥A′D.∵A′E⊥平面BCDE，∴BE⊥A′E，又BE⊥ED，且A′E∩ED＝E，∴BE⊥平面A′ED，∴BE⊥A′D，則BE⊥MN.②∵A′E⊥平面BCDE，且M是線段A′B的中點(diǎn)，∴M究竟面BEN的距離為eq\f(1,2)A′E＝eq\f(1,2)，又正方形BCDE的邊長(zhǎng)為1，∴S△BNE＝eq\f(1,4)×1×1＝eq\f(1,4).∴三棱錐E－BNM的體積V＝VM－BEN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24).(2)(2024·北師大試驗(yàn)中學(xué)3月模擬)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，AN⊥SC，交SC于點(diǎn)N.①求證：SC⊥AM；②求△AMN的面積．解①證明：∵SA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴SA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩SA＝A，∴CD⊥平面SAD.∵AM?平面SAD，∴CD⊥AM.又SA＝AD＝1，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，∴AM⊥SD.∵SD∩CD＝D，∴AM⊥平面SCD.∵SC?平面SDC，∴SC⊥AM.②∵M(jìn)是SD的中點(diǎn)，∴VS－ACM＝VD－ACM＝VM－ADC，∴VS－ACM＝eq\f(1,3)S△ACD·eq\f(1,2)SA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)，∵AN⊥SC，SC⊥AM，AN∩AM＝A，∴SC⊥平面AMN，∴VS－ACM＝eq\f(1,3)S△AMN·SC.∵SC＝eq\r(3)，∴△AMN的面積S△AMN＝eq\f(3VS－ACM,SC)＝eq\f(\r(3),12).(1)證明線線垂直的常用方法①利用特別圖形中的垂直關(guān)系．②利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)③利用勾股定理的逆定理．④利用直線與平面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的常用方法①利用線面垂直的判定定理，它是最常用的思路．②利用線面垂直的性質(zhì)：若兩條平行線之一垂直于平面，則另一條線必垂直于該平面．③利用面面垂直的性質(zhì)：a.兩個(gè)平面相互垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面．b．若兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線垂直于第三個(gè)平面．[即時(shí)訓(xùn)練]3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PC上，且PM＝2MC，N為AD的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥平面PNB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P－NBM的體積．解(1)證明：連接BD.∵PA＝PD，N為AD的中點(diǎn)，∴PN⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BN⊥AD.又PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB.(2)∵PA＝PD＝AD＝2，∴PN＝NB＝eq\r(3).又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，∴PN⊥平面ABCD，∴PN⊥NB，∴S△PNB＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)＝eq\f(3,2).∵AD⊥平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB.又PM＝2MC，∴VP－NBM＝VM－PNB＝eq\f(2,3)VC－PNB＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×2＝eq\f(2,3).4．(2024·湖南六校聯(lián)考)如圖，幾何體的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥底面ABCD，F(xiàn)D⊥底面ABCD，EB＝2FD＝4.(1)求證：EF⊥AC；(2)求幾何體EFABCD的體積．

解(1)證明：連接BD，∵FD⊥底面ABCD，EB⊥底面ABCD，∴EB∥FD，AC⊥EB，且E，F(xiàn)，D，B四點(diǎn)共面，設(shè)DB∩AC＝O，∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥DB，又DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB.∵EF?平面EFDB，∴AC⊥EF.(2)∵EB∥FD，EB⊥BD，∴四邊形EFDB為直角梯形，在菱形ABCD中，∵∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝eq\r(3)，∴梯形EFDB的面積S＝eq\f(2＋4×2,2)＝6.∵AC⊥平面EFDB，∴VEFABCD＝VC－EFDB＋VA－EFDB＝eq\f(1,3)S·AO＋eq\f(1,3)S·CO＝4eq\r(3).考向三面面垂直的判定與性質(zhì)例4(1)(2024·陜西漢中重點(diǎn)中學(xué)3月聯(lián)考)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，AA1⊥平面ABCD.AB＝2AD＝4，∠DAB①證明：平面D1BC⊥平面D1BD；②若直線D1B與底面ABCD所成的角為30°，M，N，Q分別為BD，CD，D1D的中點(diǎn)，求三棱錐C－MNQ的體積．解①證明：∵D1D⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴D1D⊥BC.又AB＝4，AD＝2，∠DAB＝60°，∴BD＝eq\r(22＋42－2×2×4×cos60°)＝2eq\r(3)，∵AD2＋BD2＝AB2，∴AD⊥BD.又AD∥BC，∴BC⊥BD.又D1D∩BD＝D，BD?平面D1BD，D1D?平面D1BD，∴BC⊥平面D1BD，而BC?平面D1BC，∴平面D1BC⊥平面D1BD.②∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即為直線D1B與底面ABCD所成的角，即∠D1BD＝30°，而BD＝2eq\r(3)，∴DD1＝2，又VC－MNQ＝VQ－CMN＝eq\f(1,4)VQ－BDC，∴VC－MNQ＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×1＝eq\f(\r(3),6).(2)(2024·河南焦作四模)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為正三角形，AA1⊥底面ABC，AA1＝3AB，點(diǎn)E在線段CC1上，平面AEB1⊥平面AA1B1B.①請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置，并給出證明；②若AB＝1，求點(diǎn)B1到平面ABE的距離．解①點(diǎn)E為線段CC1的中點(diǎn)．證明如下：取AB的中點(diǎn)為F，AB1的中點(diǎn)為G，連接CF，F(xiàn)G，EG.則FG∥CE，F(xiàn)G＝CE，所以四邊形FGEC為平行四邊形．所以CF∥EG.因?yàn)镃A＝CB，AF＝BF，所以CF⊥AB.又因?yàn)锳A1⊥底面ABC，CF?底面ABC，所以AA1⊥CF.又因?yàn)锳A1∩AB＝A，所以CF⊥平面AA1B1B.所以EG⊥平面AA1B1B，而EG?平面AEB1，所以平面AEB1⊥平面AA1B1B.②由AB＝1，得AA1＝3.由①可知，點(diǎn)E到平面ABB1的距離為EG＝CF＝eq\f(\r(3),2).而△ABB1的面積S△ABB1＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2)，AE＝BE＝eq\f(\r(13),2)，等腰△ABE底邊AB上的高為eq\r(\f(13,4)－\f(1,4))＝eq\r(3).記點(diǎn)B1到平面ABE的距離為h，由VB1－ABE＝VE－ABB1?eq\f(1,3)×h×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),2)，解