2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專(zhuān)題14導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

專(zhuān)題14導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1、概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱(chēng)它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)孩僭隽靠梢允钦龜?shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：【方法技巧與總結(jié)】1、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過(guò)點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類(lèi)題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．【典型例題】例1．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意知，，∴曲線在處的切線斜率為，∴曲線在處的切線方程為，且.故選：C．例2．（2024·高二·全國(guó)·競(jìng)賽）若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（

）．A． B． C．2 D．【答案】A【解析】∵，設(shè)為所求的點(diǎn)，則得，，則點(diǎn)P到直線的最小距離為．故選:A.例3．（2024·高三·江西撫州·階段練習(xí)）如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)注入溶液的時(shí)間為（單位：）時(shí)，溶液的高為，則，得.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為.故選：C例4．（2024·山東濟(jì)南·一模）與拋物線和圓都相切的直線的條數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)直線與拋物線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，求導(dǎo)得，因此拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，依題意，此切線與圓相切，于是，解得或，所以所求切線條數(shù)為3.故選：D例5．（2024·福建漳州·一模）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．3 B． C．0 D．1【答案】C【解析】因?yàn)?，則，由題意可得：，解得，所以.故選：C.例6．（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，即，則不可能同時(shí)為負(fù)數(shù)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，綜上所述，的最大值為.故選：A.例7．（2024·湖北·一模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處的切線方程為，記的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，兩邊求導(dǎo)，可得.又在處的切線方程為：，所以.所以.故選：A例8．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故選：D例9．（2024·高三·全國(guó)·階段練習(xí)）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知，所以，，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選:C．例10．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的導(dǎo)函數(shù)為 B．在上單調(diào)遞減C．的最小值為 D．的圖象在處的切線方程為【答案】C【解析】A：，因此本選項(xiàng)不正確；B：由上可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此本選項(xiàng)不正確；C：由上可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，因此本選項(xiàng)正確；D：由上可知，因?yàn)?，所以的圖象在處的切線方程為，因此本選項(xiàng)不正確，故選：C例11．（2024·高三·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以切線方程為，即.故選：C例12．（2024·高三·河南·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故，由，所以點(diǎn)處切線的斜率為，故所求的切線方程為，即．故選：B．例13．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），因此，而，故所求切線方程為，即；（2）依題意，，故對(duì)任意恒成立.令，則，令，解得.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取到極大值，也是最大值2.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例14．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值．【解析】由，求導(dǎo)得，則，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令，得，即，所以.例15．（2024·高二·江蘇南通·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)記曲線在處的切線為，求證，與有唯一公共點(diǎn)．【解析】（1），令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為；（2）由（1）可知：，而，所以切線的方程為，由，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，與有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以由，即，此時(shí)與有公共點(diǎn)，綜上所述：與有唯一公共點(diǎn).例16．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，直線與曲線相切，則．【答案】2【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，則切線斜率，得，所以，且，則，即．故答案為：2.例17．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出與函數(shù)在處有公共切線的一個(gè)函數(shù).【答案】（答案不唯一）【解析】由題，，，答案不唯一，滿足，即可.取，則，顯然滿足，.故答案為：（答案不唯一）.例18．（2024·四川廣安·二模）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【解析】由求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故答案為：例19．（2024·四川遂寧·二模）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】，則，又，故切線方程為，即.故答案為：.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A．21 B．24 C．30 D．36【答案】A【解析】由，得，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，所以，又，故是首項(xiàng)為16，公比為的等比數(shù)列.所以.故選：A2．（2024·高三·河南·專(zhuān)題練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以所求切線的斜率為，又，所以所求的切線方程為，即．故選：C．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若曲線存在與y軸垂直的切線，則a的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，因?yàn)榍€存在與y軸垂直的切線，所以方程有實(shí)根，即方程有實(shí)根．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，又當(dāng)趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，也趨向于負(fù)無(wú)窮大，當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，趨向于0，所以，則a的最大值為，故選：C．二、多選題4．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則【答案】AC【解析】因?yàn)?，，所以，令，即；令，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故C正確；因?yàn)椋瘮?shù)大致圖象如圖，要使方程在區(qū)間上有兩解，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC.5．（2024·高三·云南曲靖·階段練習(xí)）已知函數(shù)，如圖，，是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）．A．， B．在上單調(diào)遞增C．是的一條對(duì)稱(chēng)軸 D．是曲線的一條切線【答案】AD【解析】設(shè)，，則．因?yàn)椋?所以，，，所以，即，即．又因?yàn)?，且為下降零點(diǎn)，所以，，即，，故?。剩訟選項(xiàng)正確；當(dāng)，，顯然不是單調(diào)增區(qū)間，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；將代入方程得，顯然不是對(duì)稱(chēng)軸，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；令得或，取點(diǎn)得其中一條切線為，所以D選項(xiàng)正確．故選:AD．6．（2024·廣東·二模）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則（

）A．的斜率的最小值為 B．的斜率的最小值為C．的方程為 D．的方程為【答案】BCD【解析】因?yàn)椋缘男甭实淖钚≈禐?因?yàn)?，所以的方程?因?yàn)椋缘姆匠虨?，?故選：BCD.7．（2024·高三·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，兩個(gè)極值點(diǎn)為，，則（

）A．有三個(gè)不同的零點(diǎn)B．C．D．直線是曲線的切線【答案】BD【解析】由函數(shù)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極大值，極大值為，且兩個(gè)極值點(diǎn)之和為，所以B正確；又由當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)連續(xù)不間斷，所以函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以A不正確；由，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以D正確.故選：BD.8．（2024·高三·福建福州·期中）已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線的斜率，因?yàn)榍芯€與直線l平行，所以l的斜率，選項(xiàng)A中直線的斜率為，符合題意；選項(xiàng)B中直線的斜率為，不符合題意；選項(xiàng)C中直線的斜率為，符合題意；選項(xiàng)D中直線的斜率為，符合題意；故選：ACD.9．（2024·高二·山東淄博·階段練習(xí)）已知，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處的切線方程為 B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．在處的切線方程為 D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】BC【解析】對(duì)于AC，，由，得，所以切線的斜率，所以在處的切線方程為，所以A錯(cuò)誤，C正確，對(duì)于BD，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，解得，由，得，解得，所以在上遞增，在上遞減，所以B正確，D錯(cuò)誤，故選：BC10．（2024·高三·廣東珠?！ら_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．為其定義域上的增函數(shù) B．為偶函數(shù)C．的圖象與直線相切 D．有唯一的零點(diǎn)【答案】AD【解析】由題意，在中，定義域?yàn)?，，∴為上的增函?shù)，A正確；，∴為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)，∴斜率為0的切線為，不可能為直線，∴C錯(cuò)誤；為上的增函數(shù)，，∴有唯一的零點(diǎn)，D正確.故選：AD.11．（2024·高三·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）已知直線與曲線相切，則下列直線中可能與垂直的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】的定義域?yàn)?，，即直線的斜率，設(shè)與垂直的直線的斜率為，則，所以，.對(duì)于A，直線的斜率為，故A正確；對(duì)于B，直線的斜率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線的斜率為，故C正確；對(duì)于D，直線的斜率為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．（2024·高二·江蘇蘇州·階段練習(xí)）為了評(píng)估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門(mén)對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時(shí)間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（

）

A．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同C．在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同D．在和兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同【答案】AC【解析】選項(xiàng)A，在時(shí)刻，兩圖象相交，說(shuō)明甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，即選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，在時(shí)刻，兩圖象的切線斜率不相等，即兩人的不相等，說(shuō)明甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率不相同，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，由平均變化率公式知，甲、乙兩人在內(nèi)，血管中藥物濃度的平均變化率均為，即選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，在和兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率分別為和，顯然不相同，即選項(xiàng)D不正確．故選：AC.三、填空題13．（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】因?yàn)?，則，所以切點(diǎn)為，且，則，由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得，所以切線方程為.故答案為：14．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．【答案】1【解析】因?yàn)椋?，設(shè)函數(shù)，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以方程的解為，則所求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．故答案為：15．（2024·高三·云南楚雄·期末）若直線與曲線相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.【答案】【解析】由求導(dǎo)得，直線斜率為，代入導(dǎo)函數(shù)有：，解得.故答案為：四、解答題16．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已如曲線在處的切線與直線垂直.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由于的斜率為，所以，又,故，解得，（2）由（1）知，所以，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)