2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高三上學(xué)期第三次聯(lián)合教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高三上學(xué)期第三次聯(lián)合教學(xué)數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．若集合{}，，則（）A． B．C． D．【正確答案】D【詳解】由題可得.故選：D2．已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（

）A． B．C． D．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.3．已知平面向量，滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】由在上的投影向量為，得，所以，所以，所以，又，所以故選：C.4．已知，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】令，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，又在上單調(diào)遞減，且，所以，即的值域是.故選：C.5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的值為（

）A．300 B． C．210 D．【正確答案】A【詳解】若為奇數(shù)，則是偶數(shù)，是奇數(shù)，則，①，②①②得：，所以an的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為，公差為3的等差數(shù)列；所以.故選:A.6．設(shè)，函數(shù)若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】D【詳解】在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，又最多有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，至少有四個(gè)根，，令，即，，，又，，即，令，解得或，①若且，解得，此時(shí)在有2個(gè)零點(diǎn)，只需要在有4個(gè)零點(diǎn)，這4個(gè)零點(diǎn)分別為故且，解得，此時(shí)有6個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，②當(dāng)且時(shí)，解得，此時(shí)在有1個(gè)零點(diǎn)，只需要在有5個(gè)零點(diǎn)，這5個(gè)零點(diǎn)分別為，故且，解得，此時(shí)有6個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，③當(dāng)且時(shí)，解得，此時(shí)在有1個(gè)零點(diǎn)，只需要在有5個(gè)零點(diǎn)，這5個(gè)零點(diǎn)分別為，故且，解得不存在，綜上可得或，故選：D7．已知，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件，若，，，則事件與事件的關(guān)系為（

）A． B．互斥但不對(duì)立C．互為對(duì)立 D．相互獨(dú)立【正確答案】D【詳解】解：，得，又，故事件與事件相互獨(dú)立，故選：D.8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】設(shè)，，則，根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知，所以，，又因所以為直角三角形，可得，所以可得，解之可得或（舍），可求出，在中根據(jù)余弦定理，解之可得，所以.故選：C二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列選項(xiàng)正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2B．，函數(shù)的最大值為C．函數(shù)的最小值為2D．當(dāng)，時(shí)，若，則的最小值為【正確答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，但無解，所以等號(hào)不成立，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，若，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD10．已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．三角形的周長(zhǎng)是12B．若雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線的焦距為8，則雙曲線為C．若，則的位置不唯一D．若是雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是【正確答案】ACD【詳解】由題意可得雙曲線，，，，，，圓心坐標(biāo)，半徑，A，，，，所以三角形的周長(zhǎng)是12，故A正確；B，由題意可設(shè)雙曲線的方程為或，變形為標(biāo)準(zhǔn)形式或，，又雙曲線的焦距為8，所以，所以雙曲線為或，故B錯(cuò)誤；C，，所以點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，所以軌跡方程為，圓心坐標(biāo)代入橢圓方程可得，所以圓心在橢圓上，又點(diǎn)是圓上點(diǎn)，畫出圖形可得所以，的位置不唯一，故C正確；D，由雙曲線的定義可得，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以的最小值是，故D正確；故選：ACD.11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，G是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)G到平面的距離為定值B．若，則的最小值為2C．若，且，則點(diǎn)G到直線的距離為D．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，又點(diǎn)G是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)G到平面的距離為定值，故A正確；對(duì)于B，連接，面，是在平面上的射影，要使，則，所以點(diǎn)M的軌跡是平面上以F為圓心，1為半徑的半圓，所以的最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接，，，，因?yàn)?，且，所以A，E，，G四點(diǎn)共面，因?yàn)樵谡襟w中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，在正方體中，，，所以四邊形是平行四邊形，則，則，因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以G為棱的中點(diǎn)，故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A2,0,0，，，，所以，，，，故點(diǎn)G到直線距離，故C正確；對(duì)于D，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)（），則A2,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，則，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為（），則，因?yàn)?，所以，則，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是.【正確答案】7【詳解】在展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是7.故7.13．在中，已知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的最大值為.【正確答案】【詳解】由已知得，由正弦定理得，由余弦定理得.由，得，且，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.又，，所以.故答案為.14．設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，，，，則橢圓離心率的最大值為.【正確答案】/【詳解】如圖：在中，，，所以，.所以.又，所以.所以.故四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.（本小題13分）已知平面向量，，且，其中，．設(shè)點(diǎn)和在函數(shù)的圖象（的部分圖象如圖所示）上．(1)求a，b，的值；(2)若是圖象上的一點(diǎn)，則是函數(shù)圖象上的相應(yīng)的點(diǎn)，求在上的單調(diào)遞減區(qū)間．【正確答案】(1)，，；(2)【詳解】（1）因，，由，可得，由，其中，因點(diǎn)和在函數(shù)的圖象上，則有，，結(jié)合圖象，由①可得，將其代入②式，可得，即，（*）由圖知，該函數(shù)的周期滿足，即又，則有，由（*）可得，故.由解得，，故，，；（2）不妨記，則，因是圖象上的一點(diǎn)，即得，即，又因是函數(shù)圖象上的相應(yīng)的點(diǎn)，故有.由，可得，因，故得.在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.16.（本小題15分）設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有（為常數(shù))，則稱數(shù)列an為“和等比數(shù)列”，其中為和公比.已知bn是首項(xiàng)為，公差不為的等差數(shù)列，且bn是“和等比數(shù)列”，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為(1)求數(shù)列bn(2)若不等式對(duì)任意的成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，前項(xiàng)和為，則，所以.因?yàn)閎n所以，即，對(duì)任意的都成立，所以，解得，所以bn的和公比為（2）解：可知，則，所以，所以，所以，即，所以.設(shè)，.不等式對(duì)任意的恒成立，即不等式對(duì)任意的恒成立.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則.綜上，的取值范圍是17.（本小題15分）在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，的長(zhǎng)度為3或【詳解】（1）因?yàn)樵谥校?，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面.（2）由（1）知，以CD為軸，CB為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，即不妨令，則，，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則有，即不妨令，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，若平面與平面成角余弦值為，則滿足，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為，此時(shí)的長(zhǎng)度為3或．18.（本小題17分）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)．(1)求點(diǎn)的軌跡．(2)設(shè)是軌跡上的兩點(diǎn)，且直線與的斜率之積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），為射線上一點(diǎn)，且，線段與軌跡交于點(diǎn)，求四邊形的面積．【正確答案】(1)點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，焦點(diǎn)在軸上的橢圓(2)【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，依題意，，于是，化簡(jiǎn)得，即．所以點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2，焦點(diǎn)在軸上的橢圓．（2）設(shè)Ax又，則．由，可得，則四邊形面積為．當(dāng)直線斜率為0時(shí)，易知，又，則．根據(jù)對(duì)稱性不妨取，由得則，得此時(shí)；當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立有：消去得：．，由韋達(dá)定理，．所以，代入可得，解得，，又原點(diǎn)到直線距離為，則此時(shí)．綜上可得，，四邊形面積為.19.（本小題17分）已知函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的最小值；(3)如果存在實(shí)數(shù)m、n，其中，使得，求的取值范圍.【正確答案】(1)極小值為，無極大值(2)(3)【詳解】（1）∵定義域?yàn)?,+∞，，∴當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)時(shí)，f∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，無極大值．（2）依題可知，，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，，，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．（3）方