第5章《生活中的軸對稱》（解析）

2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊易錯(cuò)題真題匯編（提高版）第5章《生活中的軸對稱》考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E、F分別是AD、AB上的動點(diǎn)，若∠BAC＝50°，當(dāng)BE+EF的值最小時(shí)，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°解：過點(diǎn)B作BB′⊥AD于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)B′，過點(diǎn)B′作B′F′⊥AB于點(diǎn)F′，與AD交于點(diǎn)E′，連接BE′，如圖，此時(shí)BE+EF最小．∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．2．（2分）（2020秋?越城區(qū)期中）某臺球桌為如圖所示的長方形ABCD，小球從A沿45°角擊出，恰好經(jīng)過5次碰撞到達(dá)B處．則AB：BC等于（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5解：先作出長方形ABCD，小球從A沿45度射出，到BC的點(diǎn)E，AB＝BE．從E點(diǎn)沿于BC成45度角射出，到AC邊的F點(diǎn)，AE＝EF．從F點(diǎn)沿于AD成45度角射出，到CD邊的G點(diǎn)，DF＝DG．從G沿于DC成45度角射出，到BC邊的H點(diǎn)，HF垂直于AD．GC＝CH＝從H點(diǎn)沿于CB成45度角射出，到AC邊的M點(diǎn)，EM垂直于AD，從M點(diǎn)沿于CA成45度角射出，到B點(diǎn)，看圖是2個(gè)半以AB為邊長的正方形，所以1：2.5＝2：5．故選：C．3．（2分）（2018春?官渡區(qū)期末）如圖，有一條寬紙帶，F(xiàn)G∥PH，沿折痕AB進(jìn)行折疊，BD交FG于點(diǎn)E，∠1＝50°，則下列說法正確的有（）個(gè)．①∠CAF＝50°；②∠BAG＝∠2+50°；③∠EBP＝∠HBA；④∠AEB＝∠ABE；⑤∠2＝65°．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)解：∵紙帶的兩邊平行，即BD∥AC，∴∠CAF＝∠1＝50°，故①正確；由折疊可知：∠BAG＝∠BAC＝∠2+∠CAF＝∠2+50°，故②正確；∵FG∥PH，∴∠EBP＝∠1＝50°，∴∠EBH＝180°﹣50°＝130°，由折疊可知：∠HBA＝∠EBA＝∠EBH＝65°，∴∠EBP≠∠HBA，故③錯(cuò)誤；∵∠AEB＝∠1＝50°，∴∠AEB≠∠ABE，故④錯(cuò)誤；∵FG∥PH，∴∠2＝∠HBA＝65°，故⑤正確．∴正確的有①②⑤，三個(gè)．故選：B．4．（2分）（2018春?沙坪壩區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長線上一點(diǎn)．∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，將△MBC以直線BC為對稱軸翻折得到△NBC，∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，若∠A＝48°，則∠BQC的度數(shù)為（）A．138° B．114° C．102° D．100°解：∵∠ABC的角平分線與∠ACD的角平分線交于點(diǎn)M，∴∠DCM＝∠ACD，∠DBM＝∠ABC，∴∠M＝∠DCM﹣∠DBM＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝24°，由折疊可得，∠N＝∠M＝24°，又∵∠NBC的角平分線與∠NCB的角平分線交于點(diǎn)Q，∴∠CBQ＝∠CBN，∠BCQ＝∠BCN，∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（∠CBN+∠BCN）＝180°﹣×（180°﹣∠N）＝90°+∠N＝102°，故選：C．5．（2分）（2018秋?前郭縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為（）A．72° B．108° C．126° D．144°解：∵∠ABC＝∠ACB，∠A＝36°，∴∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，即∠1+∠3＝72°．∵∠1＝∠2，∴∠2+∠3＝72°，在△BPC中，∠BPC＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣72°＝108°．故選：B．6．（2分）（2023春?市中區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠A＝70°，點(diǎn)O是AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)，則∠BCO的度數(shù)為（）?A．20° B．30° C．25° D．35°解：連接OA、OB，∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵O是AB，AC垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝70°，∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝20°．故選：A．7．（2分）（2022春?和平區(qū)期末）將一張長方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點(diǎn)B、D折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為B′、D′，若∠B′AD′＝8°，則∠EAF的度數(shù)為（）A．40° B．40.5° C．41° D．42°解：設(shè)∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根據(jù)折疊性質(zhì)可知：∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，∵∠B′AD′＝8°，∴∠DAF＝8°+β，∠BAE＝8°+α，∵四邊形ABCD是長方形，∴∠DAB＝90°，∴8°+β+β+8°+8°+α+α＝90°，∴α+β＝33°，∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′＝8°+α+β＝8°+33°＝41°．則∠EAF的度數(shù)為41°．故選：C．8．（2分）（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）如圖，在2×2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC，則與△ABC成軸對稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形共有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)解：與△ABC成軸對稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5個(gè)，故選：C．9．（2分）（2020?黃巖區(qū)模擬）如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點(diǎn)P，BE＝BC，PB與CE交于點(diǎn)H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結(jié)論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠PAB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正確；過P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB＝（AC?PN）：（AB?PM）＝AC：AB；故②正確；∵BE＝BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三線合一），故③正確；∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP∵PC平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF，∴∠PCF＝∠CPF，故④正確．故選：D．10．（2分）（2020春?崇川區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABDC中，對角線AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．54° B．50° C．48° D．46°解：如圖所示，過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DF＝DE，又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，∴CD平分∠BCF，又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，∴DF＝DG，∴DE＝DG，∴BD平分∠CBE，∴∠DBE＝∠CBE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?睢陽區(qū)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB＝10，M在AB邊所在直線上，點(diǎn)N在AC邊所在直線上，且MN＝MC，若AM＝16，則CN的長為4或36．解：由題意可知，BM＝AN＝6，①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長線上時(shí)，作MD⊥AC于D．在Rt△AMD中，∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，∴AD＝AM＝8，∴CD＝AC﹣AD＝2，∵M(jìn)N＝MC，MD⊥CN，∴DN＝CD，∴CN＝2CD＝4．②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BA的延長線上時(shí)，作MD⊥CN于D，在Rt△AMD中，∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，∴AD＝AM＝8，∴CD＝AD+AC＝18，∵M(jìn)N＝MC，MD⊥CN，∴DN＝CD，∴CN＝2CD＝36，故答案為：4或36．12．（2分）（2022春?張家川縣期末）如圖，在△ACE中，AE＝7，AC＝9，CE＝12，點(diǎn)B、D分別在邊CE、AE上，若△ACD與△BCD關(guān)于CD所在直線對稱，則△BDE的周長為10．解：∵△ACD與△BCD關(guān)于CD所在直線對稱，∴AD＝DE，AC＝CE＝9，∵AB＝7，AC＝9，BC＝12，∴△DBE的周長＝BD+DE+BE＝BD+AD+BC﹣AC＝AB+BC﹣AC＝7+12﹣9＝10．故答案為：10．13．（2分）（2022春?榆林期中）如圖，△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，AO的延長線交BC于點(diǎn)D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，則∠ADC＝72°．解：∵△AOB與△COB關(guān)于邊OB所在的直線成軸對稱，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案為：72．14．（2分）（2021春?渠縣期末）如圖，∠AOB＝30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝，ON＝6，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．解：作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝，ON′＝ON＝6，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝＝．故答案為：．15．（2分）（2020秋?西寧期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝3，AB＝10，則△ABD的面積是15．解：如圖，作DE⊥AB于E，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝3，∴△ABD的面積＝×AB×DE＝×10×3＝15，故答案為：15．16．（2分）（2023春?東臺市月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上一動點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)A′E∥BC時(shí)，則∠ADE＝115°或25°．解：如圖，當(dāng)A′E∥BC時(shí)，∴∠A′EA＝∠C＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠A＝90°﹣70°＝20°，由翻折可知：∠A′ED＝∠AED＝A′EA＝45°，∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣20°﹣45°＝115°．或者：由翻折可知：∠A′ED＝∠AED＝135°∴∠DEC＝45°，∴∠ADE＝∠DEC﹣∠A＝45°﹣20°＝25°．故答案為：115°或25°．17．（2分）（2022春?菏澤期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當(dāng)AC＝6，BC＝8，AB＝10時(shí)，則△CEF的周長為4．解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一點(diǎn)J，使得MJ＝FN，連接PJ．∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，∴PM＝PK，PK＝PN，∴PM＝PN，∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，∴四邊形PMCN是矩形，∴四邊形PMCN是正方形，∴CM＝PM，∴∠MPN＝90°，在△PMJ和△PNF中，，∴△PMJ≌△PNF（SAS），∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，∴∠JPF＝∠MPN＝90°，∵∠EPF＝45°，∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，在△PEF和△PEJ中，，∴△PEF≌△PEJ（SAS），∴EF＝EJ，∴EF＝EM+FN，∴△CEF的周長＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，∵S△ABC＝?BC?AC＝（AC+BC+AB）?PM，∴PM＝2，∴△ECF的周長為4，故答案為：4．18．（2分）（2021春?靜安區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE翻折，點(diǎn)B落到點(diǎn)D的位置，AD邊與BC邊交于點(diǎn)F，如果AE＝AF＝DE，那么∠BAC＝108度．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，令∠B＝∠C＝x，由折疊的性質(zhì)可得∠D＝∠B＝x，∵AE＝ED，∴∠EAD＝∠D＝x，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝，∵∠AEF+∠AEB＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠AEB+∠EFD＝90°+，∵∠AEB＝∠AED，∴∠AED＝90°+，∴∠FED＝x，在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D＝180°，即x+（90°+）+x＝180°，解得x＝36°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝108°．故答案為：108．19．（2分）（2021春?福田區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，BC＝6，△DBC面積為18，AB的垂直平分線MN分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是線段MN和BC邊上的動點(diǎn)，則PB+PQ的最小值為6．解：連接AQ，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵△DBC面積為18，BC＝6，∴?BC?DH＝18，∴DH＝6，∵M(jìn)N垂直平分線段AB，∴PA＝PB，∴PB+PQ＝AP+PQ≥AQ，∴當(dāng)AQ的值最小時(shí)，PB+PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AQ⊥BC時(shí)，AQ的值最小，∵AD∥BC，∴AQ＝DH＝6，．∴PB+PQ的值最小值為6．故答案為：6．20．（2分）（2021秋?璧山區(qū)校級期中）在四邊形ABCD中，∠ADC與∠BCD的角平分線交于點(diǎn)E，∠DEC＝115°，過點(diǎn)B作BF∥AD交CE于點(diǎn)F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，連接BE，S△BCE＝4，則CE＝4．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假設(shè)∠BCE＝4x，則∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，設(shè)∠ADE＝∠EDC＝y(tǒng)，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∵CE＝2BF，設(shè)BF＝m，則CE＝2m，∵S△BCE＝?EC?BF＝4，∴×2m×m＝4，∴m＝2或﹣2（舍棄），∴CE＝2m＝4，解法二：延長BA交CB的延長線于點(diǎn)M．∵DE、CE平分∠ADC和∠BCD，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠EDC+∠ECD）＝2（180﹣∠DEC）＝130°，∴∠M＝50°，∵BF∥AD，∴∠M＝∠FBC＝50°，∵∠CBF＝∠BCE，∴∠BCE＝40°，∴∠BFC＝90°，∵CE＝2BF，三角形BCE的面積4，∴CE＝4．故答案為4．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2022春?龍口市期末）數(shù)學(xué)理解（1）如圖1，在等邊△ABC內(nèi)，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度數(shù)；聯(lián)系拓廣（聯(lián)系圖1特點(diǎn)，解決下列問題）（2）如圖2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC內(nèi)一點(diǎn)，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，連接DE，求∠CDE的度數(shù)．解：（1）如圖1，連接AD，∵AB＝AC，DB＝DC，∴直線AD是線段BC的垂直平分線，∴AD平分∠BAC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BDC＝80°，∴∠DBC＝50°，∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，又∵AB＝BC，BE＝BD，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD＝30°；（2）如圖2，作等邊三角形ABC，連接AD，由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，∴∠BDE＝70°，∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．22．（8分）（2018?岳池縣模擬）在3×3的正方形格點(diǎn)圖中，有格點(diǎn)△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對稱，請?jiān)谌鐖D給出的圖中畫出4個(gè)這樣的△DEF．（每個(gè)3×3正方形格點(diǎn)圖中限畫一種，若兩個(gè)圖形中的對稱軸是平行的，則視為一種）解：如圖，△DEF即為所求．（答案不唯一）23．（8分）（2022秋?茶陵縣期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如圖1，將AD、EB延長，延長線相交于點(diǎn)O：①求證：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；（2）如圖2，當(dāng)α＝45°時(shí)，連接BD、AE，作CM⊥AE于M點(diǎn)，延長MC與BD交于點(diǎn)N，求證：N是BD的中點(diǎn)．解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，∴∠BOA＝2α；（2）如圖2，作BP⊥MN交MN的延長線于P，作DQ⊥MN于Q，∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，∵∠BCA＝∠AMC，∴∠BCP＝∠CAM，在△CBP與△ACM中，，∴△CBP≌△ACM（AAS），∴MC＝BP，同理，CM＝DQ，∴DQ＝BP，在△BPN與△DQN中，，∴△BPN≌△DQN（AAS），∴BN＝ND，∴N是BD的中點(diǎn)．24．（10分）（2022春?淮陰區(qū)校級期中）在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過程如下：（1）【問題再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A＝50°．則∠P＝115°；（2）【問題推廣】如圖2，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度數(shù)．（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若∠1+∠2＝100°，則∠BPC＝115°；（4）【拓展提升】在四邊形BCDE中，EB∥CD，點(diǎn)F在直線ED上運(yùn)動（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），連接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分線交于點(diǎn)Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接寫出∠Q和α，β之間的數(shù)量關(guān)系．解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，∴2∠PBC+2∠PCB＝130°，即∠PBC+∠PCB＝65°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝115°，故答案為：115°；（2）∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，∴∠BAC＝2∠BAP，∠CBM＝2∠CBP，∵∠CBM＝∠BAC+∠ACB，∴∠CBP＝∠BAP+40°，∵∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC，∴∠ABC＝100°﹣2∠BAP，∴∠P＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP＝40°，∵BH⊥AP，即∠BHP＝90°，∴∠PBH＝180°﹣∠P﹣∠BHP＝50°；（3）由折疊的性質(zhì)可得∠AED＝∠PED，∠ADE＝∠PDE，∵∠1+∠AEP＝180°，∠2+∠ADP＝180°，∠1+∠2＝100°，∴2∠AED+2∠ADE＝260°，∴∠AED+∠ADE＝130°，∴∠A＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝50°，∴同（1）原理可得∠P＝115°，故答案為：115°；（4）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖4﹣1所示，∵BE∥CD，∴∠CBE+∠BCD＝180°，∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，∴，∵∠EBC+∠FCB＝180°﹣∠DCF＝180°﹣β，∴；當(dāng)F在D、E之間時(shí)，如圖4﹣2所示：同理可得，∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠DCF﹣∠EBF＝180°﹣α﹣β，∴；當(dāng)點(diǎn)F在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖4﹣3所示：同理可得；綜上所述，F(xiàn)在E左側(cè)；F在ED中間；F在D右側(cè)．25．（8分）（2022春?芝罘區(qū)期中）將△ABC的頂角A沿直線DE折疊（如圖），點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，記∠CDA'為∠1，∠BEA′為∠2．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'落在△ABC內(nèi)部時(shí)，試探求∠1，∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'落在△ABC外部時(shí)，∠1，∠2與∠A又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請寫出猜想，并給予證明．解：（1）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如圖1，連接AA'，∵∠1是△ADA'的外角，∴∠1＝∠DAA′+∠DA′A．同理，∠2＝∠EAA′+∠EA′A．∴∠1+∠