第08講-正余弦定理與解三角形(學(xué)生版)

第08講正余弦定理與解三角形（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用用和、差角的正弦公式化簡、求值2023年新Ⅱ卷，第17題,10分三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形數(shù)量積的運算律2022年新I卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用基本不等式求和的最小值2022年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理解三角形三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2021年新I卷，第19題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用幾何圖形中的計算2021年新Ⅱ卷，第18題,12分正弦定理邊角互化的應(yīng)用三角形面積公式及其應(yīng)用余弦定理解三角形無2020年新I卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2020年新Ⅱ卷，第17題,10分正弦定理解三角形余弦定理解三角形無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較中等，分值為10-12分【備考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相關(guān)變形應(yīng)用2會用三角形的面積公式解決與面積有關(guān)的計算問題.3會用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決三角形中的綜合問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，同時也結(jié)合三角函數(shù)及三角恒等變換等知識點進行綜合考查，需重點復(fù)習(xí)。知識講解正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系，eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，三角形的面積公式考點一、正弦定理邊角互化與解三角形1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．2．（遼寧·高考真題）在中，內(nèi)角的對邊分別為.若，且，則A． B． C． D．3．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別是，且，求角1．（2023·福建莆田·統(tǒng)考模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，求A2．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.求A3．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．求B考點二、利用正弦定理判斷三角形解的個數(shù)1．（2022·云南·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，下列結(jié)論中正確的是（

）（1），，，有一個解.（2），，，有兩個解（3），，，無解（4），，，有一解A．（1）（2） B．（2）（4）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（4）2．（2022·江西·校聯(lián)考二模）設(shè)在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．1．（2022·河南鄭州·鄭州外國語學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，c＝3．且該三角形有兩解，則a的值可以為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．3．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測）在中，，，若角有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點三、余弦定理求值1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，，則（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·高考真題）在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．33．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記銳角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．求1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（

）A． B． C． D．2．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）在中，角的對邊分別是，若，則（

）A． B． C． D．考點四、利用正余弦定理判斷三角形的形狀1．（2023春·重慶長壽·高三統(tǒng)考）在已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，若，則是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形2．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考）設(shè)中角，，所對的邊分別為，，；若，，；則為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能3．（2023春·廣東珠?！じ呷？迹┮粋€三角形的三條高的長度分別是，，，則該三角形（

）A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．有可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形4．（2023春·新疆阿克蘇·高三?？迹┰谥?，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若△ABC的三個內(nèi)角滿足，則△ABC是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形3．（2023春·山東臨沂·高三山東省臨沂第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．等腰或直角三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形4．（2023春·廣東東莞·高三東莞高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且滿足，則的形狀是（

）.A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形考點五、三角形面積的應(yīng)用1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，已知，，.(1)求；(2)若D為BC上一點，且，求的面積.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若，求面積．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．2．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角，，的對邊分別為，，，點在邊上，，，.(1)若，求；(2)若，求的面積.3．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的面積.考點六、外接圓、內(nèi)切圓半徑問題1．（上?！じ呖颊骖}）已知的三邊長分別為3,5,7，則該三角形的外接圓半徑等于．2．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑3．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．(1)求的外接圓半徑R；(2)求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍．1．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？家荒＃┮阎膬?nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．若，則的外接圓半徑為．2．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）已知的角對邊分別為，滿足，.(1)求；(2)求外接圓的半徑.3．（2023·河北·校聯(lián)考二模）在中，角的對邊分別為，已知，且.(1)求的外接圓半徑；(2)求內(nèi)切圓半徑的取值范圍.考點七、雙正弦及雙余弦模型1．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）在中，為中點，．(1)若，求的面積；(2)若，求的長．2．（2022秋·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）在中，點D在BC上，滿足AD＝BC，．(1)求證：AB，AD，AC成等比數(shù)列；(2)若，求．3．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，點D是邊BC上的一點，且．(1)求證：；(2)若，求．1．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在中，角的對邊分別為.已知.(1)求角；(2)若為線段延長線上一點，且，求.2．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖，中，若角所對的邊分別是.(1)證明：；(2)若，求的面積.3．（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且滿足.(1)求角的大??；(2)若為邊的中點，且，求的面積.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形2．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．3．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，則（

）A． B．C． D．4．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)的三個內(nèi)角所對的邊分別為，，，面積為S，則“三斜求積”公式為，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．15．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4二、多選題6．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)校考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．7．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）在中，若，則（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角的對邊分別為，若，則外接圓的面積為.四、解答題9．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A的大小；(2)若，，求BC邊上高的長.10．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．(1)求的大?。?2)當(dāng)，時，求的面積．【能力提升】一、單選題1．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？寄M預(yù)測）中，三邊之比，則（

）A． B．4 C． D．2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角的對邊分別為，若，則的值可為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，已知的面積S滿足，則角A的值為．四、解答題5．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？级＃┰谥校撬鶎Φ倪叿謩e是，已知．(1)求角；(2)若，且的面積為，求．6．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.7．（2023·福建廈門·廈門雙十中學(xué)?？寄M預(yù)測）中，是上的點，平分面積是面積的3倍.(1)求；(2)若，求和的長.8．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測）在中，．(1)若，求；(2)設(shè)是邊上一點，若，，求．9．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為.已知.(1)求；(2)證明：.10．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)若，證明：；(2)若，證明：.【真題感知】一、填空題1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．二、解答題3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，角所對的邊分別是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．