第9章機(jī)器人線性控制

taskSetofpointsinCartesianspaceSetofpointsinjointspaceTrajectorygeneratorinjointspaceTrajectorygeneratorinCatesianspaceconvertorControlsystemSpatialdescriptionkinematicssmoothfunctionforinterpolatingKinematicsJacobiansdynamicskinematicsJacobians第九章機(jī)器人的線性控制

概述

線性控制僅適用于能夠用線性微分方程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的系統(tǒng).

第九章機(jī)器人的線性控制

概述

Wewillmodelamanipulatorasamechanismthatisinstrumentedwithsensorsateachjointtomeasurethejointangleandhasanactuatorateachjointtoapplyatorqueontheneighboringlink.Sometimesvelocitysensors(tachometers)arealsopresentatthejoints.Wewishtocausethemanipulatorjointstofollowprescribedpositiontrajectories,buttheactuatorsarecommandedintermsoftorque,sowemustusesomekindofcontrolsystemtocomputeappropriateactuatorcommandsthatwillrealizethisdesiredmotion.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.1反饋與閉環(huán)控制

1.開環(huán)控制

1由軌跡生成器給定關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度、關(guān)節(jié)角加速度

2用指定模型計算所需要的扭矩:

如果模型是完備和精確的，且沒有噪聲或者其它干擾存在，上式即可實現(xiàn)期望軌跡.

TrajectorygeneratorDynamicsRobot第八章機(jī)器人的線性控制

§9.1反饋與閉環(huán)控制

Imperfectioninthedynamicmodelandtheinevitablepresenceofdisturbancesmakesuchaschemeimpracticalforuseinrealapplications.

Suchacontroltechniqueistermedanopen-loopscheme,becausethereisnousemadeofthefeedbackfromjointsensors.

2.閉環(huán)系統(tǒng)

建立高性能的控制系統(tǒng)的唯一方法就是利用關(guān)節(jié)傳感器的反饋.

伺服誤差:Thecontrolsystemcanthencomputetorqueoftheactuatorsassomefunctionoftheservoerror.Thebasicideaistocomputeactuatortorquesthatwouldtendtoreduceservoerrors.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.1反饋與閉環(huán)控制

利用反饋的控制系統(tǒng)稱為閉環(huán)系統(tǒng).一個好的控制系所應(yīng)該具備的功能：這個系統(tǒng)應(yīng)該是一個穩(wěn)定的系統(tǒng).保證閉環(huán)系統(tǒng)的性能滿足要求.

第九章機(jī)器人的線性控制

§9.1反饋與閉環(huán)控制

1.二階線性系統(tǒng)

由質(zhì)量塊的受力圖得到運(yùn)動方程:

特征方程:

方程的根:第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

一種描述二階振動系統(tǒng)的兩個參數(shù)是阻尼比（dampingratio

）and固有頻率（naturalfrequency）:

對于有阻尼的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，阻尼比和固有頻率分別為:

當(dāng)無阻尼時(),阻尼比為0;對于臨界阻尼(),阻尼比是1.

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§9.2二階線性系統(tǒng)衰減系數(shù)阻尼振蕩頻率過阻尼(兩個不等實根):

主要受摩擦影響，緩慢回到平衡位置.欠阻尼(復(fù)根):

彈性力影響，出現(xiàn)振蕩.臨界阻尼(相等實根):

此時摩擦力與彈性力平衡，系統(tǒng)以最短時間回到平衡位置.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

時域特征指標(biāo)Risetime上升時間Settlingtime第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

2.二階系統(tǒng)的控制

Designacontrollersothatthesystemhassomedesiredcharacteristics.Typicalobjectives:穩(wěn)定:stabilizethesyatem.位置校正:regulatethesystemaboutsomedesignpoint.軌跡跟蹤:followagivenclassofcommandsignals.抗干擾:reduceresponsetodisturbances.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

位置校正系統(tǒng):這種系統(tǒng)只是試圖保持質(zhì)量塊在一個固定的位置，而不考慮質(zhì)量塊收到的干擾力.

驅(qū)動器給質(zhì)量塊施加一個力f:

我們給出一個控制律，它是傳感器反饋的函數(shù):

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§9.2二階線性系統(tǒng)

閉環(huán)系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下:

通過設(shè)定控制增益controlgains,可以使閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)任何期望的二階系統(tǒng)特性。通過選擇增益獲得臨界阻尼和某種直接由給出的期望閉環(huán)剛度.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

Notethatcouldbepositiveornegative,dependingontheparametersoftheoriginalsystem.Ifbecamenegative,theresultwouldbeanunstablecontrolsystem.

例子:

如果質(zhì)量塊-彈簧系統(tǒng)的各個參數(shù)分別為,找到增益，使得閉環(huán)剛度為16.0，且閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。

解：如果希望

等于16.0,那么為了達(dá)到臨界阻尼，則需要:

因為

所以有第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

3.控制律的分解

為設(shè)計更加復(fù)雜的控制律，我們把控制器分解為基于模型的控制部分和伺服控制部分.

系統(tǒng)開環(huán)運(yùn)動方程為:

控制部分為:

這里是常數(shù)或者函數(shù),如果作為新的系統(tǒng)輸入,那么可以選擇使得系統(tǒng)簡化為單位質(zhì)量。顯然為了在輸入時將系統(tǒng)簡化為單位質(zhì)量，這個系統(tǒng)中的應(yīng)該選擇如下:

于是我們得到系統(tǒng)方程:第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)伺服部分:

Weyields:Underthismethodology,thesettingofthecontrolgainsinsimpleandisindependentofthesystemparameters;thatis:mustholdforcriticaldamping.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

4.軌跡跟蹤控制

軌跡可以在任一時間給出一組.

定義伺服誤差為:

由伺服控制律得出的軌跡如下:

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§9.2二階線性系統(tǒng)

與單位質(zhì)量運(yùn)動式聯(lián)立，得到:

這種方程稱為誤差空間errorspace方程.

如果模型是正確的，且沒有噪聲和初始誤差，質(zhì)量塊將準(zhǔn)確跟蹤期望的軌跡運(yùn)動.

如果存在初始誤差，這個誤差將受到抑制，而后這個系統(tǒng)將準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

5.抗干擾

控制系統(tǒng)的一個作用就是抗干擾能力，即存在外部干擾或者噪聲的時候，仍能保持良好的性能.

具有附加干擾力輸入的軌跡跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程為:

第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

1)BIBOstability有界輸入-有界輸出穩(wěn)定:

Ifdisturbanceisbounded,,thenthesolutionofthedifferentialequationisalsobounded.

在大范圍的干擾下，能夠保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

2)Steady-stateerror穩(wěn)態(tài)誤差

如果是常數(shù).通過對系統(tǒng)進(jìn)行靜態(tài)分析，即所有導(dǎo)數(shù)都為零(steady-stateanalysis):

明顯看到，位置增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

3)附加積分項

為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，有時采用一種修正的控制律(PIDcontrollaw):

誤差方程變?yōu)?

增加這一項可使系統(tǒng)在恒定干擾下不出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差:第九章機(jī)器人的線性控制

§9.2二階線性系統(tǒng)

本節(jié)為單一旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)操作臂建立一個簡單模型，通過幾項假設(shè)把這個系統(tǒng)看作為二階線性系統(tǒng)。

許多工業(yè)機(jī)器人常用的驅(qū)動器是直流（DC）力矩電機(jī)。定子Stator:

機(jī)座、軸承、永久磁鐵或電磁鐵組成。轉(zhuǎn)子Rotor:

電機(jī)軸和線圈繞組組成.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

當(dāng)電流通過線圈繞組時電機(jī)會產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，表示為:電機(jī)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的能力用電機(jī)轉(zhuǎn)矩常數(shù)來表示，電樞電流與輸出轉(zhuǎn)矩的關(guān)系可表示為:當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)動時，成為一個發(fā)電機(jī)，在電樞上產(chǎn)生一個電壓。電機(jī)的另一個常數(shù)，反電動勢常數(shù)，表示給定轉(zhuǎn)速時產(chǎn)生的電壓:第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

1.Motor-armatureinductance電機(jī)電樞感抗

基爾霍夫定律:

電流放大器式電機(jī)驅(qū)動器：用電機(jī)驅(qū)動器控制電機(jī)轉(zhuǎn)矩，驅(qū)動電路通過檢測電樞電流不斷調(diào)節(jié)電源電壓使通過電樞的電流為期望電流.

當(dāng)忽略電機(jī)感抗時，電機(jī)轉(zhuǎn)矩可以直接通過控制電流來控制。

第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

2.Effectiveinertia有效慣量

傳動比()可以提高驅(qū)動負(fù)載的力矩、降低負(fù)載的轉(zhuǎn)速。第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

力矩平衡方程:

按照電機(jī)變量寫:

根據(jù)負(fù)載變量寫:Theterm有效慣量canbecalledeffectivedamping.

有效阻尼第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

例:

如果連桿慣量在2和6Kg-m2之間變化，轉(zhuǎn)子慣量,傳動比,求有效慣量的最大值和最小值?Theminimumeffectiveinertiais:Themaximumis:

相對于總有效慣量的比例，通過減速器使得慣量的變化減小了。Hence,weseethat,asapercentageofthetotaleffectiveinertia,thevariationofinertiaisreducedbygearing.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

3.未建模柔性

前面建模過程是假設(shè)傳動系統(tǒng)或者被驅(qū)動的連桿不發(fā)生形變，實際上這些元件的剛度都是有限的，因此在系統(tǒng)建模時，必須注意不能激發(fā)這些共振模態(tài)。必須按照下式限定閉環(huán)系統(tǒng)的固有頻率：

第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

現(xiàn)則控制器增益的根據(jù):提高增益會加速系統(tǒng)響應(yīng)、減小穩(wěn)態(tài)誤差.非建模結(jié)構(gòu)共振限制了系統(tǒng)增益。

典型工業(yè)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)共振范圍為5Hzto25Hz.最新的設(shè)計采用直接驅(qū)動方式可以避免由于減速器和傳動系統(tǒng)產(chǎn)生的柔性，可使機(jī)器人的最低結(jié)構(gòu)共振頻率提高到70Hz.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

例子:

考慮一個質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，系統(tǒng)各個參數(shù)值為

已知系統(tǒng)未建模的最低共振頻率為8radians/second.找到使系統(tǒng)閉環(huán)剛度盡量高，并且未建模模態(tài)不被激勵.

解：我們選擇

選擇閉環(huán)系統(tǒng)的固有頻率為

于是有第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

4.估計共振頻率

如果已知柔性結(jié)構(gòu)有效質(zhì)量或者有效慣量的描述，那么就可以進(jìn)行振動的近似分析。

例如，簡單的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)可以近似得出系統(tǒng)的固有頻率:

這里k是柔性結(jié)構(gòu)件的剛度，m為振動系統(tǒng)的等效質(zhì)量。istheequivalentmassdisplacedinvibrations.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

例:

假設(shè)一個沒有質(zhì)量的軸，它的剛度為400Nt-m/radian

，驅(qū)動一個慣量為1Kg-m2的負(fù)載。如果在動力學(xué)模型中不計軸的剛度，那么這個未建模共振頻率是多少？

解：第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

為了粗略估計梁和軸的最低共振頻率，可以采用集中質(zhì)量模型.估計梁和軸的末端剛度公式是已知的，集中質(zhì)量模型提供了估算共振頻率所需的有效質(zhì)量或者有效慣量。

用一個位于梁末端的質(zhì)量為0.23m的質(zhì)點代替質(zhì)量為m的梁，同樣，由軸末端的集中慣量0.33I代替分布慣量I.第九章機(jī)器人的線性控制

§9.3單關(guān)節(jié)的建模和控制

例: