第5章《相交線與平行線》（解析）

七年級下冊數(shù)學(xué)易錯題真題匯編（提高版）第5章《相交線與平行線》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?長安區(qū)模擬）如圖2，燒杯內(nèi)液體表面AB與燒杯下底部CD平行，光線EF從液體中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成FH，點G在射線EF上．已知∠HFB＝20°，∠FED＝56°，則∠GFH＝（）A．34° B．36° C．38° D．56°解：∵AB∥CD，∠FED＝56°，∴∠FED＝∠GFB＝56°，∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝36°，故選：B．2．（2分）（2023?鳳慶縣一模）圖1是男子競技體操項目雙杠的靜止動作，圖2是其俯視示意圖，已知a∥b，若AB與BC的夾角為105°，∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為（）A．105° B．125° C．130° D．150°解：如圖：設(shè)BC與直線b相交于點E，延長AB交直線b于點D，∵∠ABC＝105°，∴∠EBD＝180°﹣∠ABC＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠BDE＝55°，∵∠2是△BED的一個外角，∴∠2＝∠BDE+∠EBD＝130°，故選：C．3．（2分）（2023?襄垣縣一模）將一副三角板按照如圖所示的方式平放在桌面上，斜邊互相平行，且每個三角板的直角頂點都在另一個三角板的斜邊上．在圖中所標(biāo)記的角中，與∠3相等的角是（）A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5解：如圖：由題意得：AB∥CD，∴∠3＝∠4，故選：C．4．（2分）（2023?臨渭區(qū)一模）如圖，∠BAE＝46°，CD∥AB，連接CE，若∠C＝∠E，則∠E的度數(shù)為（）A．36° B．30° C．23° D．20°解：設(shè)CD與AE相交于點F，∵∠BAE＝46°，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DFE＝46°，∵∠DFE是△CEF的一個外角，∴∠DFE＝∠C+∠E＝46°，∵∠C＝∠E，∴∠C＝∠E＝23°，故選：C．5．（2分）（2023?遵義模擬）將一把直尺和一塊含30°角的直角三角板按如圖所示方式擺放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，若∠1＝78°，則∠2的度數(shù)為（）A．12° B．18° C．42° D．48°解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝12°，由題意得：AE∥HG，∴∠DBE＝∠BDH＝12°，∵∠BDC＝30°，∴∠2＝∠BDC﹣∠BDH＝18°，故選：B．6．（2分）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于點F，已知∠BDC＝62°，則∠EDF的度數(shù)為（）A．34° B．56° C．62° D．28°解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵∠FDB＝90°﹣∠BDC＝90°﹣62°＝28°，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠FDB＝28°，∵矩形ABCD沿對角線BD折疊，∴∠FBD＝∠CBD＝28°，∠E＝∠C＝90°，∴∠DFE＝∠FBD+∠FDB＝28°+28°＝56°．∴∠EDF＝90°﹣∠EFD＝90°﹣56°＝34°，故選：A．7．（2分）（2022春?賓陽縣期末）如圖，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，給出下列結(jié)論：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正確；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根據(jù)已知條件不能推出∠F也等于∠DMF，故③錯誤；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④錯誤；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正確；即正確的個數(shù)是2，故選：B．8．（2分）（2022?黔東南州一模）如圖，AB∥CD，若∠E＝55°，則∠B+∠D等于（）A．125° B．180° C．250° D．305°解：過點E作EF∥AB，如圖：∵EF∥AB，AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠B+∠BEF＝180°，∠D+∠FED＝180°，∴∠B+∠BEF+∠D+∠FED＝360°，即∠B+∠BED+∠D＝360°．而∠BED＝55°，∴∠B+∠D＝360°﹣55°＝305°．故選：D．9．（2分）（2022春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別交直線AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射線MD上一動點（不與M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于點H，設(shè)∠MEH＝α，∠EGF＝β，現(xiàn)有下列四個式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正確的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④解：當(dāng)點G在點F右側(cè)時，如圖示：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），∴2α+β＝180°，故④是正確的；當(dāng)點G在M和F之間時，如圖：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，∴2α＝β，故①是正確的．故選：B．10．（2分）（2022春?越秀區(qū)校級期末）如圖，E在線段BA的延長線上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，連FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K為線段BC上一點，連CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK內(nèi)部有射線GM，GM平分∠FGC，則下列結(jié)論：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度為定值且定值為16°，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC，故①正確；∴∠AGK＝∠CKG，∵∠CKG＝∠CGK，∴∠AGK＝∠CGK，∴GK平分∠AGC；故②正確；∵∠FGA的余角比∠DGH大16°，∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°，∵∠FGA＝∠DGH，∴90°﹣2∠FGA＝16°，∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正確；設(shè)∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2，∴∠AGK＝∠1+∠2，∵GK平分∠AGC，∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2，∵GM平分∠FGC，∴∠FGM＝∠CGM，∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK，∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2，∴∠2＝18.5°，∴∠MGK＝18.5°，故④錯誤，故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?高陵區(qū)月考）如圖，點O在直線BD上，已知∠COD＝105°，OC⊥OA，則∠1的度數(shù)為15°．解：∵∠COD＝105°，∴∠COB＝180°﹣∠COD＝75°，∵OC⊥OA，∴∠COA＝90°，∴∠1＝∠COA﹣∠COB＝15°，故答案為：15°．12．（2分）（2023春?崇川區(qū)校級月考）如圖，∠1的同旁內(nèi)角有3個．解：∠1的同旁內(nèi)角有∠EFD、∠ECD和∠ECB，共有3個．故答案為：3．13．（2分）（2023?灤州市模擬）如圖，已知海島B在海島A的正東方向，從海島A觀測貨船C在其北偏東66°方向上，從海島B觀察貨船C在其北偏東30°方向上，則∠C的度數(shù)是36°．解：如圖：過點C作CF∥EB，由題意得：∠DAC＝66°，∠EBC＝30°，DA∥EB，∴EB∥CF，∵DA∥CF，∴∠DAC＝∠ACF＝66°，∵EB∥CF，∴∠EBC＝∠BCF＝30°，∴∠ACB＝∠ACF﹣∠BCF＝36°，故答案為：36°．14．（2分）（2022秋?武侯區(qū)期末）將一副三角板和直尺按如圖所示方式擺放在課桌面上，其中一塊三角板的30°角的頂點與另一塊三角板的直角頂點重合，且都在直尺AB邊上的點O處，若OD平分∠BOF，且∠COE＝20°，則∠AOC＝50°．解：∵∠COE＝20°，∠EOF＝30°，∠COD＝90°，∴∠DOF＝∠COD﹣∠COE﹣∠EOF＝40°，∵OD平分∠BOF，∴∠DOF＝∠DOB＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠COD﹣∠DOB＝50°，故答案為：50°．15．（2分）（2023?游仙區(qū)模擬）如圖，直線a∥b，直線m⊥n，垂足O在直線b上．若∠1＝112°，則∠2的度數(shù)為22°．解：如圖：∵a∥b，∴∠1＝∠3＝112°，∴∠4＝180°﹣∠3＝68°，∵m⊥n，∴∠5＝90°，∴∠2＝180°﹣∠4﹣∠5＝22°，故答案為：22°．16．（2分）（2022秋?衡山縣期末）如圖，學(xué)生使用的小刀，刀身是長方形，刀片的上下邊沿是平行的，刀片轉(zhuǎn)動時會形成∠1和∠2，則∠1+∠2＝90°．解：如圖，過點O作OP∥AB，則∠1＝∠AOP．∵AB∥CD，OP∥AB，∴OP∥CD，∴∠2＝∠POC，∵∠AOP+∠POC＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故答案為：90°．17．（2分）（2023?惠城區(qū)模擬）如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上．若∠2＝30°，則∠1的度數(shù)為60°．解：如圖：∵∠ACB＝90°，∠2＝30°，∴∠3＝60°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝60°．故答案為：60°．18．（2分）（2022秋?禮泉縣期末）如圖，AB∥CD，BF、DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補(bǔ)，則∠F的度數(shù)為36°．解：延長FB交CD于點G，如圖：∵BF，DF分別平分∠ABE和∠CDE，∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠3，∵BF∥DE，∠F與∠ABE互補(bǔ)，∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，設(shè)∠F＝x°，則∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，∴x+4x＝180，解得，x＝36，即∠F的度數(shù)為36°．故答案為：36．19．（2分）（2022秋?安岳縣期末）已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為40°或140°．解：①若∠1與∠2位置如圖1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1與∠2位置如圖2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，綜合所述：∠2的度數(shù)為40°或140°，故答案為：40°或140°．20．（2分）（2021春?渦陽縣期末）如圖，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若設(shè)∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y(tǒng)°則∠P1＝（x+y）度（用x，y的代數(shù)式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，則∠Pn＝（）n﹣1（x+y）度．解：（1）如圖，分別過點P1、P2作直線MN∥AB，GH∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y(tǒng)°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴＝．．以此類推：，，...，．故答案為：（x+y），（）n﹣1（x+y）．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?高港區(qū)月考）如圖，一條直線分別與直線BE，直線CE，直線BF，直線CF相交于A，G，H，D，∠1＝∠2，從①∠A＝∠D，②∠B＝∠C中選擇一個作為條件，剩余的一個作為結(jié)論，并判斷其是否正確，如果正確，請寫出證明過程．解：你選擇的條件是①（答案不唯一），選擇的結(jié)論是②（答案不唯一）．（只填序號）解：若選擇的條件是①，選擇的結(jié)論是②，理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴EC∥BF，∴∠C＝∠4，∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴∠4＝∠B，∴∠B＝∠C；若選擇的條件是②，選擇的結(jié)論是①，理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴EC∥BF，∴∠C＝∠4，∵∠B＝∠C，∴∠4＝∠B，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D；故答案為：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）．22．（6分）（2022秋?達(dá)川區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BE交AC于點E，過點E作DE∥BC交AB于點D，過點D作DF∥BE交AC于點F．（1）求證：DF是∠ADE的平分線；（2）若∠BED＝28°，若∠ACB＝81°，求∠AFD的度數(shù)．（1）證明：∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE，∴∠DEB＝∠ABE，∵DF∥BE，∴∠ADF＝∠ABE，∠EDF＝∠DEB，∴∠ADF＝∠EDF，∴DF是∠ADE的平分線；（2）解：∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝81°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠BED＝28°，∵∠AFD是△DFE的一個外角，∴∠AFD＝∠FDE+∠DEF＝28°+81°＝109°，∴∠AFD的度數(shù)為109°．23．（6分）（2022秋?陽谷縣期末）如圖，在△ABC中，DE∥AB，交AC，BC分別于點D、E，已知∠1＝∠2．（1）求證：AE平分∠BAC；（2）當(dāng)AC＝BC時，請判斷DE與BE的大小關(guān)系，并說明理由．（1）證明：∵DE∥AB，∴∠2＝∠BAE，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAE，∴AE平分∠BAC；（2）解：DE＝BE，理由如下：∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵DE∥BC，∴∠B＝∠DEC，∠BAC＝∠EDC，∴∠DEC＝∠EDC，∴CD＝CE，∴AD＝BE，∵∠1＝∠2，∴AD＝DE，∴DE＝BE．24．（8分）（2022秋?榆次區(qū)校級期末）如圖，若MN⊥AB，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，試判斷直線MN與EF的位置關(guān)系，并說明理由．解：直線MN與EF互相平行．如圖，延長AB交EF于D，∵∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC﹣∠BCD＝130°﹣40°＝90°，又∵M(jìn)N⊥AB，∴∠MGD＝∠GDC，∴MN∥EF．25．（8分）（2023春?雨花區(qū)校級月考）如圖1，點A是直線HD上一點，C是直線GE上一點，B是直線HD、GE之間的一點．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．（1）求證：AD∥CE；（2）如圖2，作∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的角平分線交于點F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度數(shù)；（3）如圖3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，試探究∠NBM的值，若不變求其值，若變化說明理由．（1）證明：過點B作BP∥AD，∴∠ABP＝∠HAB，∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∴∠CBP＝∠BCG，∴BP∥CE，∴AD∥CE；（2）解：∵AF平分∠HAB，∴∠HAF＝∠FAB＝β，∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，∵∠BCF＝∠BCG＝α，∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，∵∠B＝∠HAB+∠BCG，∴∠F＝∠HAF+∠FCG，∵α+β＝50°，∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝2β+α+β+2α＝3α+3β＝3（α+β）＝150°，∴∠B+∠F的度數(shù)為150°；（3）解：∠NBM的值不變，理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，∵BM∥CR，∴∠BCR＝∠MBC，∴∠BCG＝2∠MBC，∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°，∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2（∠NBC﹣∠MBC）＝2∠NBM，∴∠NBM＝∠HAB＝20°，∴∠NBM的值為20°26．（8分）（2022秋?二道區(qū)校級期末）【提出問題】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請結(jié)合如圖探究這兩個角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1＝∠2；（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)；【拓展應(yīng)用】（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少60°，求這兩個角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)．【提出問題】（1）證明：如圖1，∵AB∥EF，∴∠1＝∠3，又∵BC∥DE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）證明：如圖2，∵AB∥EF，∴∠1＝∠4，又∵BC∥DE，∴∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】解：由（1）（2）我們可以得到的結(jié)論是：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系是相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)；【拓展應(yīng)用】（3）解：設(shè)其中一個角為x，則另一角為2x﹣60°，當(dāng)x＝2x﹣60°時，解得x＝60°，此時兩個角為60°，60°；當(dāng)x+2x﹣60°＝180°，解得x＝80°，則2x﹣60＝100°，此時兩個角為80°，100°；∴這兩個角分別是60°，60°或80°，100°．（4）解：如圖，這兩個角之間的數(shù)量關(guān)系是：相等或互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．27．（8分）（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型﹣﹣﹣“豬蹄模型”．即已知：如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點，連接AE，CE得到∠AEC．求證：∠AEC＝∠A+∠C．小明筆記上寫出的證明過程如下：證明：過點E作EF∥AB，∴∠1＝∠A．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD．∴∠2＝∠C．∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠C．請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題．（1）如圖2，若AB∥CD，∠E＝60°，則∠B+∠C+∠F＝240°．（2）如圖3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，E、B、H共線，F(xiàn)、C、H共線，則∠H＝51°．解：（1）過點E、F分別作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，如圖2所示：∵EM∥AB，∴∠1＝∠B，又∵FN∥AB，∴FN∥EM，∴∠2＝∠3，又∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠4+∠C＝180°，又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）＝60°+180°＝240°；（2）過點G、H作EF∥AB，MN∥AB，如圖3所示：∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，又∵EF∥AB，∴2∠1+∠7＝180°，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴2∠4+∠8＝180°，∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，又∵M(jìn)N∥AB，∴