2025年外研版高二數(shù)學下冊階段測試試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高二數(shù)學下冊階段測試試卷972考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、設非零復數(shù)x，y滿足x2+xy+y2=0，則的值為（）

A.2-2008

B.-1

C.1

D.0

2、【題文】已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為()A.B.C.－D.－3、【題文】已知sin2α=則cos2(α+)=（）A.B.C.D.4、【題文】已知則()A.B.C.D.以上都有可能5、（2015·安徽）已知m，n是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題正確的是A.若垂直于同一平面，則與平行B.若m，n平行于同一平面，則m與n平行C.若不平行，則在內不存在與平行的直線D.若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面6、已知向量夾角為60°，則m的值是（）A.B.C.D.評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)7、把一個正方體木塊的表面涂成紅色，然后分割成全等的64塊小正方體，再把它們放入一個袋子中攪勻，從中任取兩塊，則這兩塊中有一塊恰有一個面是紅色，另一塊沒有紅色的面的概率為____．8、【題文】在R上定義運算@/:@/則滿足@/的的____是____.9、【題文】.設的外接圓半徑為且已知則＝________．10、【題文】.若則____．11、已知點F1（-0），F(xiàn)2（0），動點P滿足|PF2|-|PF1|=2，當點P的縱坐標為時，點P到坐標原點的距離為______．12、橢圓ax2+by2=1（a＞0，b＞0，a≠b）與直線y=1-2x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為則的值為______．13、如圖，在直三棱柱A1B1C1鈭?ABC

中，隆脧BAC=婁脨2,AB=AC=A1A=1

已知G

與E

分別是棱A1B1

和CC1

的中點，D

與F

分別是線段AC

與AB

上的動點(

不包括端點).

若GD隆脥EF

則線段DF

的長度的取值范圍是______．評卷人得分三、作圖題(共6題，共12分)14、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

15、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）16、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）17、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

18、A是銳角MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）19、已知，A，B在直線l的兩側，在l上求一點，使得PA+PB最小．（如圖所示）評卷人得分四、解答題(共4題，共24分)20、在△ABC中，a，b，c表示角A，B，C的對邊，且P=．

求證：

（1）S△ABC=

（2）△ABC中，內切圓的半徑為r，則r=．

21、【題文】（本小題滿分12分）在△ABC中，分別為角A,B,C所對的三邊。

（1）若求角A；

（2）若BC=A=設B=△ABC的面積為求函數(shù)的關系式及其最值，并確定此時的值。22、計算求值：

（1）計算（sin+cos）2dx；

（2）已知復數(shù)z滿足z?-i（）=1-（），求z．23、一臺機器使用的時間較長；但還可以使用，它按不同的轉速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少，隨機器的運轉的速度而變化，下表為抽樣試驗的結果：

。轉速x（轉/秒）24568每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y（件）3040605070（1）如果y對x有線性相關關系；求回歸直線方程；

（2）若實際生產(chǎn)中；允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為89個，那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內？

附：最小二乘法估計公式分別為：==-

參考數(shù)值：=1380，=145．評卷人得分五、計算題(共3題，共6分)24、解不等式組．25、解不等式組：．26、在（1+x）6（1+y）4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．評卷人得分六、綜合題(共3題，共18分)27、如圖，在直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當AD+CD最小時點D的坐標；

（3）以點A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點的另一個坐標：____．28、（2009?新洲區(qū)校級模擬）如圖，已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a、b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．則AF?BE=____．29、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、B【分析】

將已知方程變形為+=-1，解這個一元二次方程，得=ω；

顯然有ω3=1，1+ω=-ω2；

則原式=（）2+（）2=+=+==-1；

故選B．

【解析】【答案】將已知方程x2+xy+y2=0變形為+=-1，解得=ω，利用ω3=1，1+ω=-ω2；進行求解即可．

2、A【分析】【解析】＝(2,1)，＝(5,5)，所以在方向上的投。

影為＝【解析】【答案】A3、A【分析】【解析】===故選A.

【考點定位】本小題主要考查三角中的二倍角公式、誘導公式等公式的應用，屬容易題，熟練基礎知識是關鍵.【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】

故選B【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】由A，若與垂直于同一平面，則可以相交、平行，故A不正確；由B，若m，n平行于同一平面，則m，n可以平行、重合、相交、異面，故B，不正確；由C，若不平行，但平面內會存在平行于的直線，如平面中平行于交線的直線；由D項；其逆命題為‘’若m與n垂直于同一平面，則m，n平行‘’是真命題，故D項正確，所以選D

【分析】空間直線，平面平行或垂直等位置關系命題的真假判斷，常采用畫圖、現(xiàn)實實物判斷法、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆命題真假，原命題與否命題等價。6、C【分析】解：∵向量夾角為60°，

∴===3．

∵∴==27m+3（5m-3）-20=0，解得m=．

故選C．

利用?=0和數(shù)量積運算即可解得m．

熟練掌握數(shù)量積運算、向量垂直與數(shù)量積的關系是解題的關鍵．【解析】【答案】C二、填空題(共7題，共14分)7、略

【分析】

所有的取法共有種；因為各個面都沒有涂顏色的小正方體共有8個，恰有一個面是紅色的正方體共有4×6=24個；

故這兩塊中有一塊恰有一個面是紅色，另一塊沒有紅色的面的概率為=

故答案為．

【解析】【答案】所有的取法共有種；因為各個面都沒有涂顏色的小正方體共有8個，恰有一個面是紅色的正方體共有4×6=24個，由此求得所求事件的概率．

8、略

【分析】【解析】解：因為R上定義運算@/:@/則。

@/

【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

試題分析：由

考點：二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關系式，湊配角【解析】【答案】211、略

【分析】解：∵點F1（-0），F(xiàn)2（0）；

動點P滿足|PF2|-|PF1|=2；

∴動點P是雙曲線x2-y2=1的左支上的一點；

∵∴xP2=1+=

∴點P到坐標原點的距離d==．

故答案為：．

利用雙曲線定義和兩點間距離公式求解．

本題考查點到原點的距離的求法，是基礎題，解題時要注意雙曲線定義的靈活運用．【解析】12、略

【分析】解：設：點A（x1，y1），B（x2，y2）；

把y=1-2x代入橢圓ax2+by2=1得：（a+4b）x2-4bx+b-1=0；

△=（-4b）2-4（a+4b）（b-1）=4a+16b-4ab①．

x1+x2=x1x2=．

=

===1-（x1+x2）=1-=．

設M是線段AB的中點，∴M（）．

∴直線OM的斜率為==．

則=．代入①滿足△＞0（a＞0，b＞0）．

故答案為：．

設出A，B兩點的坐標，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關系得到A，B兩點的橫縱坐標的和，則A，B中點坐標可求，由斜率公式列式可得的值．

本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了一元二次方程的根與系數(shù)關系，訓練了斜率公式的應用，是中檔題．【解析】13、略

【分析】解：以A

為原點，AB

為x

軸，AC

為y

軸，AA1

為z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)E(0,1,12)G(12,0,1)F(x,0,0)D(0,y,0)

GD鈫?=(鈭?12,y,鈭?1)EF鈫?=(x,鈭?1,鈭?12)

隆脽GD隆脥EF隆脿GD鈫?鈰?EF鈫?=鈭?12x鈭?y+12=0

即x+2y鈭?1=0

隆脿DF=x2+y2=5y2鈭?4y+1=5(y鈭?25)2+15

隆脽0<x<10<y<1

隆脿0<y<12

當y=25

時，線段DF

長度的最小值15=55

當y=0

時；線段DF

長度的最大值是1

而不包括端點；故y=0

不能取1

．

隆脿

線段DF

的長度的取值范圍是[55,1)

．

故答案為：[55,1)

．

以A

為原點；AB

為x

軸，AC

為y

軸，AA1

為z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出線段DF

的長度的取值范圍．

本題考查線段長的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．【解析】[55,1)

三、作圖題(共6題，共12分)14、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

15、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最?。?/p>

理由是兩點之間，線段最短．17、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質作出B點與河面的對稱點B′，連接AB′，AB′與河面的交點C即為所求．【解析】【解答】解：作B點與河面的對稱點B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點之間線段最短的性質可知；C點即為所求．

18、略

【分析】【分析】作出A關于OM的對稱點A'，關于ON的A對稱點A''，連接A'A''，根據(jù)兩點之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關于OM的對稱點A'；關于ON的A對稱點A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關于OM對稱；A與A″關于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點之間，線段最短，連接兩點與直線的交點即為所求作的點．【解析】【解答】解：連接兩點與直線的交點即為所求作的點P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點之間，線段最短．四、解答題(共4題，共24分)20、略

【分析】

（1）因為三角形的三邊a、b；c的對角分別為A、B、C；由余弦定理得；

cosC=

S=absinC

=ab

=ab

=

設p=（a+b+c）

則p-a=（-a+b+c），p-b=（a-b+c），p-c=（a+b-c）；

上式=

=

所以，三角形ABC面積S=．

（2）△ABC中，內切圓的半徑為r，則=S△ABC=

=

即

所以r=．

【解析】【答案】（1）利用余弦定理與三角形的面積公式；直接通過因式分解，用三角公式和公式變形來證明．

（2）通過三角形的面積公式直接求出內接圓的半徑．

21、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（1）由得即又0＜A＜∴A=60o。

（2）∵∴

同理：

∴=

∵∴0＜＜∴＜＜當=即時，有最大值因此，當時，函數(shù)取得最大值無最小值。22、略

【分析】

（1）把被積函數(shù)平方；然后展開，求出各被積函數(shù)的原函數(shù)，分別代入積分上限和下限后作差得答案；

（2）設出復數(shù)z，代入z?-i（）=1-（）；由復數(shù)相等的條件列式求解．

本題考查了微積分基本定理，考查了復數(shù)相等的條件，是基礎的計算題．【解析】解：（1）

=

=

=

=

（2）設z=a+bi（a，b∈R）；

則由z?-i（）=1-（）；得。

a2+b2-i[3（a-bi）]=1+3i．

∴a2+b2-3b-3ai=1+3i．

∴．

解得：或．

∴z=-1或-1+3i．23、略

【分析】

（1）先求出橫標和縱標的平均數(shù)，代入求系數(shù)b的公式；利用最小二乘法得到系數(shù)，再根據(jù)公式求出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．

（2）允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件最多為89個；即線性回歸方程的預報值不大于89，寫出不等式，解關于x的一次不等式，得到要求的機器允許的轉數(shù)．

本題考查線性回歸分析，考查線性回歸方程，考查線性回歸方程的應用，考查不等式的解法，是一個綜合題目．【解析】解：（1）=5，=50，=1380，=145

∴==6.5，=-=17.5

∴回歸直線方程為：=6.5x+17.5；

（3）由y≤89得6.5x+17.5≤89；解得x≤11

∴機器的運轉速度應控制范圍為（0，11]．五、計算題(共3題，共6分)24、解：由{#mathml#}x+3x+1

{#/mathml#}≤2得：{#mathml#}x?1x+1

{#/mathml#}≥0，解得x＜﹣1或x≥1；由x2﹣6x﹣8＜0得：3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}＜x＜3+{#mathml#}17

{#/mathml#}，

∴不等式組得解集為（3﹣{#mathml#}17

{#/mathml#}，﹣1）∪[1，3+{#mathml#}17

{#/mathml#}）【分析】【分析】分別解不等式≤2與x2﹣6x﹣8＜0，最后取其交集即可．25、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集為（3，4）．【分析】【分析】根據(jù)不等式的解法即可得到結論．26、解：（1+x）6（1+y）4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系數(shù)是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系數(shù)是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系數(shù)是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項的系數(shù)，求和即可．六、綜合題(共3題，共18分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質，點B與點A關于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點；

設出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點D的坐標．

（3）由（2）可知，當AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點坐標，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點D與現(xiàn)在的點D關于x軸對稱，所以另一點D的坐標為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點D．

∵點B與點A關于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最小；點D的位置即為所求．（5分）

設直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點D的坐標為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數(shù)求點D的坐標也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設直線l與x軸的交點記為點E．

由（2）知：當AD+CD最小時；點D的坐標為（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD與⊙A相切．（9分）

②∵另一點D與D（1；2）關于x軸對稱；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根據(jù)OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，則△NBF也