第9講 線段（教師版）

第9講線段（教師版）一、解答題1.已知O是△ABC中任意一點(diǎn)(如圖)．求證：【答案】證明：在△OAB中，OA+OB>AB．在△OAC中，OA+OC>AC．在△OBC中，OB+OC>BC．三式相加，得2(OA+OB+OC)>AB+AC+BC，即(AB+AC+BC)<OA+OB+OC．【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系：在△OAB中，OA+OB>AB，在△OAC中，OA+OC>AC，在△OBC中，OB+OC>BC，根據(jù)不等式的性質(zhì)，把三個不等式相加即可得出答案。2.在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，證明AB+AC>2AD．【答案】解:如圖，將△ABD拼到直線DC的下方，使D與D重合，B與C重合(由于BD=DC，這是可以做到的)．由于

∠EDC=∠ADB，∠EDC+∠ADC=∠ADB+∠ADC=180°，所以A、D、E三點(diǎn)在一條直線上，AE=AD+DE=2AD．在△AEC中，AC+EC>AE．因?yàn)镋C=AB，所以上式即①．【解析】【分析】將△ABD拼到直線DC的下方，使D與D重合，B與C重合，首先根據(jù)平角的定義判斷出A、D、E三點(diǎn)在一條直線上，然后根據(jù)線段的和差得出AE=AD+DE=2AD．最后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論。3.如圖，圖中A、B、C、D四點(diǎn)是某廠的四個生產(chǎn)車間，現(xiàn)在要廠里建一個倉庫，使倉庫到A、B、c、D四個生產(chǎn)車間的距離的和最?。畣杺}庫應(yīng)建在何處?【答案】解：如圖，倉庫應(yīng)建在對角線AD與BC的交點(diǎn)P處．下面證明PA+PB+PC+PD是最小的．設(shè)點(diǎn)P′異于P點(diǎn)，要證明，PA+PB+PC+PD<P′A+P′B+P′C+P′D，在△P′BC中，BC<P′C+P′B，即

PB+PC<P′C+P′B．

在△P′AD中，AD<P′A+P′D，即

PA+PD<P′A+P′D．

相加得，

PA+PB+PC+PD<P′A+P′B+P′C+P′D．

所以P點(diǎn)是所求的點(diǎn)．

【解析】【分析】倉庫應(yīng)建在對角線AD與BC的交點(diǎn)P處．證明PA+PB+PC+PD是最小，設(shè)點(diǎn)P′異于P點(diǎn)，此題實(shí)質(zhì)就是證明PA+PB+PC+PD<P′A+P′B+P′C+P′D，,根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可以得出BC<P′C+P′B，AD<P′A+P′D，即PB+PC<P′C+P′B．PA+PD<P′A+P′D，兩式相加即可得出答案。4.如圖，一位小牧童，從A地出發(fā)，趕著牛群到河邊飲水，然后再到B地，問應(yīng)當(dāng)怎樣選擇飲水的地點(diǎn)，才能使牛群所走的路線最短?【答案】解:利用“對稱”的方法來解決問題．求出B關(guān)于河岸線的對稱點(diǎn)B′．連結(jié)AB′，設(shè)它與河岸線交于C．C點(diǎn)就是最好位置(如圖)．

即牧童趕著牛群從A出發(fā)，到C點(diǎn)飲水，再到B地，這條路線最短．理由如下．

若飲水點(diǎn)是另一點(diǎn)D，則牧童所走路線長為AD+BD．

連結(jié)B′D，由于B，B′關(guān)于河岸線對稱，因此有

BC=B′C，BD=B′D，

所以AD+BD=AD+B′D，

AC+BC=AC+B′C=AB′．

在△ADB′中，有AD+B′D>AB′，所以

AD+BD>AC+BC．

即C點(diǎn)是所求的飲水點(diǎn)．

【解析】【分析】解法的實(shí)質(zhì)是利用對稱求最短問題，求出B關(guān)于河岸線的對稱點(diǎn)B′．連結(jié)AB′，設(shè)它與河岸線交于C.C點(diǎn)就是最好位置(圖)，將問題化成求A點(diǎn)與B′點(diǎn)之間最短線．根據(jù)對稱的性質(zhì)，BC=B′C，BD=B′D，根據(jù)等式的性質(zhì)得出AD+BD=AD+B′D由線段的和差得出AC+BC=AC+B′C=AB′，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可得出AD+B′D>AB'根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而找到所求的最短路線．5.如圖，C、D、E將線段AB分成四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分別是AC、CD、DE、EB的中點(diǎn)，且MN=21．求PQ的長．【答案】解：設(shè)A=2k．由題意，可得CD=3k，DE=4k，EB=5k，且MN=MC+CD+DE+EN=AC+CD+DE+EB=×2k+3k+4k+×5k=，所以=21，k=2因此PQ=PD+DQ=CD+DE=×3k+×4k==7．答PQ的長為7．【解析】【分析】根據(jù)AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，設(shè)A=2k．由題意，可得CD=3k，DE=4k，EB=5k，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義及線段的和差得MN=MC+CD+DE+EN=,又MN=21，從而得出k的值，由PQ=PD+DQ=即可得出答案。6.如圖，線段AB=2BC，DA=AB，M是AD中點(diǎn)，N是AC中點(diǎn)．試比較MN和AB+NB的大?。敬鸢浮拷猓涸O(shè)BC=2．則AB=4，DA=6，AC=4+2=6．2MN=2MA+2AN=AD+AC=6+6=12．所以

MN=6．AB+NB=AB+(NC-BC)=AB+AC一AB=4+×6-×4=5所以MN>AB+NB．【解析】【分析】本題的線段都與BC有關(guān)系．因此，把各條線段的長度都用BC來表示．這就很容易比較出線段的大?。瓸C的長可以作為1(個單位長)，用2(個單位長)作為BC的長，主要是為了避免出現(xiàn)分?jǐn)?shù)．將BC的長記作盤(個單位長)，也無不可，設(shè)BC=2．則AB=4，DA=6，AC=4+2=6，根據(jù)中點(diǎn)的定義得出MN=6，然后由AB+NB=AB+(NC-BC)即可算出答案。7.如圖，A、B、C是一條公路上的三個村莊．A、B間的路程為100千米，A、C間的路程為40千米．在A、B之間設(shè)一個車站P，設(shè)P、C間的路程為x米．（1）用含x的代數(shù)式表示車站到三個村莊的路程之和；（2）若車站到三個村莊的路程的和為102千米，車站設(shè)在何處?（3）要使車站到三個村莊的路程總和最小，車站應(yīng)設(shè)在何處?【答案】（1）解：車站P到三個村莊A、B、C之間的路程的和為：PA+PB+PC=(PA+PB)+PC=AB+PC=AB+x=(100+x)(千米)

（2）解：由題意，100+x=102，所以x=2，即車站距C村2千米處(有兩處，分別在C村的兩側(cè))．

（3）解：由于2≥0，所以，x=0時(shí)，100+x的值最?。@時(shí)，車站恰好在C村．即要使車站到三個村莊的距離的和最小，車站應(yīng)設(shè)在C村．【解析】【分析】（1）設(shè)P、C問的路程為x米，根據(jù)圖形得出車站P到三個村莊A、B、C之間的路程的和為：PA+PB+PC=(PA+PB)+PC，從而得出答案；

（2）由車站到三個村莊的路程的和為102千米，根據(jù)（1）化簡的結(jié)果即可列出方程，求解得出x的值，從而得出答案；

（3）要使車站到三個村莊的路程總和最小，即是使100+x最小，根據(jù)題意即可得出x=0時(shí)，100+x的值最?。@時(shí)，車站恰好在C村。8.在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別代表數(shù)a、b．求線段AB的中點(diǎn)C所代表的數(shù)(用a、b表示)．【答案】解:不妨設(shè)A在B的左邊．這時(shí)有4種情況．（1）A在O點(diǎn)右面(即a>o)．

有:OC=OA+AC，OC=OB-CB，其中OC等表示線段OC的長度．由以上二式相加利用AC=CB得，①因?yàn)镺A=a，OB=b，OC=c，所以①即②（2）B在O的左面(即b<0)，有:

CO=AO-AC，CO=BO+CB，同樣相加得③因?yàn)锳O=-a，BO=-b，CO=-c，代人③得②．（3）O存A、B之間，C在O的右面(即a<0<b，C>0)，

有:OC=AC-AO，OC=OB-CB．相加得④因?yàn)锳O=-a，OB=b，OC=c，代入④得②．（4）O在A、B之間，C在O的左面(即a<0<b，c<o)，

有CO=AO-AC，

CO=CB-OB．相加得⑤因?yàn)锳O=-a，OB=b，CO=-c，代人⑤得②．無論哪一種情況，均有⑥【解析】【分析】此題在分類討論：不妨設(shè)A在B的左邊．這時(shí)有4種情況，（1）A在O點(diǎn)右面(即a>o)，（2）B在O的左面(即b<0)，（3）O在A、B之間，C在O的右面(即a<0<b，C>0)，（4）O在A、B之間，C在O的左面(即a<0<b，c<o)，根據(jù)線段的和差，用兩種方法分別表示出OC，再根據(jù)等式的形式將兩個式子相加，表示出oc，再根據(jù)數(shù)軸上表示的數(shù)的特點(diǎn)，分別表示出OA,OB,OC，即可得出答案。9.直線l上有2009個不同的點(diǎn)．以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有條．這些線段至少有多少個互不相同的中點(diǎn)?【答案】解：首先考慮一種特殊情況，2009個點(diǎn)在數(shù)軸上，分別表示0，1，…，2008(即以l為數(shù)軸，已知點(diǎn)中最左邊的點(diǎn)為原點(diǎn))．

這時(shí)，對于點(diǎn)(即表示的點(diǎn)，s為小于20082的自然數(shù))，在s為偶數(shù)2k時(shí)，它是k-1與k+1的中點(diǎn)；在s為奇數(shù)2k-1時(shí)，它是k-1與k的中點(diǎn)．所以中點(diǎn)至少有2008×2-1=4015(個)．

另一方面，點(diǎn)0，1，…，2008中任兩點(diǎn)的中點(diǎn)都是形如的數(shù)，s是小于2×2008的自然數(shù)．所以中點(diǎn)恰為4015個．

對于一般情況，仍可設(shè)這些點(diǎn)在數(shù)軸上，分別表示0<a1<a2<……<a2008.這時(shí)4015個點(diǎn)

都是已知點(diǎn)中某兩點(diǎn)的中點(diǎn)：是0與ak的中點(diǎn)(k=1，2，…，2008)，是