2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《平移問題》專項測試卷含答案

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《平移問題》專項測試卷含答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________知識與方法平移變換的定義：在平面內(nèi)，把圖形M上的所有點按一定方向移動一定的距離，形成圖形M'的幾何變換，就是平移變換，簡稱平移.平移變換的性質(zhì)：①平移前后圖形的對應(yīng)線段平行且相等,對應(yīng)角相等(如圖2-1-1①,AB=A'B',AB∥A'B');②平移前后圖形的形狀、大小不變，只是位置發(fā)生改變，即平移前后的圖形全等(如圖②，△ADE≌△BCE');③平移前后圖形的對應(yīng)點所連的線段平行(或在同一直線上)且相等(如圖①，AA平移變換的要素：平移方向和平移距離.典例精析例1如圖2-1-2,在邊長為1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,將△ABD沿射線BD方向平移,得到△EGF,連接EC,GC.則EC+GC的最小值為.【簡析】連接ED，由平移的性質(zhì)易得，四邊形EGCD是平行四邊形,∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值,點E在過點A且平行于BD的定直線上，由將軍飲馬模型易得EC+GC的最小值為3進階訓(xùn)練1.如圖2-1-3,在邊長為4的正方形ABCD中,將△ABD沿射線BD平移,得到△EGF,連接EC,GC.則EC+GC的最小值為.2.如圖2-1-4,將△ABC沿著射線BC方向平移至△A'B'C',使點A'落在△ACB的外角平分線CD上,連接AA'.(1)判斷四邊形ACC'A'的形狀，并說明理由；(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∠BAC= 答案：3典例精析例2如圖2-1-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為CB,CA邊上的點,且AE=BC,BD=CE,BE與AD的交點為P,則∠APE的度數(shù)為答案:45°【簡析】題目出現(xiàn)了2組相等線段，顯然必須設(shè)法將這些可用條件集中到特殊圖形中去，進而利用新構(gòu)造的特殊圖形的特殊性質(zhì)去解題.本題中的2組相等線段還隱藏有特殊的位置關(guān)系——垂直，可猜想將一些線段進行平移后構(gòu)造出等腰直角三角形進行解題，本題思路達成.解法一：平移線段BD.如圖2-1-6①,將線段BD沿射線DA方向平移,得到線段AF,連接BF,EF.∵由平移可知BD=AF,BD∥AF,∴四邊形ADBF為平行四邊形.∴AD∥BF.∴∠APE=∠EBF,∠C=∠EAF=90°.∵BD=CE,∴AF=CE.在△BCE和△EAF中,∵AF=CE,∠C=∠EAF=90°,AE=BC,∴△BCE≌△EAF(SAS).∴∠AEF=∠CBE,EF=BE.∵∠CBE+∠CEB=90°,∴∠AEF+∠CEB=90°,即∠BEF=90°.∴△BEF為等腰直角三角形.∴∠EBF=45°.∴∠APE=45°.本題基本圖形有圖2-1-6②③④.解法二：平移線段CE.如圖2-1-7①,將線段CE沿射線CB方向平移,得到線段BF,連接AF,EF,PF,DF.由平移可得四邊形BCEF為矩形，還可得△BDF和△AEF為等腰直角三角形，由相似之“一轉(zhuǎn)成雙”可知,△ADF∽△EBF,即∠DAF=∠BEF,由“8字型”可得∠APE=∠AFE=45°.本題基本圖形有圖2-1-7②③④.本題還有很多平移構(gòu)造法，如平移線段AE或平移線段BC等，自行嘗試一下還有哪些方案可行，此處不一一贅述.反思與總結(jié)平移可以把分散的線段、角相對集中起來，從而使已知條件相對集中起來，讓條件具有更緊湊的位置關(guān)系或變換成更簡單的基本圖形.這樣我們就可以利用平移后產(chǎn)生的圖形性質(zhì)對圖形進行研究，從而使問題得到轉(zhuǎn)化. 進階訓(xùn)練3.如圖2-1-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果在線段CB,CA上分別有點D,E,滿足AE=12BC,BD=12CE,4.如圖2-1-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,如果在線段CB,CA上分別有點D,E,滿足BC=3AE,CE=3BD,BE與AD交于點P,則tan∠5.已知∠ABC=90°,D是直線AB上的點,AD=BC.(1)如圖2-1-10①,過點A作AF⊥AB,并截取AF=BD(點C,F在直線AB的兩側(cè)),連接DF,CF.①依題意補全圖①；②判斷△CDF的形狀并證明.(2)如圖②,E是直線BC上的一點,直線AE,CD相交于點P,且∠APD=45°.求證:BD=CE.6.已知:在正方形ABCD的邊BC上任取一點F(點F不與B,C重合),連接AF,一條與AF垂直的直線l(垂足為點P)沿AF方向，從點A開始向下平移，交邊AB于點E.(1)當直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點D時,如圖2-1-11①所示.求證:AE=BF;(2)當直線l經(jīng)過AF的中點時，與對角線BD交于點Q,連接FQ,如圖②所示.求∠AFQ的度數(shù);(3)直線l繼續(xù)向下平移，當點P恰好落在對角線BD上時，交邊CD于點G，如圖③所示.設(shè)AB=2,BF=x,DG=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.參考答案 |進階訓(xùn)練|1.452.解:(1)四邊形ACC'A'是菱形.理由如下：由平移的性質(zhì)得到：AC∥A'C'，且AC=A'C',∴四邊形ACC'A'是平行四邊形.∴AA'∥CC'.∴∠A∵點A'落在△ACB的外角平分線CD上,∴∠AC∴∠A∴AC=AA'.∴四邊形ACC'A'是菱形.(2)∵在△ABC中,∠B=90°,AB=24,cos∴即24∴AC=26.∴BC=又由(1)知,四邊形ACC'A'是菱形,∴AC=A由平移的性質(zhì)得到：A∴C12[解析]解法一：平移線段BD.如圖①，將線段BD沿射線DA方向平移，得到線段AF，連接EF，BF，則四邊形AFBD為平行四邊形，可證得△AEF，可得△則tan解法二：平移線段AE.如圖①，將線段AE沿射線EB方向平移,得到線段BF,連接AF,DF,則四邊形AEBF為平行四邊形,可證得△BFD∽△CBE,相似比為12，可得△ADF為直角三角形，且tan∠DAF=1此解法基本圖形如圖：(本題還有很多平移構(gòu)造法，不再一一展示) 4.5.解:(1)①補全圖形,如圖①所示.②結(jié)論：△CDF是等腰直角三角形.證明:∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD和△DBC中AF=BD,∴△FAD≌△DBC.∴FD=DC,∠1=∠2.∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°,即∠CDF=90°.∴△CDF是等腰直角三角形.(2)證明:如圖②,過點A作AF⊥AB,并截取AF=BD,連接DF,CF.由(1)②可知△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=∠APD=45°.∴FC∥AE.∵∠ABC=90°,AF⊥AB,∴AF∥CE.∴四邊形AFCE是平行四邊形.∴AF=CE.∴BD=CE.6.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠BAD=90°.∵DE⊥AF,∴∠APD=90°.∴∠PAD+∠ADE=90°,∠PAD+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠ADE.∴△ABF≌△DAE(ASA),∴BF=AE.(2)如圖①,連接AQ,CQ.∵四邊形ABCD是正方形，∴BA=BC,∠ABQ=∠CBQ=45°.∵BQ=BQ,∴△ABQ≌△CBQ(SAS).∴QA=QC,∠BAQ=∠QCB.∵EQ垂直平分線段AF,∴QA=QF.∴QF=QC.∴∠QFC=∠QCF.∴∠QFC=∠BAQ.∵∠QFC+∠BFQ=180°,∴∠BAQ+∠BFQ=180°.∴∠AQF+∠ABF=180°.∵∠ABF=90°,∴∠AQF=90°.∴∠AFQ=∠FAQ=45°.(3)如圖②,過點E作ET⊥CD于T,則四邊形BCTE是矩形.∴ET=BC,∠BET=∠AET=90°.∵