湖北省隨州市廣水市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

湖北省隨州市廣水市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合交集運(yùn)算求解.【詳解】由，解得，，又，.故選：B.2.已知，，則（）A. B.2 C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的余弦公式求出即可得解.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：C3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用不等式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可根據(jù)邏輯關(guān)系求解.【詳解】由可得，由可得或，故能得到，同時(shí)也無(wú)法推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】我們將通過(guò)計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)來(lái)判斷函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間存在零點(diǎn).【詳解】因?yàn)樵谏暇鶈握{(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，對(duì)A，可得.因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無(wú)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，則，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，故在上存在零點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，因?yàn)椋液瘮?shù)在上連續(xù)不間斷，則上無(wú)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,計(jì)算，且函數(shù)在上連續(xù)不間斷，則在上無(wú)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；故選：B.5.在中，點(diǎn)，分別為，邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用向量加法及數(shù)乘向量運(yùn)算求解即得.【詳解】依題意，，而，所以故選：D6.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，根據(jù)劉徽的《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑的高度，已知點(diǎn)是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上兩點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上，且在點(diǎn)的同側(cè)，若在處分別測(cè)量球體建筑物的最大仰角為和，且，則該球體建筑物的高度約為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合求得，進(jìn)而根據(jù)即可求解.【詳解】如圖，設(shè)球的半徑為，則，所以由題，又，故，所以，即該球體建筑物的高度約為.故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)已知條件數(shù)形結(jié)合得，進(jìn)而由求出球的半徑得解.7.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，把的圖象與直線的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)限依次記為，記它們的和為，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出函數(shù)與直線的交點(diǎn)，再結(jié)合數(shù)列求和計(jì)算即可.【詳解】解：由，則或，解得或，所以，，，，…，，所以，故B正確.故選：B8.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下述結(jié)論正確的是（）（注：）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由條件證明，函數(shù)的對(duì)稱中心為，對(duì)于A，結(jié)合單調(diào)性證明，再證明，由此判斷結(jié)論；對(duì)于B，結(jié)合對(duì)稱性可得，結(jié)合單調(diào)性可得，由此判斷結(jié)論；對(duì)于C，結(jié)合性質(zhì)，可得，再由單調(diào)性比較大小判斷結(jié)論；對(duì)于D，由條件可得，，再結(jié)合單調(diào)性比較大小判斷結(jié)論【詳解】解：，故所以，函數(shù)的對(duì)稱中心為，函數(shù)往左平移2個(gè)單位得到函數(shù)，故函數(shù)的對(duì)稱中心為，所以，取可得，，對(duì)于A，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，且，所以，故A錯(cuò)誤：對(duì)于B，在區(qū)間上單調(diào)遞減，對(duì)稱中心為，故，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故C正確：對(duì)于D，因?yàn)?，取可得，又，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心為，故，所以因?yàn)椋?，且，，即，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故D錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)四個(gè)復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、、、在同一個(gè)圓上，則下述結(jié)論正確的是（）A.與互為共軛復(fù)數(shù) B.點(diǎn)在第二象限C.復(fù)數(shù)的虛部是 D.【正確答案】BCD【分析】首先需要求出這四個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念，幾何意義，除法，虛部概念來(lái)判斷前面ABC選項(xiàng)，再根據(jù)四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上這一條件，可利用圓的方程相關(guān)知識(shí)來(lái)判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于，其對(duì)應(yīng)點(diǎn).對(duì)于，其對(duì)應(yīng)點(diǎn).對(duì)于，其對(duì)應(yīng)點(diǎn).對(duì)于，其對(duì)應(yīng)點(diǎn).對(duì)于選項(xiàng)A,，，它們實(shí)部不同，不是共軛復(fù)數(shù)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，對(duì)于，所以點(diǎn)在第二象限，選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C,，，.其虛部是，選項(xiàng)C正確.對(duì)于選項(xiàng)D，，，，在同一個(gè)圓上.設(shè)圓的方程為.將代入方程得，即①.將代入方程得，即②.將代入方程得，即③.用②-①可得：即解得.將代入①和③，①變?yōu)?，③變?yōu)?用③-①可得：，解得.將代入，可得.所以圓的方程為.將代入，得到，即，，解得.，.則，即，所以選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.已知兩個(gè)正數(shù)，滿足，則下述結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】變形等式判斷A；利用基本不等式判斷B；舉例說(shuō)明判斷C；作差與0比較大小判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，因此，A正確；對(duì)于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，取，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，則，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，按分類作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象可得當(dāng)，，成立時(shí)，恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得解.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象恒在的圖象及上方，作函數(shù)和的圖象，當(dāng)時(shí)，如上左圖所示，觀察圖知在R上不恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，如上右圖所示，觀察圖知，當(dāng)且僅當(dāng)，成立時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，的值可以為AC.故選：AC關(guān)鍵點(diǎn)睛：分類作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象確定求解條件是關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的最小正周期是，則的值為_(kāi)_____.【正確答案】2【分析】k利誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合二倍角正弦和周期公式計(jì)算即可.【詳解】解：，所以，.故2.13.已知兩個(gè)單位向量，滿足，則向量和的夾角為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】由條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律可求，再求，，根據(jù)向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄?，為單位向量，所以，，又，所以，所以，所以，，所以，又，所?故答案為.14.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，并且存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列也成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出及，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)的特征分析求解即得.【詳解】依題意，，則，由數(shù)列為等差數(shù)列，得，且是的一次式而對(duì)任意正整數(shù)，不恒成立，因此對(duì)恒成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由為等差數(shù)列，探求得是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，，成等比數(shù)列.（1）求和；（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由給定條件列出方程求出，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.（2）由（1）的結(jié)論求出，利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由，得，即，解得，所以，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，則因此，所以.16.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，分別以，，為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，，，已知，.（1）求的面積；（2）若，求【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合正三角形面積可得，再利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算即得.（2）由（1）中信息，利用正弦定理求得即可.【小問(wèn)1詳解】在中，依題意，，，，則，即，由余弦定理得，整理得，，由，得，則，所以的面積.【小問(wèn)2詳解】由正弦定理，得，則，所以.17.已知角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)Ax1,y1，將射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后于單位圓交于點(diǎn)Bx2,y2，（1）若，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當(dāng)函數(shù)的最大值是時(shí)，求的值.【正確答案】（1）；（2）或.【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義求出，進(jìn)而求出，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出范圍.（2）利用（1）的信息，求出，利用換元法，結(jié)合閉區(qū)間上二次函數(shù)最值求解即得.【小問(wèn)1詳解】由三角函數(shù)定義，得，，，由，得，則，因此，的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】由（1）及已知，得，，令，，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，則；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，則，所以或.18.已知為函數(shù)的極小值點(diǎn).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)，，使得，求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由求出并驗(yàn)證即可得解.（2）由（1）求出在上的最小值，再按分類，并借助導(dǎo)數(shù)討論值即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，依題意，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此為函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此為函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，①當(dāng)時(shí)，對(duì)，，使得，因此，符合題意，則；②當(dāng)時(shí)，，取，對(duì)，有，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則，若對(duì)，，使得，只需，即，解得，所以的取值范圍為.19.已知正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合（1）若定義，當(dāng)集合中的元素恰有個(gè)數(shù)時(shí)，稱集合具有性質(zhì).①當(dāng)，時(shí)，判斷集合，是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；②設(shè)集合，其中數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，判斷集合是否具有性質(zhì)并說(shuō)明理由.（2）若定義，當(dāng)集合中的元素恰有個(gè)數(shù)時(shí)，稱集合具有性質(zhì).設(shè)集合具有性質(zhì)且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列.問(wèn)：集合中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）①集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；②集合具有性質(zhì)，理由見(jiàn)解析；（2）存在，最大值為4.【分析】（1）①寫(xiě)出中的所有元素，利用定義判斷即可；②求出等比數(shù)列的通項(xiàng)，證明該數(shù)列任意兩項(xiàng)的和不等，由此求出中的元素個(gè)數(shù)即可判斷.（2）根據(jù)新定義得在集合中，，得到，由此分類討論，可確定n的取值，可得答案.【小問(wèn)1詳解】①集合不具有性質(zhì)，集合具有性質(zhì)：，中元素個(gè)數(shù)不具有性質(zhì)；，中元素個(gè)數(shù)具有性質(zhì).②若集合具有性質(zhì)，設(shè)，假設(shè)當(dāng)時(shí)有成立，則有，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，顯然不成立，則不成立，因此中元素個(gè)數(shù)，所以集合具有性質(zhì).【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)，則在集合中，，又中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，于是，