2024年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)試卷

3.4對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)（精講）一．對(duì)數(shù)的概念（1）一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)把log10N記為lgN自然對(duì)數(shù)將以無(wú)理數(shù)e＝2．71828…為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)把logeN記為lnN二．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM．(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)對(duì)數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad．三．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝logaxa>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)四.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng)．對(duì)數(shù)運(yùn)算1.將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．2.將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．3.利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．二．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象如圖，作直線(xiàn)y＝1，則該直線(xiàn)與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．三．比較對(duì)數(shù)值大小的方法單調(diào)性法在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底過(guò)渡法尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個(gè)數(shù)，一般是用“0”，“1”或其他特殊值進(jìn)行“比較傳遞”圖象法根據(jù)圖象觀(guān)察得出大小關(guān)系四．簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式1.解決簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式，應(yīng)先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)值，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．2.對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類(lèi)討論．3.某些對(duì)數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．五．盤(pán)點(diǎn)易錯(cuò)易混1．對(duì)數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)易忽視對(duì)底數(shù)的討論；2．涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，一定要確保真數(shù)大于0，樹(shù)立定義域優(yōu)先的思想．考法一對(duì)數(shù)的運(yùn)算【例1-1】（2023·廣東潮州）求值：(1)；(2)(3)；(4).【答案】(1)(2)6(3)2(4)4【解析】（1）.（2），因?yàn)椋?（3）.（4）.【例1-2】已知log23＝a，3b＝7，則log3eq\r(7)2eq\r(21)的值為_(kāi)_______．【答案】eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)【解析】由題意3b＝7，所以log37＝b．所以log3eq\r(7)2eq\r(21)＝logeq\o\al(\s\up1(eq\r(84)),\s\do1(eq\r(63)))＝eq\f(log284,log263)＝eq\f(log2（22×3×7）,log2（32×7）)＝eq\f(2＋log23＋log23·log37,2log23＋log23·log37)＝eq\f(2＋a＋ab,2a＋ab)．【一隅三反】1．（2023廣東湛江）計(jì)算：(1)；(2)(3)(4)(5)．(6)已知，，求的值．【答案】(1)(2)(3)3(4)(5)(6)【解析】（1）；（2）．（3）原式（4）原式=（5）；（6）..考法二對(duì)數(shù)函數(shù)的三要素及定點(diǎn)【例2-1】（1）（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．（2）（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】（1）D（2）D【解析】（1）函數(shù)有意義，則有，即解得，所以函數(shù)的定義域是.故選：D（2）有意義滿(mǎn)足，即，，解得，故選：D【例2-2】（1）（2023春·云南保山）函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，則值域是_______（2023·山東）已知函數(shù)若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，為函?shù)的值域的子集，所以，，解得.（2）設(shè)，則，于是.設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，時(shí)，關(guān)于單調(diào)遞減；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，在定義域上遞增.于是由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，而，于是值域是：.故答案為：（3）∵函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，的范圍是；當(dāng)時(shí)，，，由題意存在最小值，則，解得.故選：D．【例2-3】（2023·山東德州）函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn)P，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，即，所以.故選：B.【一隅三反】1．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由題意可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為，故選:A．2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（

）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】要使有意義，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，要使有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B3．（2023·湖北）已知函數(shù)（，且）在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞增，則，又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，解得．故選：A．4．（2023·浙江）已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即；若函數(shù)的值域是，則需當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，即，則，所以，顯然，解得，又，所以．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B考法三對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用【例3-1】（2023·安徽）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)________【答案】【解析】函數(shù)分為內(nèi)外層函數(shù)，設(shè)，，令，得，內(nèi)層函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，外層函數(shù)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的判斷方法可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.故答案為：【例3-2】（1）（2023春·云南）已知函數(shù)在上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2）（2023·山西）函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，則此函數(shù)在上是（

）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先增后減 D．先減后增（3）（2023·北京）若函數(shù)對(duì)任意都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】（1）C（2）B（3）D【解析】（1）令，對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，所以要想函數(shù)在上為減函數(shù)，只需函數(shù)在上為增函數(shù)，且在上恒成立，所以，且，解得.故選：C（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故選：B.（3）由得，在R上是減函數(shù)，則有，解得.故選：D.【例3-3】（1）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）已知，，，則a，b，c大小為（

）A． B．C． D．（2）（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】（1）D（2）A【解析】（1）可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可以看成與圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，畫(huà)出函數(shù)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，.故選：D.（2）因?yàn)椋?因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：A.【例3-4】（2023春·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，即，即，又，即，故，即，當(dāng)時(shí)，由，無(wú)解，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故選:A．【一隅三反】1．（2023春·河南·）已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)______.【答案】【解析】令，即，由，則在上遞增，在上遞減，綜上，在上遞增，在上遞減，而在定義域上遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：2．（2023·河南平頂山·葉縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，則在為減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上為減函數(shù)，則，解得，即的取值范圍為．故答案為：3．（2023·河北）已知在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，則，解得，即，故答案為：．4．（2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又，，所以，且，所以，所?故選：A5．（2023春·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，由，所以，由，而，則，所以，綜上：，故選：A.6．（2023·河南）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由,所以，故由，可得，故，故選：B考法四對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性及應(yīng)用【例4】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足題意,所以，所以.故選：B.【一隅三反】1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)校考三模）“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得.所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.2（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若為奇函數(shù)，則（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，顯然當(dāng)時(shí)，沒(méi)意義，所以當(dāng)時(shí)，也沒(méi)意義，但是有意義的，所以必定是，即，，，即，則，是奇函數(shù)，；故選：C.3．（2023·甘肅）已知函數(shù)，則______．【答案】2【解析】因?yàn)椋ǎ裕?，故答案為?考法五對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像問(wèn)題【例5】8（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，故排除A，B．當(dāng)時(shí)，，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，，所以．故排除D．故選：C．【一隅三反】1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)椋懦鼳B選項(xiàng)，令可得，解得，即函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，排除C選項(xiàng).故選：D.2（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）函數(shù)的大致圖象是（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】易知函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋院瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，排除A；易知當(dāng)時(shí)，，故排除C；因?yàn)椋?，所以排除D．故選：B．3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能是（

）．A．B．C．D．【答案】D【解析】令得即，此有方程有兩根，故有兩個(gè)零點(diǎn)，排除A選項(xiàng)；函數(shù)有意義滿(mǎn)足解得或，當(dāng)時(shí)函數(shù)無(wú)意義，排除B、C選項(xiàng)；對(duì)D選項(xiàng)：函數(shù)的定義域符合，零點(diǎn)個(gè)數(shù)符合，又∵當(dāng)與及時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)單調(diào)遞增，故單調(diào)性也符合，所以的圖象可能是D；故選：D考法六對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用【例6-1】（2023·四川涼山）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，時(shí)常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)多年研究，已經(jīng)對(duì)地震有了越來(lái)越清晰的認(rèn)識(shí)與了解．例如：地震時(shí)釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，年月日，我州會(huì)理市發(fā)生里氏級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級(jí)地震所釋放能量的約多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍【答案】A【解析】設(shè)里氏級(jí)、級(jí)地震所釋放的能量分別為、，則，上述兩個(gè)等式作差可得，則，故.故選：A.【例6-2】（2023春·湖北）（多選）已知函數(shù),下列說(shuō)法正確的是(

)A．若定義域?yàn)镽,則 B．若值域?yàn)镽,則C．若最小值為0,則 D．若最大值為2,則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若函數(shù)定義域?yàn)镽,則恒成立,當(dāng)時(shí),恒成立,滿(mǎn)足題意,當(dāng)時(shí),則有,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若函數(shù)值域?yàn)镽,則能取盡大于零的所有實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí),,不滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí),則有,解得，所以若值域?yàn)镽,則,故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，若函數(shù)最小值為0,則有最小值1，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得,解得,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于D，若函數(shù)最大值為2,則有最大值4,由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得,解得,故選項(xiàng)D正確.故選:BCD.【一隅三反】1．（2023春·四川宜賓）盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解．例如，地震時(shí)釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為：．年月日，我國(guó)汶川發(fā)生了里氏級(jí)大地震，它所釋放出來(lái)的能量約是年月日我國(guó)瀘定發(fā)生的里氏級(jí)地震釋放能量的（

）倍．（參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．【答案】