冪級數(shù)學習教學教案

第四章級數(shù)4.2冪級數(shù)1函數(shù)項級數(shù)復變函數(shù)項級數(shù):部分和:sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)2復變函數(shù)項級數(shù)在z0收斂:和:s(z0).在D內(nèi)處處收斂,則有和函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...函數(shù)項級數(shù)3定理(阿貝爾Abel)z0xyO冪級數(shù)5證冪級數(shù)6冪級數(shù)7iii)既存在使級數(shù)收斂的正實數(shù),也存在使級數(shù)發(fā)散

的正實數(shù).冪級數(shù)收斂圓和收斂半徑:利用阿貝爾定理,可以定出級數(shù)的收斂范圍,對一個冪級數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種:對所有的正實數(shù)都是收斂的.這時,根據(jù)阿貝爾定理可知級數(shù)在復平面內(nèi)處處絕對收斂.ii)對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的.這時,級數(shù)在復平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.8顯然a<b,將收斂域染成紅色,發(fā)散域為藍色.RCROabCaCbxy設z=α(正實數(shù))時,級數(shù)收斂,z=β(正實數(shù))時,級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)9當a由小逐漸變大時,Ca必定逐漸接近一個以原點為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍色.這個紅藍兩色的分界圓周CR稱為冪級數(shù)的收斂圓.

在收斂圓的外部,級數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級數(shù)絕對收斂.對冪級數(shù)

來說,收斂范圍是以z=a為中心的圓域.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.所以冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.冪級數(shù)10例1求冪級數(shù)[解]級數(shù)實際上是等比級數(shù),部分和為冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).11冪級數(shù)12冪級數(shù)13收斂半徑的求法:冪級數(shù)跟實的情況類似,有比值法和根值法,即都是與等比級數(shù)比較得證(具體略),牢記結果,會用,14象實變冪級數(shù)一樣,復變冪級數(shù)也能進行有理運算.設

在以原點為中心,r1,r2中較小的一個為半徑的圓內(nèi),這兩個冪級數(shù)可以象多項式那樣進行相加,相減,相乘,所得到的冪級數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.冪級數(shù)冪級數(shù)的運算和性質(zhì):15冪級數(shù)冪級數(shù)的運算和性質(zhì):16更為重要的是代換(復合)運算:這個代換運算,在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時,有著廣泛的應用.冪級數(shù)冪級數(shù)的運算和性質(zhì):17冪級數(shù)冪級數(shù)的運算和性質(zhì):18Oxyab當|z-a|<|b-a|=R時級數(shù)收斂19冪級數(shù)冪級數(shù)的運算和性質(zhì):3)可逐項積分,即20小結4.2冪級數(shù)21函數(shù)項級數(shù)復變函數(shù)項級數(shù):部分和:sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)22復變函數(shù)項級數(shù)在z0收斂:和:s(z0).在D內(nèi)處處收斂,則有和函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...函數(shù)項級數(shù)23冪級數(shù)24定理(阿貝爾Abel)z0xyO冪級數(shù)25收斂圓.

在收斂圓的外部,級數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級數(shù)絕對收斂.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.在收斂圓上是否收斂,則不一定.冪級數(shù)26冪級數(shù)27收斂半徑的求法:冪級數(shù)28冪級數(shù)冪級數(shù)的運算和性質(zhì):29更為重要的是代換(復合)運算:這個代換運算,在把函數(shù)展開成冪級數(shù)時,有