重難點06 開放探究與新定義問題

重難點突破06開放探究與新定義問題重難點題型突破題型01新定義問題類型一新定義問題-數(shù)、式、方程1．（2022·四川巴中·中考真題）對于實數(shù)a，b定義新運算：a※b=ab2?b，若關(guān)于x的方程1A．k>?14 B．k<?14 C．k>?14且2．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）對于實數(shù)a，b定義運算“?”為a?b=b2?ab，例如3?2=22?3×2=?2，則關(guān)于x的方程A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定3．（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=4．（2023·山東棗莊·中考真題）對于任意實數(shù)a，b，定義一種新運算：a※b=a?ba≥2ba+b?6(a<2b)，例如：(1)4※3=___________，(2)若(3x+2)※(x?1)=5，求類型二新定義問題-函數(shù)5．（2023·山東濟南·中考真題）定義：在平面直角坐標系中，對于點Px1,y1，當(dāng)點Qx2,y①點Q13,8，Q2②若直線y=x+2上的點A是點P1的“倍增點”，則點A的坐標為2,4③拋物線y=x2?④若點B是點P1的“倍增點”，則P1B其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·江蘇鹽城·中考真題）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù)．【初步理解】（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①y=x2?1；②y=【嘗試應(yīng)用】（2）函數(shù)y=x+c（c為常數(shù)，c>0）的圖象與x軸交于點A，其軸點函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為點B.若OB=【拓展延伸】（3）如圖，函數(shù)y=12x+t（t為常數(shù)，t>0）的圖象與x軸、y軸分別交于M，C兩點，在x軸的正半軸上取一點N，使得ON=OC.以線段MN的長度為長、線段MO的長度為寬，在x軸的上方作矩形MNDE.若函數(shù)y=12x+t（t為常數(shù)，t>0）的軸點函數(shù)y=mx

7．（2023·北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于⊙O的弦AB和⊙O外一點C給出如下定義：若直線CA，CB中一條經(jīng)過點O，另一條是⊙O的切線，則稱點C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”．

(1)如圖，點A?1,0，B1①在點C1?1,1，C2(?2②若點C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出(2)已知點M0,3，N655,0．對于線段MN上一點S，存在⊙O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點”，記PQ的長為t，當(dāng)點S8．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）定義：在平面直角坐標系xOy中，當(dāng)點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．

(1)如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A?1,2，B?1,?1，C3,?1，D3,2，在點M11,1，(2)點G2,2是反比例函數(shù)y1=kx圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是___________，直線GH的解析式是y(3)如圖②，已知點A，B是拋物線y=?12x2+x+92上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接AC類型三新定義問題-圖形的性質(zhì)與變化9．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α?β)=sinαcos10．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為22n+1?12n（1）概念理解：當(dāng)n=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與長CD的比值是_________．（2）操作驗證：用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應(yīng)點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．11．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長．12．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知點M(a,b),N.對于點P給出如下定義：將點P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a個單位長度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b個單位長度，得到點P'，點P'關(guān)于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應(yīng)點”．(1)如圖，點M(1,1),點N在線段OM的延長線上，若點P(?2,0),點Q為點P的“對應(yīng)點”．①在圖中畫出點Q；②連接PQ,交線段ON于點T.求證：NT=(2)⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點，點N在線段OM上，且ON=t(12<t<1)，若P為⊙O外一點，點Q為點P的“對應(yīng)點”，連接PQ.當(dāng)點M在⊙O上運動時直接寫出PQ題型02方法遷移題型13．（2023·湖南張家界·中考真題）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2則S==(2a+=b+2a例如：當(dāng)a=1，b=3時，S根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)當(dāng)a=1，b=3時，S3?S(2)當(dāng)a=1，b=3時，把邊長為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出(3)當(dāng)a=1，b=3時，令t1=S2?S1，t2=14．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x＝a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解：類似的，三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2?2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為xx2(1)問題：方程6x3+14x2?12x=0的解是：(2)拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程2x+3=x(3)應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=14m，寬AB=12m，點P在AD上（AP>PD），小華把一根長為28m的繩子一段固定在點B，把長繩PB段拉直并固定在點P，再拉直，長繩的另一端恰好落在點C，求AP的長．

15．（2022·湖北黃石·中考真題）閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程x22?13x2+36=0，如果我們把x2看作一個整體，然后設(shè)y=材料2已知實數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，n2?n?1=0，且m≠n，顯然m，n是方程x2根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程x4(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)a，b滿足：2a4?7a2+1=0，(3)拓展應(yīng)用：已知實數(shù)x，y滿足：1m4+1m2=716．（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1

方程x2?x?6=0的兩根為x1=?2，x2=3，可得函數(shù)y=x2?x?6的圖像與x方法2

不等式x2?x?6<0可變形為x2<x+6，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=x2與y=x+6的圖像關(guān)系．畫出函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點橫坐標也是方法3

當(dāng)x=0時，不等式一定成立；當(dāng)x>0時，不等式變?yōu)閤?1<6x；當(dāng)x<0時，不等式變?yōu)閤?1>6x．問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)任務(wù)：(1)不等式x2(2)3種方法都運用了___________的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；A.分類討論

B.轉(zhuǎn)化思想

C.特殊到一般

D.數(shù)形結(jié)合(3)請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡圖，并結(jié)合圖像作出解答．17．【12345模型】（2023·四川涼山·中考真題）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα=12證明：設(shè)BE=k，∵tanα=12，∴易證△AEB≌△EFC∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=若α+β=45°時，當(dāng)tanα=12同理：若α+β=45°時，當(dāng)tanα=13根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線y=3x?9與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象交于點A，與x軸交于點B．將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點E，過點A作AM⊥x軸于點M，過點A作AN⊥y軸于點N

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出tan∠BAM、(3)求直線AE的解析式．題型03歸納概括問題18．（2023·浙江嘉興·中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫出192(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(3)請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．19．【中點四邊形模型】（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點，順次連接E,F,G,H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點P,Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H,G分別為AD,CD的中點，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?HPQG∵S△ADC=1任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

20．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點D在l1，l2之間時，設(shè)點A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC____________________(2)如圖③，當(dāng)點D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點M證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥__________∴△AEM∽__________．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點D在l2下方時，連接AD交l2于點E．若點A，E，D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC21．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：asin證明：如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，則：在RtΔBCD中，CD=asinB在RtΔACD中，CD=b∴a∴a根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：b(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，題型04探究實踐類問題22．（2023·山東濰坊·中考真題）［材料閱讀]用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知12即12方法2：借助函數(shù)y=12x+12+122+123即兩個函數(shù)圖象的交點到x軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點(1,1)到x軸的距為1，所以，12

【實踐應(yīng)用】任務(wù)一

完善23

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23方法2：借助函數(shù)y=23x+因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為______，所以，23任務(wù)二

參照上面的過程，選擇合適的方法，求34任務(wù)三

用方法2，求q+q2+【遷移拓展】長寬之比為5+1觀察圖⑤，直接寫出5?1

23．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，AH⊥CE于點H，點M在CH上，且AH=HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．

24．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC=OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．

請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

25．【手拉手模型】（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實踐數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：______，∠BDC=______°；(2)類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；(3)拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，連接BE，CF，且點B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點A作AM⊥BF，垂足為點M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB=2，若平面內(nèi)存在點P滿足∠BPD=90°，PD=1，則S△ABP

重難點突破06開放探究與新定義問題重難點題型突破題型01新定義問題類型一新定義問題-數(shù)、式、方程1．（2022·四川巴中·中考真題）對于實數(shù)a，b定義新運算：a※b=ab2?b，若關(guān)于x的方程1A．k>?14 B．k<?14 C．k>?14且【答案】A【分析】根據(jù)新定義運算法則列方程，然后根據(jù)一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判別式列不等式組求解．【詳解】解：∵1※∴x2即x2∵關(guān)于x的方程1※∴Δ=解得：k＞故選：A．【點睛】本題屬于新定義題目，考查一元二次方程的根的判別式，熟練掌握根的判別式Δ＝b2．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）對于實數(shù)a，b定義運算“?”為a?b=b2?ab，例如3?2=22?3×2=?2，則關(guān)于x的方程A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)新定義得到關(guān)于x的方程為x2【詳解】解：∵k?3?x=k?1∴x2∴x2∴Δ=b∴方程x2故選A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，新定義下的實數(shù)運算，正確得到關(guān)于x的方程為x23．（2022·浙江寧波·中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=【答案】?12【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1∴(x+1)?x=1又∵(x+1)?x=2x+1∴2x+1x∴x2∴x2∴x2∵(x+1)?x=2x+1x即∴2x+1=0，解得x=?1經(jīng)檢驗x=?12是方程故答案為：?1【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東棗莊·中考真題）對于任意實數(shù)a，b，定義一種新運算：a※b=a?ba≥2ba+b?6(a<2b)，例如：(1)4※3=___________，(2)若(3x+2)※(x?1)=5，求【答案】(1)1；2；(2)x=1，【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（2）已知等式利用已知的新定義進行分類討論并列出方程，再計算求出x的值即可．【詳解】（1）∵4＜∴4※∵?1∴(?1)※故答案為：1；2；（2）若3x+2≥2(x?1)時，即x≥?4時，則(3x+2)?(x?1)=5，解得：x=1，若3x+2＜2(x?1)時，即(3x+2)+(x?1)?6=5，解得：x=5∴x=1，【點睛】此題考查了實數(shù)的新定義運算及解一元一次方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．類型二新定義問題-函數(shù)5．（2023·山東濟南·中考真題）定義：在平面直角坐標系中，對于點Px1,y1，當(dāng)點Qx2,y①點Q13,8，Q2②若直線y=x+2上的點A是點P1的“倍增點”，則點A的坐標為2,4③拋物線y=x2?④若點B是點P1的“倍增點”，則P1B其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根據(jù)題目所給“倍增點”定義，分別驗證Q1,Q2即可；②點Aa,a+2，根據(jù)“倍增點”定義，列出方程，求出a的值，即可判斷；③設(shè)拋物線上點Dt,t2?2t?3是點P1的“倍增點”，根據(jù)“倍增點”定義列出方程，再根據(jù)判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設(shè)點Bm,n【詳解】解：①∵P11,0，∴2x∴2x1+x2∵P11,0，∴2x∴2x1+x2故①正確，符合題意；②設(shè)點Aa,a+2∵點A是點P1∴2×1+a解得：a=0，∴A0,2故②不正確，不符合題意；③設(shè)拋物線上點Dt,t2∴21+t=t∵Δ=∴方程有兩個不相等實根，即拋物線y=x2?故③正確，符合題意；④設(shè)點Bm,n∵點B是點P1∴2m+1∵Bm,n，P∴P==5=5m+∵5>0，∴P1B2∴P1B的最小值是故④正確，符合題意；綜上：正確的有①③④，共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點間的距離公式，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給“倍增點”定義，根據(jù)定義列出方程求解．6．（2023·江蘇鹽城·中考真題）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù)．【初步理解】（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①y=x2?1；②y=【嘗試應(yīng)用】（2）函數(shù)y=x+c（c為常數(shù)，c>0）的圖象與x軸交于點A，其軸點函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為點B.若OB=【拓展延伸】（3）如圖，函數(shù)y=12x+t（t為常數(shù)，t>0）的圖象與x軸、y軸分別交于M，C兩點，在x軸的正半軸上取一點N，使得ON=OC.以線段MN的長度為長、線段MO的長度為寬，在x軸的上方作矩形MNDE.若函數(shù)y=12x+t（t為常數(shù)，t>0）的軸點函數(shù)y=mx

【答案】（1）①；（2）b=5或?3；（3）n=1或n=?1?2或【分析】（1）求出函數(shù)y=x?1與坐標軸的交點，再判斷這兩個點在不在二次函數(shù)圖象上即可；（2）求出函數(shù)y=x+c與坐標軸的交點，再由OB=14OA（3）先求出M，C的坐標，再根據(jù)y=mx2+nx+t的頂點P【詳解】（1）函數(shù)y=x?1交x軸于1,0，交y軸于0,?1，∵點1,0、0,?1都在y=x∴①y=x2?1∵點0,?1不在y=x∴②y=x2?x故答案為：①；（2）函數(shù)y=x+c交x軸于A?c,0，交y軸于0,c∵函數(shù)y=x+c的軸點函數(shù)y=a∴A?c,0和0,c都在y=a∵c>0∴OA=c∵OB=1∴OB=∴B?1當(dāng)B?14c,0時，把A?c,00=116a當(dāng)B14c,0時，把A?c,00=116a綜上，b=5或?3；（3）函數(shù)y=12x+t交x軸于M?2t,0，交∵ON=OC，以線段MN的長度為長、線段MO的長度為寬，在x軸的上方作矩形MNDE∴Nt,0，Dt,2t，∵函數(shù)y=12x+t（t為常數(shù)，∴M?2t,0和C0,t在∴0=m?2t2∴n=2mt+∴y=mx2+nx+t的頂點P∵函數(shù)y=mx2+nx+t的頂點P∴可以分三種情況討論：當(dāng)P與M重合時；當(dāng)P在ED上時；當(dāng)P在DN上時；當(dāng)P與M重合時，即?n2m=?2t當(dāng)P在ED上時，?2t<?n2m<t4mt?此時二次函數(shù)開口向下，則m<0∴?2t<?n2m<t由n=2mt+12整理得∴2解得n<1∴n=?1?2當(dāng)P在DN上時，?n2m=t0≤∴2mt=?此時對稱軸左邊y隨x的增大而增大，∴m<0∴0≤4mt?n∴代入2mt=?14、n=1∴n=1綜上所述，n=1或n=?1?2或【點睛】本題綜合考查一次函數(shù)與二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解軸點函數(shù)的定義．7．（2023·北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1．對于⊙O的弦AB和⊙O外一點C給出如下定義：若直線CA，CB中一條經(jīng)過點O，另一條是⊙O的切線，則稱點C是弦AB的“關(guān)聯(lián)點”．

(1)如圖，點A?1,0，B1①在點C1?1,1，C2(?2②若點C是弦AB2的“關(guān)聯(lián)點”，直接寫出(2)已知點M0,3，N655,0．對于線段MN上一點S，存在⊙O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點”，記PQ的長為t，當(dāng)點S【答案】(1)C1，C2(2)1≤t≤233【分析】（1）根據(jù)題目中關(guān)聯(lián)點的定義并分情況討論計算即可；（2）根據(jù)M0,3，N655,0兩點來求最值情況，S共有2種情況，分別位于點M【詳解】（1）解：①由關(guān)聯(lián)點的定義可知，若直線CA，CB中一經(jīng)過點O，另一條是⊙O的切線，則稱點C是弦∵點A?1,0，B1?22,2∴直線B1C2經(jīng)過點O，且A∴C2是弦A又∵C1?1,1和A?1,0橫坐標相等，與B∴AC1與⊙O相切，B1∴C1是弦A②∵A?1,0，B設(shè)Ca

a、若C1B2與⊙O相切，則C1B2、A解得：C1∴OCb、若AC2與⊙O相切，C則C2B2、A解得：C2∴OC綜上，OC（2）解：∵線段MN上一點S，存在⊙O的弦PQ，使得點S是弦PQ的“關(guān)聯(lián)點”，又∵弦PQ隨著S的變動在一定范圍內(nèi)變動，且M0,3，N65∴S共有2種情況，分別位于點M和經(jīng)過點O的MN的垂線上，如圖所示，

①當(dāng)S位于點M0,3時，MP為⊙O的切線，作PJ⊥OM∵M0,3，⊙O的半徑為1，且MP為⊙O∴OP⊥MP，∵PJ⊥OM，∴△MPO∽△POJ，∴OPOJ=OM解得OJ=1∴根據(jù)勾股定理得，PJ=PO根據(jù)勾股定理，PQ1=∴當(dāng)S位于點M0,3時，PQ1的臨界值為2②當(dāng)S位于經(jīng)過點O的MN的垂直平分線上即點K時，∵點M0,3，N∴MN=O∴OK=OM×ON÷MN=2，又∵⊙O的半徑為1，∴∠OKZ=30°，∴三角形OPQ為等邊三角形，∴在此情況下，PQ=1，PQ=3∴當(dāng)S位于經(jīng)過點O的MN的垂直平分線上即點K時，PQ1的臨界值為1和∴在兩種情況下，PQ的最小值在1≤t≤23綜上所述，t的取值范圍為1≤t≤233【點睛】本題主要考查最值問題，題目較為新穎，要靈活運用知識點，明確新概念時解答此題的關(guān)鍵．8．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）定義：在平面直角坐標系xOy中，當(dāng)點N在圖形M的內(nèi)部，或在圖形M上，且點N的橫坐標和縱坐標相等時，則稱點N為圖形M的“夢之點”．

(1)如圖①，矩形ABCD的頂點坐標分別是A?1,2，B?1,?1，C3,?1，D3,2，在點M11,1，(2)點G2,2是反比例函數(shù)y1=kx圖象上的一個“夢之點”，則該函數(shù)圖象上的另一個“夢之點”H的坐標是___________，直線GH的解析式是y(3)如圖②，已知點A，B是拋物線y=?12x2+x+92上的“夢之點”，點C是拋物線的頂點，連接AC【答案】(1)M1，(2)H?2,?2，y2=x，(3)△ABC是直角三角形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形內(nèi)部或邊上即可；（2）把G2,2代入y1=kx求出解析式，再求與y=x的交點即為H（3）根據(jù)“夢之點”的定義求出點A，B的坐標，再求出頂點C的坐標，最后求出AC，AB，BC，即可判斷△ABC的形狀．【詳解】（1）∵矩形ABCD的頂點坐標分別是A?1,2，B?1,?1，C3,?1∴矩形ABCD“夢之點”x,y滿足?1≤x≤3，?1≤y≤2，∴點M11,1，M22,2是矩形ABCD“夢之點”，點故答案為：M1，M（2）∵點G2,2是反比例函數(shù)y∴把G2,2代入y1=∴y1∵“夢之點”的橫坐標和縱坐標相等，∴“夢之點”都在直線y=x上，聯(lián)立y1=4xy=x∴H?2,?2∴直線GH的解析式是y2函數(shù)圖象如圖：

由圖可得，當(dāng)y1>y2時，x的取值范圍是故答案為：H?2,?2，y2=x，x<?2（3）△ABC是直角三角形，理由如下：∵點A，B是拋物線y=?1∴聯(lián)立y=?12x2+x+∴A3,3，B∵y=?∴頂點C1,5∴AC2=3?12∴BC∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題是函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，理解坐標與圖形性質(zhì)，記住兩點間的距離公式，正確理解新定義是解決此題的關(guān)鍵．類型三新定義問題-圖形的性質(zhì)與變化9．（2022·黑龍江綏化·中考真題）定義一種運算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α?β)=sinαcos【答案】6【分析】根據(jù)sin(α?β)=【詳解】解：sin=sin=2=6=6?故答案為：6?【點睛】此題考查了公式的變化，以及銳角三角函數(shù)值的計算，掌握公式的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇·中考真題）綜合與實踐定義：將寬與長的比值為22n+1?12n（1）概念理解：當(dāng)n=1時，這個矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過的黃金矩形，它的寬（AD）與長CD的比值是_________．（2）操作驗證：用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖（2））：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應(yīng)點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．試說明：矩形GDCK是1階奇妙矩形．（3）方法遷移：用正方形紙片ABCD折疊出一個2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫出折疊示意圖并作簡要標注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個n階奇妙矩形都可以通過折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點E為正方形ABCD邊AB上（不與端點重合）任意一點，連接CE，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值．請寫出這個定值，并說明理由．【答案】（1）5?12；（2）見解析；（3）【分析】（1）將n=1代入22n（2）設(shè)正方形的邊長為2，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=EB=1，設(shè)DG=x，則AG=2?x，在Rt△AEG,（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)n=1時，22n故答案為：5?1（2）如圖（2），連接EG，設(shè)正方形的邊長為2，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AE=EB=1設(shè)DG=x，則AG=2?x根據(jù)折疊，可得GH=GD=x，CH=CD=2，在Rt△BEC中，EC=∴EH=5在Rt△AEG,A∴2?x解得：x=∴GD∴矩形GDCK是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片ABCD進行如下操作（如圖）：第一步：對折正方形紙片，展開，折痕為MN，再對折，折痕為EF，連接CE；第二步：折疊紙片使CD落在CE上，點D的對應(yīng)點為點H，展開，折痕為CG；第三步：過點G折疊紙片，使得點A、B分別落在邊AD、BC上，展開，折痕為GK．矩形GDCK是2階奇妙矩形，理由如下，連接GE，設(shè)正方形的邊長為4，根據(jù)折疊可得EB=1，則AE=4?1=3，設(shè)DG=x，則AG=4?x根據(jù)折疊，可得GH=GD=x，CH=CD=4，在Rt△BEC中，EC=∴EH=17在Rt△AEG,A∴4?x解得：x=∴GD當(dāng)n=2時，2∴矩形GDCK是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒GE，設(shè)正方形的邊長為1，設(shè)EB=m，則AE=1?m，設(shè)DG=x，則AG=1?x根據(jù)折疊，可得GH=GD=x，CH=CD=1，在Rt△BEC中，EC=∴EH=1+在Rt△AEG,A∴1?x整理得，x=∴四邊形AGHE的邊長為1?x+x+1+m矩形GDCK的周長為2GD+DC∴四邊形AGHE的周長與矩形GDCK的周長比值總是定值1【點睛】本題考查了正方形的折疊問題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江寧波·中考真題）定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角．

(1)如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，對角線BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD為鄰等四邊形．(2)如圖2，在6×5的方格紙中，A，B，C三點均在格點上，若四邊形ABCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合條件的格點D．(3)如圖3，四邊形ABCD是鄰等四邊形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD為鄰等角，連接AC，過B作BE∥AC交DA的延長線于點E．若AC=8,DE=10，求四邊形EBCD的周長．【答案】(1)證明見解析(2)畫圖見解析(3)38?6【分析】（1）先證明∠ABC=180°?∠A=90°，∠ADB=∠CBD，再證明CD=CB，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)新定義分兩種情況進行討論即可；①∠B=∠C=90，結(jié)合圖形再確定滿足CB=CD或AD=CD的格點D；②∠B=∠A=90，結(jié)合圖形再確定滿足AB=AD的格點D；（3）如圖，過C作CQ⊥AD于Q，可得四邊形ABCQ是矩形，AQ=BC，AD∥BC，證明四邊形ACBE為平行四邊形，可得BE=AC=8，AE=BC，設(shè)BC=AE=x，而DE=10，AD=10?x，DQ=x?10?x=2x?10，由新定義可得【詳解】（1）解：∵AD∥BC,∠A=90°，∴∠ABC=180°?∠A=90°，∠ADB=∠CBD，∵對角線BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴CD=CB，∴四邊形ABCD為鄰等四邊形．（2）解：D1，D2，（3）如圖，過C作CQ⊥AD于Q，

∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四邊形ABCQ是矩形，∴AQ=BC,AB=CQ，AD∥∵BE∥∴四邊形ACBE為平行四邊形，∴BE=AC=8，AE=BC，設(shè)BC=AE=x，而DE=10，∴AD=10?x，DQ=x?10?x由新定義可得CD=CB=x，由勾股定理可得：x2整理得：x2解得：x1=10?32∴CB=CD=10?32∴四邊形EBCD的周長為10+8+210?3【點睛】本題考查的是新定義的含義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解題意，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．（2022·北京·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知點M(a,b),N.對于點P給出如下定義：將點P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a個單位長度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b個單位長度，得到點P'，點P'關(guān)于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應(yīng)點”．(1)如圖，點M(1,1),點N在線段OM的延長線上，若點P(?2,0),點Q為點P的“對應(yīng)點”．①在圖中畫出點Q；②連接PQ,交線段ON于點T.求證：NT=(2)⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點，點N在線段OM上，且ON=t(12<t<1)，若P為⊙O外一點，點Q為點P的“對應(yīng)點”，連接PQ.當(dāng)點M在⊙O上運動時直接寫出PQ【答案】(1)見解析(2)4t?2【分析】（1）①先根據(jù)定義和M(1,1)求出點P'的坐標，再根據(jù)點P'關(guān)于點N的對稱點為Q求出點Q的坐標；②延長ON至點A3,3，連接AQ，利用AAS證明ΔAQT?ΔOPT，得到TA=TO=12OA，再計算出OA（2）連接PO并延長至S，使OP=OS，延長SQ至T，使ST=OM，結(jié)合對稱的性質(zhì)得出NM為ΔP'QT的中位線，推出NM=12QT【詳解】（1）解：①點Q如下圖所示．∵點M(1,1)，∴點P(?2,0)向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點P'，∴P'?1,1∵點P'關(guān)于點N的對稱點為Q，N2,2∴點Q的橫坐標為：2×2??1=5，縱坐標為：∴點Q5,3②證明：如圖延長ON至點A3,3，連接AQ∵AQ//∴∠AQT=∠OPT，在ΔAQT與Δ∠AQT=∠OPT∠ATQ=∠OTP∴ΔAQT?∴TA=TO=1∵A3,3，M(1,1)，N(2,2)∴OA=32+32∴TO=1∴NT=ON?OT=22∴NT=1（2）解：如圖所示，連接PO并延長至S，使OP=OS，延長SQ至T，使ST=OM，∵M(a,b)，點P向右(a≥0)或向左(a<0)平移a個單位長度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移b個單位長度，得到點P'，∴PP'=OM=1，∵點P'關(guān)于點N的對稱點為Q，∴NP'=NQ，又∵OP=OS，∴OM∥∴NM為ΔP'QT∴NM//QT，∵NM=OM?ON=1?t，∴TQ=2NM=2?2t，∴SQ=ST?TQ=1?2?2t=2t?1在ΔPQS中，PS?QS<PQ<PS+QS結(jié)合題意，PQmax=PS+QS∴PQ即PQ長的最大值與最小值的差為4t?2．【點睛】本題考查點的平移，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點間距離，中位線的性質(zhì)及線段的最值問題，第2問難度較大，根據(jù)題意，畫出點Q和點P'的軌跡是解題的關(guān)鍵．題型02方法遷移題型13．（2023·湖南張家界·中考真題）閱讀下面材料：將邊長分別為a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面積分別記為S1，S2則S==(2a+=b+2a例如：當(dāng)a=1，b=3時，S根據(jù)以上材料解答下列問題：(1)當(dāng)a=1，b=3時，S3?S(2)當(dāng)a=1，b=3時，把邊長為a+nb的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出(3)當(dāng)a=1，b=3時，令t1=S2?S1，t2=【答案】(1)9+23，(2)猜想結(jié)論：Sn+1(3)7500+100【分析】（1）根據(jù)題意，直接代入然后利用完全平方公式展開合并求解即可；（2）根據(jù)題意得出猜想，然后由完全平方公式展開證明即可；（3）結(jié)合題意利用（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：S===2a當(dāng)a=1，b=3時，原式=23S===2a當(dāng)a=1，b=3時，原式=23（2）猜想結(jié)論：S證明：S==3(2n?1)+2=6n?3+23（3）T=====7500+1003【點睛】題目主要考查利用完全平方公式進行計算，理解題意，得出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．14．（23-24九年級上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x＝a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解：類似的，三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想﹣﹣轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2?2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為xx2(1)問題：方程6x3+14x2?12x=0的解是：(2)拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程2x+3=x(3)應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=14m，寬AB=12m，點P在AD上（AP>PD），小華把一根長為28m的繩子一段固定在點B，把長繩PB段拉直并固定在點P，再拉直，長繩的另一端恰好落在點C，求AP的長．

【答案】(1)23，(2)x=3(3)9m【分析】本題考查了無理方程、一元二次方程的解法，看懂題例理解轉(zhuǎn)化的思想方法是解決本題的關(guān)鍵．（1）利用因式分解法，求解即可；（2）兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，求解即可；（3）設(shè)AP的長為xm，通過勾股定理用含x的代數(shù)式表示出BP、PC，根據(jù)繩長列出方程，利用轉(zhuǎn)化的思想把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵6x∴2x3∴2x3x?2∴2x=0或3x?2=0或x+3=0．∴x1=0故答案為：23，（2）解：方程2x+3=x，兩邊平方得2x+3=∴x2∴x?3x+1∴x1經(jīng)檢驗，x=3是原方程的根，x=?1不是原方程的根．所以原方程的解為x=3（3）解：設(shè)AP的長為xm，則DP的長為14?xm．由題意得：12整理得2兩邊平方得4144+即3x整理得x2∴x?5x?9∴x1經(jīng)檢驗x1由于AP>DP，∴AP=9m．15．（2022·湖北黃石·中考真題）閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程x22?13x2+36=0，如果我們把x2看作一個整體，然后設(shè)y=材料2已知實數(shù)m，n滿足m2?m?1=0，n2?n?1=0，且m≠n，顯然m，n是方程x2根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應(yīng)用：方程x4(2)間接應(yīng)用：已知實數(shù)a，b滿足：2a4?7a2+1=0，(3)拓展應(yīng)用：已知實數(shù)x，y滿足：1m4+1m2=7【答案】(1)x1=2，x2(2)454或(3)15【分析】（1）利用換元法降次解決問題；（2）模仿例題解決問題即可；（3）令1m2=a，-n=b，則a2+a-7=0，b【詳解】（1）解：令y=x2，則有y2-5∴（y-2）（y-3）=0，∴y1=2，y∴x2∴x1=2，x2=?故答案為：x1=2，x2=?（2）解：∵a≠b，∴a2≠①當(dāng)a2≠b2時，令∴m≠n則2m2?7m+1=0∴m，n是方程2x∴m+n=7此時a4②當(dāng)a2=b此時a4綜上：a4+（3）解：令1m2=a，?n=b，則a∵n>0，∴1m2≠?n∴a，b是方程x2∴a+b=?1ab=?7故1m【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，冪的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會模仿例題解決問題．16．（2023·江蘇泰州·中考真題）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式、函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1

方程x2?x?6=0的兩根為x1=?2，x2=3，可得函數(shù)y=x2?x?6的圖像與x方法2

不等式x2?x?6<0可變形為x2<x+6，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=x2與y=x+6的圖像關(guān)系．畫出函數(shù)圖像，觀察發(fā)現(xiàn)：兩圖像的交點橫坐標也是方法3

當(dāng)x=0時，不等式一定成立；當(dāng)x>0時，不等式變?yōu)閤?1<6x；當(dāng)x<0時，不等式變?yōu)閤?1>6x．問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)任務(wù)：(1)不等式x2(2)3種方法都運用了___________的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項中選1個序號即可）；A.分類討論

B.轉(zhuǎn)化思想

C.特殊到一般

D.數(shù)形結(jié)合(3)請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖像的簡圖，并結(jié)合圖像作出解答．【答案】(1)?2<x<3(2)D(3)圖像見解析，不等式x2?x?6<0【分析】（1）如圖1，作y=x2?x?6的圖像，由方法1可知，不等式x（2）由題意知，3種方法都運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；（3）如圖2，作函數(shù)y=x?1與y=6x的圖像，由圖像可得，x2?x?6<0的解集為?2<x<0，或【詳解】（1）解：如圖1，作y=x

由方法1可知，不等式x2?x?6<0的解集為故答案為：?2<x<3；（2）解：由題意知，3種方法都運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，故選：D；（3）解：如圖2，作函數(shù)y=x?1與y=6

由圖像可得，x2?x?6<0的解集為?2<x<0，或綜上，x2?x?6<0的解集為【點睛】本題考查了數(shù)形結(jié)合求一元二次不等式的解集，作二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的作函數(shù)圖象．17．（2023·四川涼山·中考真題）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα=12

證明：設(shè)BE=k，∵tanα=12易證△AEB≌△EFC∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=若α+β=45°時，當(dāng)tanα=12同理：若α+β=45°時，當(dāng)tanα=13根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線y=3x?9與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象交于點A，與x軸交于點B．將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點E，過點A作AM⊥x軸于點M，過點A作AN⊥y軸于點N

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)直接寫出tan∠BAM、(3)求直線AE的解析式．【答案】(1)y=(2)tan∠BAM=1(3)y=【分析】（1）首先求出點B3,0，然后設(shè)Aa,3a?9，在Rt△AOM中，利用勾股定理求出a=4，得到A（2）首先根據(jù)A4,3，B3,0得到MO=4，BO=3，求出MB=1，AM=3，然后利用正切值的概念求出tan∠BAM=BMAM=13，然后證明出四邊形（3）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AN=OM=4，NO=AM=3，然后利用tan∠NAE=12求出NE=2，進而得到E0,1，然后設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法將【詳解】（1）將y=0代入y=3x?9得，x=3，∴B3,0∵直線y=3x?9與反比例函數(shù)y=mx(x>0)∴設(shè)Aa,3a?9∵AM⊥x，OA=5，∴在Rt△AOM中，O∴a2∴解得a1=4，∵點A的橫坐標要大于點B的橫坐標，∴a2∴a=4，∴A4,3∴將A4,3代入y=mx∴反比例函數(shù)的解析式為y=12（2）∵A4,3，B∴MO=4，BO=3，∴MB=1，AM=3，∵AM⊥x，∴tan∠BAM=∵AN⊥y，∠NOM=90°，∴四邊形NOMA是矩形，∴∠NAM=90°，∵將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點E，∴∠BAE=45°，∴∠BAM+∠NAE=45°，∵tan∠BAM=∴tan∠NAE=（3）∵四邊形NOMA是矩形，∴AN=OM=4，NO=AM=3，∵AN⊥y，tan∠NAE=∴NEAN=1∴解得NE=2，∴OE=ON?NE=1，∴E0,1∴設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，∴將E0,1和A4,3代入得，∴解得b=1k=∴直線AE的解析式為y=1【點睛】此題考查了反比例函數(shù)，一次函數(shù)和幾何綜合題，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確理解材料的內(nèi)容．題型03歸納概括問題18．（2023·浙江嘉興·中考真題）觀察下面的等式：3(1)寫出192(2)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(3)請運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．【答案】(1)8×9(2)(2n+1)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（2）根據(jù)題干的規(guī)律求解即可；（3）將(2n+1)2【詳解】（1）192（2）(2n+1)2（3）(2n+1)=(2n+1+2n?1)(2n+1?2n+1)=4n×2=8n．【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，因式分解，整式乘法的混合運算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的變化規(guī)律．19．（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD，DA的中點，順次連接E,F,G,H，得到的四邊形EFGH是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形EFGH被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁Varingnon，

①當(dāng)原四邊形的對角線滿足一定關(guān)系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接AC，分別交EH,FG于點P,Q，過點D作DM⊥AC于點M，交HG于點N．∵H,G分別為AD,CD的中點，∴HG∥AC,HG=1

∴DNNM=DGGC．∵∵四邊形EFGH是瓦里尼翁平行四邊形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．∵HG∥AC，即HG∥PQ，∴四邊形HPQG是平行四邊形．（依據(jù)2）∴S?HPQG∵S△ADC=1任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請用刻度尺、三角板等工具，畫一個四邊形ABCD及它的瓦里尼翁平行四邊形EFGH，使得四邊形EFGH為矩形；（要求同時畫出四邊形ABCD的對角線）(3)在圖1中，分別連接AC,BD得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長與對角線AC,BD長度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見解析(3)平行四邊形EFGH的周長等于對角線AC與BD長度的和，見解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對角線互相垂直的四邊形，再順次連接這個四邊形各邊中點即可；（3）根據(jù)三角形中位線定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對邊和等于四邊形的一條對角線，即可得妯結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線定理（或三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對角線互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD長度的和，證明如下：∵點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點，∴EF=1∴EF+GH=AC．同理EH+FG=BD．∴四邊形EFGH的周長=EF+GH+EH+FG=AC+BD．即瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長等于對角線AC與BD長度的和．【點睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線．熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．20．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認真閱讀并補充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點D在l1，l2之間時，設(shè)點A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC__________________________(2)如圖③，當(dāng)點D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點M證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥_________∴△AEM∽_________．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點D在l2下方時，連接AD交l2于點E．若點A，E，D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)7【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABC（2）過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，先根據(jù)平行線的判定可得AE∥DF，再根據(jù)相似三角形的判定可證△AEM～△DFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AEDF（3）過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，先根據(jù)相似三角形的判定證出△AME～△DNE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AMDN=AEDE=【詳解】（1）證明：∵S△ABC=∴S（2）證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥DF．∴△AEM～△DFM．∴AE由【探究】（1）可知S△ABC∴S（3）解：過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，則∠AME=∠DNE=90°，∴AM∥DN，∴△AME～△DNE，∴AM∵點A,E,D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，∴AE=5?1.5=3.5，DE=1.5，∴AM又∵S△ABC=∴S故答案為：73【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（2022·湖南·中考真題）閱讀下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：asin證明：如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，則：在RtΔBCD中，CD=asinB在RtΔACD中，CD=b∴a∴a根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：b(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，【答案】(1)見解析(2)1800【分析】（1）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)表示AD后，即可建立關(guān)聯(lián)并求解；（2）作BC邊上的高，利用三角函數(shù)分別求出AE和BC，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，過點A作AD⊥BC于點D，在RtΔABD中，在RtΔACD中，∴csin∴bsin（2）解：如圖3，過點A作AE⊥BC于點E，∵∠BAC=67°，∠B=53°，∴∠C=60°，在RtΔACE又∵ACsin即800.8∴BC=90m∴S△ABC【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．題型04探究實踐類問題22．（2023·山東濰坊·中考真題）［材料閱讀]用數(shù)形結(jié)合的方法，可以探究q+q2+例求12方法1：借助面積為1的正方形，觀察圖①可知12即12方法2：借助函數(shù)y=12x+12+122+123即兩個函數(shù)圖象的交點到x軸的距離．因為兩個函數(shù)圖象的交點(1,1)到x軸的距為1，所以，12

【實踐應(yīng)用】任務(wù)一

完善23

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23方法2：借助函數(shù)y=23x+因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為______，所以，23任務(wù)二

參照上面的過程，選擇合適的方法，求34任務(wù)三

用方法2，求q+q2+【遷移拓展】長寬之比為5+1觀察圖⑤，直接寫出5?1

【答案】任務(wù)一，方法1：2；方法2：2,2，2；任務(wù)二，3；任務(wù)三，q1?q；[遷移拓展]【分析】任務(wù)一，仿照例題，分別根據(jù)方法1，2進行求解即可；任務(wù)二，借助函數(shù)y=34x+34和y=x得出交點坐標，進而根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點到x任務(wù)三

參照方法2，借助函數(shù)y=qx+q和y=x的圖象，得出交點坐標，即可求解；[遷移拓展]觀察圖⑤第一個正方形的面積為1×1=1=5?120，第二個正方形的面積為5+12?1【詳解】解：任務(wù)一，方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知23+故答案為：2．方法2：借助函數(shù)y=23x+因為兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為2,2，所以，23+2故答案為：2,2，2．任務(wù)二：參照方法2，借助函數(shù)y=34x+34解得：x=3∴兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為3,3，34任務(wù)三

參照方法2，借助函數(shù)y=qx+q和y=x的圖象，兩個函數(shù)圖象的交點的坐標為q1?q∴q+[遷移拓展]根據(jù)圖⑤，第一個正方形的面積為1×1=1=5?12則5?122即5【點睛】本題考查了一次函數(shù)交點問題，正方形面積問題，理解題意，仿照例題求解是解題的關(guān)鍵．23．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐【思考嘗試】（1）數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．試猜想四邊形ABCD的形狀，并說明理由；【實踐探究】（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，DF⊥CE于點F，AH⊥CE于點H，GD⊥DF交AH于點G，可以用等式表示線段FH，AH，CF的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形ABCD中，E是邊AB上一點，AH⊥CE于點H，點M在CH上，且AH=HM，連接AM，BH，可以用等式表示線段CM，BH的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．

【答案】（1）四邊形ABCD是正方形，證明見解析；（2）FH=AH+CF；（3）MC=2【分析】（1）證明△ADG≌△CDF，可得AD=CD，從而可得結(jié)論；（2）證明四邊形DGHF是矩形，可得∠G=90°=∠DFC，同理可得：∠ADG=∠CDF，證明△ADG≌△CDF，DG=DF，AG=CF，證明四邊形DGHF是正方形，可得HG=HF，從而可得結(jié)論；（3）如圖，連接AC，證明∠AHE=∠ABC=90°，ACAB=2，∠BAC=45°，△AHE∽△CBE，可得AECE=HEBE，再證明△HEB∽△AEC【詳解】解：（1）∵GD⊥DF，DF⊥CE，AG⊥DG，∴∠G=∠DFC=90°，∠ADG+∠ADF=90°，∵矩形ABCD，∴∠ADC=90°=∠ADF+∠CDF，∴∠ADG=∠CDF，∵AG=CF，∴△ADG≌△CDF，∴AD=CD，∴矩形ABCD是正方形．（2）∵DF⊥CE，AH⊥CE，GD⊥DF，∴∠DFH=∠H=∠GDF=90°，∴四邊形DGHF是矩形，∴∠G=90°=∠DFC，同理可得：∠ADG=∠CDF，∵正方形ABCD，∴AD=CD，∴△ADG≌△CDF，∴DG=DF，AG=CF，∴四邊形DGHF是正方形，∴HG=HF，∴FH=HG=AH+AG=AH+CF．（3）如圖，連接AC，∵AH⊥CE，正方形ABCD，∴∠AHE=∠ABC=90°，ACAB=2∵∠AEH=∠CEB，∴△AHE∽△CBE，∴AECE

∵∠BEH=∠AEC，∴△HEB∽△AEC，∴∠HBE=∠MCA，∵AH⊥CE,AH=HM，∴∠HAM=45°=∠BAC，∴∠HAE=∠MAC，∴△AHB∽△AMC，∴HBMC∴MC=2【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，全等三