2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)統(tǒng)考第8章立體幾何第2講空間幾何體的表面積和體積學(xué)案含解析北師大版

PAGE16-第2講空間幾何體的表面積和體積基礎(chǔ)學(xué)問整合1．多面體的表面積、側(cè)面積因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是eq\x(\s\up1(01))側(cè)面綻開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面綻開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝eq\x(\s\up1(02))2πrlS圓錐側(cè)＝eq\x(\s\up1(03))πrlS圓臺側(cè)＝eq\x(\s\up1(04))π(r1＋r2)l3．柱、錐、臺和球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝eq\x(\s\up1(05))Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\x(\s\up1(06))eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝eq\x(\s\up1(07))4πr2V＝eq\x(\s\up1(08))eq\f(4,3)πr31．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差．(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等．2．幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)直棱柱的外接球半徑可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，可知球心為上下底面外接圓圓心連線的中點，再依據(jù)勾股定理求球的半徑．(4)設(shè)正四面體的棱長為a，則它的高為eq\f(\r(6),3)a，內(nèi)切球半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R＝eq\f(\r(6),4)a.正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.1．(2024·福州二模)設(shè)一個球形西瓜，切下一刀后所得切面圓的半徑為4，球心到切面圓心的距離為3，則該西瓜的體積為()A．100πB.eq\f(256π,3)C.eq\f(400π,3)D.eq\f(500π,3)答案D解析由題意知切面圓的半徑r＝4，球心到切面的距離d＝3，所以球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝eq\r(42＋32)＝5，故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)，即該西瓜的體積為eq\f(500π,3).2．(2024·安徽蚌埠質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則它的體積為()A．π＋eq\f(4,3) B．π＋2C．2π＋eq\f(4,3) D．2π＋2答案A解析由三視圖可知，該幾何體由半個圓柱和一個三棱錐組合而成．故該幾何體的體積為eq\f(1,2)×π×12×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝π＋eq\f(4,3).3．(2024·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析由三視圖知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，即如圖所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三視圖中的數(shù)據(jù)可知底面梯形的兩底分別為1和2，高為2，所以S底面＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3.因為直四棱柱的高為2，所以體積V＝3×2＝6.故選C.4．(2024·北京東城區(qū)模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5答案C解析該三棱錐的直觀圖如圖所示，過點D作DE⊥BC，交BC于點E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝2＋2eq\r(5).故選C.5．如圖，半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的棱長為eq\r(6)，則球的表面積和體積分別為________，________.答案36π36π解析底面中心與C′的連線即為半徑，設(shè)球的半徑為R，則R2＝(eq\r(6))2＋(eq\r(3))2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝eq\f(4,3)πR3＝36π.6．如圖所示，已知球O的球面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(3)，則球O的體積等于________．答案eq\f(9π,2)解析由題意知，DC邊的中點就是球心O，∵它到D，A，C，B四點的距離相等，∴球的半徑R＝eq\f(1,2)CD，又AB＝BC＝eq\r(3)，∴AC＝eq\r(6)，∴CD＝eq\r(AC2＋AD2)＝3，∴R＝eq\f(3,2)，∴V球O＝eq\f(4π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).核心考向突破考向一幾何體的表面積例1(1)(2024·衡水模擬)如圖是某個幾何體的三視圖，則這個幾何體的表面積是()A．π＋4eq\r(2)＋4 B．2π＋4eq\r(2)＋4C．2π＋4eq\r(2)＋2 D．2π＋2eq\r(2)＋4答案B解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由半圓柱與三棱柱組成的幾何體，其直觀圖如圖所示，其表面積S＝2×eq\f(1,2)π×12＋π×1×1＋2×eq\f(1,2)×2×1＋(eq\r(2)＋eq\r(2)＋2)×2－2×1＝2π＋4eq\r(2)＋4.故選B.(2)(2024·鄭州二模)如圖是某幾何體的三視圖，圖中方格的單位長度為1，則該幾何體的表面積為________．答案8＋4eq\r(5)解析由三視圖，知該幾何體為三棱錐，將該幾何體放在長方體中如圖所示，由題意可知長方體的長、寬、高分別為2,2,4，由BC＝2，CD＝2計算，得BD＝2eq\r(2)，AD＝2eq\r(5)，AB＝2eq\r(5)，所以S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2，S△ADC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(5)＝2eq\r(5)，因為△ABD為等腰三角形，高為eq\r(2\r(5)2－\r(2)2)＝3eq\r(2)，所以S△ABD＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×3eq\r(2)＝6，所以該幾何體的表面積為2＋2eq\r(5)＋2eq\r(5)＋6＝8＋4eq\r(5).幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和．(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．(3)簡潔組合體：應(yīng)弄清各構(gòu)成部分，并留意重合部分的刪、補．(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是依據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．[即時訓(xùn)練]1.(2024·山東濰坊模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π答案C解析由三視圖可知該幾何體為組合體，上半部分為圓柱，下半部分為圓錐，圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為3，高為4，則該幾何體的表面積S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故選C.2．(2024·河北承德模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的表面積為()A．8＋4eq\r(2)＋2eq\r(5) B．6＋4eq\r(2)＋4eq\r(5)C．6＋2eq\r(2)＋2eq\r(5) D．8＋2eq\r(2)＋2eq\r(5)答案C解析由三視圖可知，該幾何體為放在正方體內(nèi)的四棱錐E－ABCD，如圖，正方體的棱長為2，該四棱錐底面為正方形，面積為4，前后兩個側(cè)面為等腰三角形，面積分別為2eq\r(2)，2，左右兩個側(cè)面為直角三角形，面積都為eq\r(5)，可得這個幾何體的表面積為6＋2eq\r(2)＋2eq\r(5)，故選C.精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破考向二幾何體的體積角度1補形法求體積例2(1)(2024·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36π答案B解析(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱截去上面虛線部分所得，如圖所示．將圓柱補全，并將圓柱從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.故選B.(2)(2024·北京高考)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示．假如網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為________．答案40解析由題意知去掉的四棱柱的底面為直角梯形，底面積S＝(2＋4)×2÷2＝6，高為正方體的棱長4，所以去掉的四棱柱的體積為6×4＝24.又正方體的體積為43＝64，所以該幾何體的體積為64－24＝40.角度2分割法求體積例3(1)(2024·山西五校聯(lián)考)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊柱的楔體，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()A．5000立方尺 B．5500立方尺C．6000立方尺 D．6500立方尺答案A解析該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F－GBCH與三棱柱ADE－GHF的體積之和．又可以將三棱柱ADE－GHF割補成高為EF，底面積為S＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)(平方丈)的一個直棱柱，故該楔體的體積V＝eq\f(3,2)×2＋eq\f(1,3)×2×3×1＝5(立方丈)＝5000(立方尺)．故選A.(2)(2024·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的宏大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A．158 B．162C．182 D．324答案B解析如圖，該柱體是一個五棱柱，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27，因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.故選B.角度3轉(zhuǎn)化法求體積例4(1)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F(xiàn)分別是棱BB1，CC1上的點，則三棱錐A－A1EF答案8eq\r(3)解析由正三棱柱的底面邊長為4，得點F到平面A1AE的距離(等于點C到平面A1ABB1的距離)為eq\f(\r(3),2)×4＝2eq\r(3)，則V三棱錐A－A1EF＝V三棱錐F－A1AE＝eq\f(1,3)S△A1AE×2eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×4×2eq\r(3)＝8eq\r(3).(2)在三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，三棱錐P－ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝________.答案eq\f(1,4)解析如圖所示，由于D，E分別是邊PB與PC的中點，所以S△BDE＝eq\f(1,4)S△PBC.又因為三棱錐A－BDE與三棱錐A－PBC的高相等，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).(1)處理體積問題的思路(2)求體積的常用方法干脆法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式干脆計算割補法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體、不熟識的幾何體補成熟識的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任何一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換[即時訓(xùn)練]3.(2024·河北滄州質(zhì)檢)《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，書中有關(guān)于“塹堵”的記載，“塹堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“塹堵”被一個平面截去一部分后，剩下部分的三視圖如圖所示，則剩下部分的體積是()A．50 B．75C．25.5 D．37.5答案D解析如圖，由題意及給定的三視圖可知，剩余部分是在直三棱柱的基礎(chǔ)上，截去一個四棱錐C1－MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰長為5的等腰直角三角形，高為5.圖中幾何體ABCC1MN為剩余部分，因為AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分的體積V＝V三棱柱A1B1C1－ABC－V四棱錐C1－A1B1NM＝eq\f(1,2)×5×5×5－eq\f(1,3)×3×5×5＝37.5，故選D.4．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－答案eq\f(1,6)解析三棱錐D1－EDF的體積即為三棱錐F－DD1E的體積．因為E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值eq\f(1,2)，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以V三棱錐F－DD1E＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).考向三與球有關(guān)的切、接問題例5(1)(2024·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P－ABC的四個頂點在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF＝90°，則球O的體積為()A．8eq\r(6)π B．4eq\r(6)πC．2eq\r(6)πD.eq\r(6)π答案D解析設(shè)PA＝PB＝PC＝2a則EF＝a，F(xiàn)C＝eq\r(3)，∴EC2＝3－a2.在△PEC中，cos∠PEC＝eq\f(a2＋3－a2－2a2,2a\r(3－a2)).在△AEC中，cos∠AEC＝eq\f(a2＋3－a2－4,2a\r(3－a2)).∵∠PEC與∠AEC互補，∴3－4a2＝1，a＝eq\f(\r(2),2)，故PA＝PB＝PC＝eq\r(2).又AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，∴外接球的直徑2R＝eq\r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝eq\r(6)，∴R＝eq\f(\r(6),2)，∴V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))3＝eq\r(6)π.故選D.(2)(2024·沈陽市東北育才學(xué)校模擬)將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為()A．π B．2πC．3π D．4π答案B解析將半徑為3，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形圍成一個圓錐，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為R，則有2πR＝3×eq\f(2π,3)，所以R＝1，設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r，結(jié)合圓錐和球的特征，可知內(nèi)切球的球心必在圓錐的高線上，設(shè)圓錐的高為h，因為圓錐的母線長為3，所以h＝eq\r(9－1)＝2eq\r(2)，所以eq\f(r,h－r)＝eq\f(R,3)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，因此內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝2π.故選B.“切”“接”問題的處理規(guī)律(1)“切”的處理解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切于多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決．假如內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面．(2)“接”的處理把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．[即時訓(xùn)練]5.(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)答案B解析如圖所示，點M為三角形ABC的重心，E為AC的中點，當(dāng)DM⊥平面ABC時，三棱錐D－ABC體積最大，此時，OD＝OB＝R＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，∴AB＝6，∵點M為三角形ABC的重心，∴BM＝eq\f(2,3)BE＝2eq\r(3)，∴在Rt△OMB中，有OM＝eq\r(OB2－BM2)＝2.∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱錐D－ABC)max＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故選B.6．(2024·漳州模擬)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，A.eq\f(29,4)B.eq\f(19,2)C.eq\f(29,2) D．29答案A解析由底面三角形的三邊長可知，底面三角形為直角三角形，內(nèi)切球半徑r＝eq\f(AA1,2)＝1，取AC，A1C1的中點D，E，則外接球球心是DE的中點O，由A1C1＝5，AA1＝2，得AC1＝eq\r(29)，所以外接球半徑R＝OA＝eq\f(\r(29),2)，所以eq\f(S外,S內(nèi))＝eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(29,4)，故選A.

1．(2024·鄭州二模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的外接球的體積為()A.eq\f(45\r(5)π,2) B.eq\f(135\r(5)π,2)C．180eq\r(5)π D．90eq\r(5)π答案A解析構(gòu)造底面邊長為3,6，高為3的長方體，由三視圖可知，該幾何體是如圖1中所示的三棱錐P－ABC.所以在該三棱錐中，PA⊥底面ABC，并且AB⊥AC，把該三棱錐放在如圖2所示的底面邊長為3eq\r(2)，高為3的長方體中，則該三棱錐的外接球就是該長方體的外接球，設(shè)該三棱錐的外接球的半徑為R，則有(2R)2＝32＋(3eq\r(2))2＋(3eq\r(2))2＝45，解得R＝eq\f(3\r(5),2)，所以該三棱錐的外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),2)))3＝eq\f(45\r(5)π,2)，故選A.2．(2024·寶雞中學(xué)高三第一次模擬)已知一個四面體ABCD的每個頂點都在表面積為9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝eq\r(5)，則a＝________.答案2eq\r(2)解析由題意，知四面體ABCD的對棱都相等，故該四面體可以通過補形補成一個長方體，如圖所示．設(shè)AF＝x，BF＝y(tǒng)，CF＝z，則eq\r(x2＋z2)＝eq\r(y2＋z2)＝eq\r(5)，又4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x2＋y2＋z2),2)))2＝9π，解得x＝y(tǒng)＝2，∴a＝eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(2).答題啟示1．若四面體中有三條棱兩兩垂直，則方法是找到三條兩兩相互垂直的棱，借助墻角模型補成長方體(如圖)，用公式eq\r(a2