第1章《整式的乘除》（解析）

2022-2023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第1章《整式的乘除》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?晉江市校級期中）計算0.752022×（）2023的結(jié)果是（）A． B． C．0.75 D．﹣0.75解：0.752022×（）2023＝﹣（）2022×（）2022×＝﹣（×）2022×＝﹣．故選：B．2．（2分）（2022春?榕城區(qū)期末）如圖，點C是線段BG上的一點，以BC，CG為邊向兩邊作正方形，面積分別是S1和S2，兩正方形的面積和S1+S2＝40，已知BG＝8，則圖中陰影部分面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12解：設(shè)BC＝a，CG＝b，則S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴陰影部分的面積等于ab＝×12＝6．故選：A．3．（2分）（2021秋?中山區(qū)期末）從前，一位農(nóng)場主把一塊邊長為a米（a＞4）的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加4米，相鄰的另一邊減少4米，變成長方形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定解：原來租的土地面積：a2（平方米）．現(xiàn)在租的土地面積：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴張老漢的租地面積會減少．故選：C．4．（2分）（2022春?高新區(qū)校級期末）觀察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，據(jù)此規(guī)律，當(dāng)（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0時，代數(shù)式x2021﹣1的值為（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．當(dāng)x＝1時，原式＝12021﹣1＝0．當(dāng)x＝﹣1時，原式＝12021﹣1＝﹣2．故選：D．5．（2分）（2022秋?湟中區(qū)校級期末）如圖，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后，將剩余部分通過割補拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：圖中陰影部分的面積等于兩個正方形的面積之差，即為a2﹣b2；剩余部分通過割補拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∵前后兩個圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．6．（2分）（2021?龍崗區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD的周長是10cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2，那么矩形ABCD的面積是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2解：設(shè)AB＝x，AD＝y(tǒng)，∵正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周長是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面積為：xy＝4cm2，故選：B．7．（2分）（2021春?張店區(qū)校級期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，則A的值是（）A．0 B．1 C． D．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故選：D．8．（2分）（2022春?沂源縣期末）下列有四個結(jié)論，其中正確的是（）①若（x﹣1）x+1＝1，則x只能是2；②若（x﹣1）（x2+ax+1）的運算結(jié)果中不含x2項，則a＝1③若a+b＝10，ab＝2，則a﹣b＝2④若4x＝a，8y＝b，則22x﹣3y可表示為A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④解：①若（x﹣1）x+1＝1，則x可以為﹣1，此時（﹣2）0＝1，故①錯誤，從而排除選項A和C；由于選項B和D均含有②④，故只需考查③∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×2＝92∴a﹣b＝±，故③錯誤．故選：D．9．（2分）（2022春?拱墅區(qū)期末）如圖，用1塊邊長為a的大正方形，4塊邊長為b的小正方形和4塊長為a，寬為b的長方形（a＞b），密鋪成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面積為S，（）A．若a＝2b+1，則S＝16 B．若a＝2b+2，則S＝25 C．若S＝25，則a＝2b+3 D．若S＝16，則a＝2b+4解：由題意，正方形ABCD的邊長為a+2b，ab＝2，a＞b＞0，若a＝2b+1，則正方形ABCD的邊長為a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，即2b2+b﹣2＝0，解得：b＝（負值不合題意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，∴選項A不正確；若a＝2b+2，則正方形ABCD的邊長為a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，即b2+b﹣1＝0，解得：（負值不合題意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，∴選項B不正確；若S＝25，則（a+2b）2＝25，∵a+2b＞0，∴a+2b＝5，∴a＝5﹣2b，∴b（5﹣2b）＝2，即2b2﹣5b+2＝0，解得：b1＝，b2＝2，當(dāng)b＝時，a＝5﹣2b＝4，2b+3＝4，此時，a＝2b+3；當(dāng)b＝2時，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合題意，∴選項C正確；若S＝16，則（a+2b）2＝16，∵a+2b＞0，∴a+2b＝4，∴a＝4﹣2b，∴b（4﹣2b）＝2，即b2﹣2b+1＝0，解得：b1＝b2＝1，當(dāng)b＝1時，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，∴a≠2b+4，∴選項D不正確；故選：C．10．（2分）（2022春?姜堰區(qū)校級月考）如圖所示，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么陰影部分的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．40解：首先令直線BF與直線CD的交點為O；則S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S?ECGF﹣S△BGF＝a?a÷2+b?b﹣（a+b）?b÷2；①S△DEF＝底EF?高DE÷2＝b?（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG?高GF÷2＝b?b÷2；③∴陰影部分面積＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，構(gòu)造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2?20，化簡＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S陰影部分＝30．故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?大慶一模）若關(guān)于x的多項式x2﹣ax+36＝（x+b）2，則a+b的值是6或﹣6．解：由題意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，∴，∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．∴a+b＝6或﹣6．故答案為：6或﹣612．（2分）（2022春?榆次區(qū)期中）如圖，兩個正方形的邊長分別為a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，則陰影部分的面積為41．解：S陰影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2+2ab）﹣ab＝（a+b）2﹣ab∵a+b＝10，ab＝6；∴原式＝×102﹣×6＝×100﹣9＝41故答案為：41．13．（2分）（2021春?東臺市期中）如圖，一塊直徑為2a+2b的圓形鋼板，從中挖去直徑分別為2a與2b的兩個圓，已知剩下鋼板的面積與一個長為a的長方形面積相等，則這個長方形的寬為2πb．解：設(shè)長方形的寬為x，S陰影＝π×（a+b）2﹣π×a2﹣πb2＝ax．∴2πab＝ax．∴x＝2πb．故答案為：2πb．14．（2分）（2017秋?興義市期末）如圖，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成右邊的長方形，分別計算這兩個圖形的陰影部分的面積，驗證了公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：第一個圖形陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b）．則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．15．（2分）（2018春?嘉興期末）如圖，點M是AB的中點，點P在MB上．分別以AP，PB為邊，作正方形APCD和正方形PBEF，連接MD和ME．設(shè)AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．則圖中陰影部分的面積為35．解：∵AP＝a，BP＝b，點M是AB的中點，∴AM＝BM＝，∴S陰影＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM＝a2+b2﹣a×﹣b×＝a2+b2﹣（a+b）2＝（a+b）2﹣2ab﹣（a+b）2＝100﹣40﹣25＝35，故答案為：35．16．（2分）（2021春?天橋區(qū)期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b為整數(shù)，則m的值一共有5種可能．解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16，∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16．∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16．∴a+b＝m，ab＝﹣16．又∵a、b為整數(shù)，∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16．當(dāng)a＝1時，b＝﹣16，則a+b＝﹣15．當(dāng)a＝﹣1時，b＝16，則a+b＝15．當(dāng)a＝2時，b＝﹣8，則a+b＝﹣6．當(dāng)a＝﹣2時，b＝8，則a+b＝6．當(dāng)a＝4時，b＝﹣4，則a+b＝0．當(dāng)a＝﹣4時，b＝4，則a+b＝0．當(dāng)a＝8時，b＝﹣2，則a+b＝6．當(dāng)a＝﹣8時，b＝2，則a+b＝﹣6．當(dāng)a＝16時，b＝﹣1，則a+b＝15．當(dāng)a＝﹣16時，b＝1，則a+b＝﹣15．綜上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0．故答案為：5．17．（2分）（2021春?寶安區(qū)校級月考）觀察下列各式及其展開式（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……請你猜想（2x﹣1）8的展開式中含x2項的系數(shù)是112．解：由所給四組式子的系數(shù)規(guī)律可得左邊式子的指數(shù)分別為6，7，8的等式，右邊各項的系數(shù)分別為：1，6，15，20，15，6，1；1，7，21，35，35，21，7，1；1，8，28，56，70，56，28，8，1；故含x2項的系數(shù)為：22×（﹣1）6×28＝112．18．（2分）（2021春?龍崗區(qū)期中）計算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，＝（532﹣1）+，＝．19．（2分）（2022春?高新區(qū)期中）計算：22018?（﹣）2019＝﹣．解：原式＝22018?（﹣）2018?（﹣）＝[2×]2018＝（﹣1）2018＝﹣．故答案為﹣．20．（2分）（2020春?義烏市期末）如圖，長方形ABCD的邊BC＝13，E是邊BC上的一點，且BE＝BA＝10．F，G分別是線段AB，CD上的動點，且BF＝DG，現(xiàn)以BE，BF為邊作長方形BEHF，以DG為邊作正方形DGIJ，點H，I均在長方形ABCD內(nèi)部．記圖中的陰影部分面積分別為S1，S2，長方形BEHF和正方形DGIJ的重疊部分是四邊形KILH，當(dāng)四邊形KILH的鄰邊比為3：4時，S1+S2的值為7或．解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．∵四邊形DGIJ為正方形，四邊形BFHE為矩形，BF＝DG，∴四邊形KILH為矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．∵BE＝BA＝10，∴LG＝EC＝3，∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．當(dāng)矩形KILH的鄰邊的比為3：4時，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，解得DG＝9或．當(dāng)DG＝9時，AF＝CG＝1，AJ＝4，∴S1+S2＝AF?AJ+CE?CG＝1×4+1×3＝7；當(dāng)DG＝時，AF＝CG＝，AJ＝，∴S1+S2＝AF?AJ+CE?CG＝＝．故答案為7或．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（8分）（2023春?鹽城月考）計算：（1）a2?（﹣a）3?（﹣a4）；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3；（3）；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3?（p﹣q）2．解：（1）a2?（﹣a）3?（﹣a4）＝a2?（﹣a3）?（﹣a4）＝a9；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3＝﹣2a6﹣（﹣27a6）＝﹣2a6+27a6＝25a6；（3）＝1﹣+9﹣4＝5；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3?（p﹣q）2＝（p﹣q）4÷[﹣（p﹣q）3]?（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）?（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）3．22．（6分）（2022秋?二道區(qū)校級期末）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學(xué)等式．（1）模擬練習(xí)：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學(xué)公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解決問題：如果，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．解：（1）圖中大正方形的面積可以表示為：（a+b）2，還可以表示為：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）設(shè)a＝8﹣x，b＝x﹣2，則a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴這個長方形的面積為：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．23．（6分）（2022春?順德區(qū)校級月考）定義＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2．已知A＝，已知B＝（n為常數(shù)）．（1）若B＝4，求x的值；（2）若A的代數(shù)式中不含x的一次項時，當(dāng)x＝1，求A+B的值．（3）若A中的n滿足2×2n+1＝22時，且A＝B+2，求8x2?4x+3的值．解：（1）∵B＝，∴B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝4x，∵B＝4，∴4x＝4，∴x＝1；（2）∵A＝，∴A＝2x（2x+1）﹣（nx﹣1）＝4x2+2x﹣nx+1＝4x2+（2﹣n）x+1，∵A的代數(shù)式中不含x的一次項，∴2﹣n＝0，∴n＝2，∴A＝4x2+1，當(dāng)x＝1時，A+B＝4×12+1+4×1＝4×1+1+4＝4+1+4＝9，∴A+B的值為9；（3）∵2×2n+1＝22，∴2n+2＝22，∴n+2＝2，∴n＝0，∴A＝4x2+2x+1，∵A＝B+2，∴4x2+2x+1＝4x+2，∴4x2﹣2x﹣1＝0，∴4x2﹣2x＝1，∴8x2﹣4x＝2，∴8x2?4x+3＝2+3＝5，∴8x2?4x+3的值為5．24．（8分）（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）．（1）根據(jù)上述過程，寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）利用（1）中的結(jié)論，若x+y＝4，，則（x﹣y）2的值是7；（3）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式，如圖③，請你寫出這個等式：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）兩個正方形ABCD，AEFG如圖④擺放，邊長分別為x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求圖中陰影部分面積和．解：（1）方法一：中間部分是邊長為a﹣b的正方形，因此面積為（a﹣b）2，方法二：中間部分的面積可以看作從邊長為a+b的正方形面積減去4個長為a，寬為b的長方形面積，即（a+b）2﹣4ab；∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）∵x+y＝4，xy＝，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝16﹣4×＝7，故答案為：7；（3）分別以大矩形的面積和幾個小矩形的面積為等量可得：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2，故答案為：（3a+b）（a+b）＝3a2+4ab+b2；（4）∵x2+y2＝34，BE＝2，∴x﹣y＝2①，∴x2﹣2xy+y2＝4，∴34﹣2xy＝4，∴xy＝15，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝34+30＝64，且x+y＞0，∴x+y＝8②，①+②得：x＝5，∴y＝3，圖中陰影部分面積和＝S△DFC+S△BEF＝?x（x﹣y）+?y（x﹣y）＝x2﹣xy+xy﹣y2＝（x2﹣y2）＝×（25﹣9）＝8．25．（8分）（2022春?蓮湖區(qū)期中）如圖所示，甲是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線剪開分成四個完全一樣的小長方形，然后拼成如圖乙的一個正方形．（1）用含有a和b的代數(shù)式表示出圖甲的面積為4ab．（2）用含有a和b的代數(shù)式表示出圖乙中陰影部分的面積為（a﹣b）2．（3）觀察圖乙，寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系為（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．．（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b＝10，ab＝15，求（a﹣b）2的值．解：（1）圖甲中大長方形的長為2a，寬為2b，面積為：2a×2b＝4ab．故答案為：4ab．（2）圖乙中陰影部分是邊長為（a﹣b）的正方形，其面積為：（a﹣b）2．故答案為：（a﹣b）2．（3）圖乙中陰影正方形的面積還可以表示為：（a+b）2﹣4ab．∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．故答案為：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（4）∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝102﹣4×15＝40．26．（8分）（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖①，是一個長為2m、寬為2n的長方形，用剪刀沿圖中的虛線（對稱軸）剪開，把它分成四個形狀和大小都相同的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個正方形（中間是空的）．（1）圖②中畫有陰影的小正方形的邊長為m﹣n（用含m，n的式子表示）；（2）觀察圖②，寫出代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2與mn之間的等量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）中的等量關(guān)系解決下面的問題：（i）若m+n＝7，mn＝5，求（m﹣n）2的值；（ii）若a+＝3，求a2+的值．解：（1）圖②中畫有陰影的小正方形的邊長（m﹣n）；故答案為：m﹣n．（2）圖②中畫有陰影的小正方形的邊長（m﹣n），面積為：（m﹣n）2，（圖②中畫有陰影的小正方形的面積還可以表示為：（m+n）2﹣4mn．∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（3）（i）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣20＝29．（ii）a2+＝﹣2＝9