2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．0,4 C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C．1 D．3．等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差不為0，若成等比數(shù)列，則的前6項(xiàng)和為（

）A．24 B．24 C．3 D．34．正方體中，直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知向量滿(mǎn)足：，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知直線(xiàn)和直線(xiàn)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．58．有個(gè)盲盒，其中有個(gè)內(nèi)有獎(jiǎng)品.若抽獎(jiǎng)?wù)哌x定了一個(gè)盲盒但未打開(kāi)時(shí)組織方（知道盲盒內(nèi)部是否有獎(jiǎng)品）打開(kāi)了一個(gè)沒(méi)有獎(jiǎng)品的盲盒，此時(shí)抽獎(jiǎng)?wù)咧匦逻x定另外一個(gè)盲盒后打開(kāi)，記此時(shí)中獎(jiǎng)的概率為；若抽獎(jiǎng)?wù)哌x定了一個(gè)盲盒但未打開(kāi)時(shí)有個(gè)未選的盲盒因被風(fēng)吹掉而意外打開(kāi)，且抽獎(jiǎng)?wù)甙l(fā)現(xiàn)其內(nèi)部沒(méi)有獎(jiǎng)品，此時(shí)抽獎(jiǎng)?wù)咧匦逻x定另外一個(gè)盲盒后打開(kāi)，記此時(shí)中獎(jiǎng)的概率為，則對(duì)任意符合題意的，，都有（

）A． B． C． D．無(wú)法確定與的大小關(guān)系二、多選題9．某廠(chǎng)近幾年陸續(xù)購(gòu)買(mǎi)了幾臺(tái)A型機(jī)床，該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時(shí)間x（單位：年）與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用y（單位：萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.，則（

）A．y與x的樣本相關(guān)系數(shù)B．C．表中維修費(fèi)用的第60百分位數(shù)為6D．該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時(shí)間為10年時(shí)，當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用一定是12.38萬(wàn)元10．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）A．B．C．關(guān)于對(duì)稱(chēng)D．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)11．（多選）泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話(huà)：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互了望的星星；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓.已知點(diǎn)，直線(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的一半.若某直線(xiàn)上存在這樣的點(diǎn)P，則稱(chēng)該直線(xiàn)為“最遠(yuǎn)距離直線(xiàn)”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)P的軌跡方程是B．直線(xiàn)是“最遠(yuǎn)距離直線(xiàn)”C．平面上有一點(diǎn)，則的最小值為5D．點(diǎn)P的軌跡與圓是沒(méi)有交匯的軌跡（也就是沒(méi)有交點(diǎn)）三、填空題12．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是．13．橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)另交橢圓C與點(diǎn)B，若，則C的離心率為.14．已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是.四、解答題15．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)．(1)求；(2)若函數(shù)，討論的極值．16．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，.(1)若是中點(diǎn)，證明：；(2)若，求平面與平面所成角的正切值.17．已知雙曲線(xiàn)及直線(xiàn).(1)若與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若與交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，求實(shí)數(shù)的值.18．在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角的大小；(2)若，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，求線(xiàn)段長(zhǎng)的取值范圍．19．若數(shù)列共有項(xiàng)，都有，其中為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的“對(duì)數(shù)等和數(shù)列”，其中稱(chēng)為“對(duì)數(shù)等和常數(shù)”.已知數(shù)列是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的對(duì)數(shù)等和數(shù)列，對(duì)數(shù)等和常數(shù)為.(1)若，，，求的值；(2)定義數(shù)列滿(mǎn)足：，，2，3，…，m.（i）證明：數(shù)列是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的對(duì)數(shù)等和數(shù)列；（ii）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1024，公比為的等比數(shù)列，若，求的值.答案題號(hào)12345678910答案BAADAACCBCAC題號(hào)11答案ABC1．B【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定集合，再利用絕對(duì)值的幾何意義確定集合，再求.【詳解】由，可得，解得，所以，由解得，所以，所以=，故選:B.2．A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求出，再利用復(fù)模的運(yùn)算即可得解.【詳解】復(fù)數(shù)，所以.故選：A.3．A【分析】設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用等比中項(xiàng)得到關(guān)于公差的方程，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)an的公差為，由成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），所以.故選：A.4．D【分析】利用線(xiàn)面角的定義找到直線(xiàn)與平面所成的角為，找到角即可求出余弦值.【詳解】連接，如圖所示，為正方體，易得平面，為直線(xiàn)與平面所成的角，令，由正方體知識(shí)可得，.故選：D.5．A【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A6．A【分析】根據(jù)的充要條件求得或，再由充分條件、必要條件的概念得解.【詳解】若，則，解得或．若，則直線(xiàn)，直線(xiàn)，可知；若，則直線(xiàn)，直線(xiàn)，可知，綜上所述：或．所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A7．C【分析】由點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得到點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)的距離和最小問(wèn)題，只需要再做一次點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)即可.【詳解】點(diǎn)在直線(xiàn)：上，圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，圓：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)圓：如圖：連接與圓交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接交圓于，此時(shí)最小，，故選：C8．C【分析】利用古典概型概率公式和全概率公式，求出和，由比值確定大小關(guān)系.【詳解】設(shè)事件為“最終中獎(jiǎng)”，事件為“一開(kāi)始選中的有獎(jiǎng)”，則，在組織方打開(kāi)無(wú)獎(jiǎng)的盲盒后，若一開(kāi)始選中的有獎(jiǎng)，則剩余個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，更換后，若一開(kāi)始選中的無(wú)獎(jiǎng)，則剩余個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，則更換后，故，由于風(fēng)吹掉為隨機(jī)吹掉，故所有個(gè)盲盒中有個(gè)獎(jiǎng)品，且所有盲盒中有獎(jiǎng)品的概率相等，，因此，故.故選：C方法點(diǎn)睛：設(shè)事件為“最終中獎(jiǎng)”，事件為“一開(kāi)始選中的有獎(jiǎng)”，則，，利用的值，判斷和的大小關(guān)系.9．BC【分析】對(duì)A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念可判斷，對(duì)B，計(jì)算出樣本中心，代入方程計(jì)算出，對(duì)C，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解，對(duì)D，根據(jù)回歸分析概念判斷.【詳解】根據(jù)題意可得，，，所以樣本中心點(diǎn)為，對(duì)于A(yíng)，由表中數(shù)據(jù)可得隨著增大而增大，與正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，，與不相關(guān)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程，可得，故B正確；對(duì)于C，維修費(fèi)用從小到大依次為，第60百分位數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)回歸分析的概念，機(jī)床投入生產(chǎn)的時(shí)間為10年時(shí)，所需要支出的維修費(fèi)用大概是12.38萬(wàn)元，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10．AC【分析】根據(jù)可得，代入最高點(diǎn)可得，進(jìn)而求出函數(shù)的表達(dá)式，即可判斷AB，代入驗(yàn)證即可判斷C，根據(jù)平移即可求解D.【詳解】由圖象可知，，解得，，又，所以，即，結(jié)合，可知，得的表達(dá)式為，故A正確，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于，即的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．11．ABC【分析】對(duì)于A(yíng)，設(shè)，根據(jù)定義建立關(guān)系可求出；對(duì)于B，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，判斷方程組是否有解即可；對(duì)于C，根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為求即可；對(duì)于D，易判斷為交點(diǎn).【詳解】對(duì)于A(yíng)，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)P到點(diǎn)F的距離是點(diǎn)P到直線(xiàn)l距離的一半，所以，化簡(jiǎn)可得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，聯(lián)立方程組，可得，解得，故存在點(diǎn)，所以直線(xiàn)是“最遠(yuǎn)距離直線(xiàn)”，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)P作垂直直線(xiàn)，垂足為B，由題意可得，，則，由圖象可知，的最小值即為點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離5，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由可得，即圓心為，半徑為1，易得點(diǎn)P的軌跡與圓C交于點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.12．160【分析】寫(xiě)出已知二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，進(jìn)而確定的系數(shù).【詳解】由的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)是.故160.13．33/【分析】作出輔助線(xiàn)，由三角形相似得到，，求出，代入橢圓方程，求出，求出答案.【詳解】如圖，過(guò)B作軸于H，設(shè)橢圓方程為，AF2=a，，易知，所以，又，，所以，，得到，代入橢圓方程得，整理得到，所以.故14．【分析】先畫(huà)出函數(shù)的圖象，把方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可知其對(duì)稱(chēng)軸為，令，解得或；令，解得或；當(dāng)時(shí)，令，解得或，作出函數(shù)y=fx若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，即y=fx與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，則，對(duì)于，則，可得，所以；對(duì)于，則，可得；所以，由對(duì)勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，得，所以的取值范圍是.故答案為.方法點(diǎn)睛：已知方程的根，函數(shù)有零點(diǎn)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路，(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．15．(1)(2)極大值為；無(wú)極小值.【分析】（1）由，解得，再代入檢驗(yàn)即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，由，此時(shí)，則，所以為奇函數(shù)．所以；（2）由（1）得：定義域?yàn)镽，，由，得；由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，極大值；無(wú)極小值.16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先依次證明，由線(xiàn)面垂直判定定理可得平面，進(jìn)一步結(jié)合線(xiàn)面垂直性質(zhì)即可得證；（2）思路一：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系求出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合向量夾角公式即可求解；思路二：用定義法說(shuō)明是二面角的平面角，進(jìn)一步計(jì)算即可求解.【詳解】（1）是中點(diǎn)，，平面平面平面，平面，又與是平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，平面，；（2）解法一：（坐標(biāo)法）過(guò)作于平面平面平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，平面與平面所成的角記為，，即平面與平面所成角的正切值是，解法二：（幾何法）記平面與平面的交線(xiàn)為，平面平面，即直線(xiàn)兩兩平行，又平面平面，平面與平面所成角與二面角的平面角互余，過(guò)作于平面平面平面，過(guò)點(diǎn)作于，連接是二面角的平面角，平面與平面所成角的正切值為，，，即平面與平面所成角的正切值是.17．(1)(2)或【分析】（1）將雙曲線(xiàn)及直線(xiàn)聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題意即可求解；（2）方法一：根據(jù)面積，其中d為O到直線(xiàn)l的距離，然后用含k的式子表示出，解方程即可求出k的值；方法二：根據(jù)得，然后用含k的式子表示出，解方程即可求出k的值.【詳解】（1）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)根，整理得.，解得且，雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是.（2）解法一：設(shè)交點(diǎn)，由（1）知雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，則又到直線(xiàn)的距離，所以的面積，解得或，又因?yàn)榍遥曰?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.解法二：設(shè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，由（1）知雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)聯(lián)立的方程為.由韋達(dá)定理得：，當(dāng)在雙曲線(xiàn)的一支上且時(shí)，；當(dāng)在雙曲線(xiàn)的兩支上且時(shí)，綜上，.由已知得，故，即所以，解得或，又因?yàn)榍?，所以?所以當(dāng)或時(shí)，的面積為.18．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理，正弦定理，同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得，根據(jù)，即可得出，進(jìn)而求解；（2）由余弦定理得，根據(jù)平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算得，進(jìn)而得出，根據(jù)正弦定理，二倍角公式，降冪公式，輔助角公式得出，結(jié)合，正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?，由正弦定理得，又是銳角